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1、创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日专题讲座专题讲座 高三数学函数与不动点高三数学函数与不动点创创 作人：作人：埃半来埃半来日日 期：期：二二 OO 二二二二 年年 1 1 月月 1111 日日定理：一次函数f(x)ax b(a 1)的不动点为x0b，且f(x)a(x x0)x0.1 a定理定理的推广：一次函数f(x)ax b(a 1)的不动点x0也是f(x)的 n 次迭代函数f(f(f(f(x)f(n)(x)的不动点，且f(n)(x)an(x x0)x0(n 2,n N).注：定理显然，定理可用归纳法证明，应当指出的是，在一次函数f(x)ax b中：当a 1,b 0时，
2、不动点有无穷多个，也就是说，任何实数x0都是f(x)的不动点；当a 1,b 0时，函数f(x)无不动点，这时函数f(x)ax b的 n 次迭代式不能用不动点来表示，但容易得到f2(n)(x)x nb(n N)；当a 1时，a 1，不能再迭代下去。相关例题：。f(x)3x 2，证明存在正整数 m，使1988|f(100)(m)1988 年我国 IMO 集训选拔题证明：函数f(x)的不动点为x 1，所以f因为(1988,3即可。桥函数相似法定 义 ：对 于 给 定 的 函 数f(x)和g(x)，假 设 存 在 一 个 可 逆 函 数(x)，使 得100(100)(x)3100(x 1)1)1，所以
3、存在p,qZ，使得3100p 1988q 1，设p 1，取m p 1f(x)(g(x)，那么称f(x)和g(x)关于(x)相似，记作为桥函数。桥函数。1f g，其中(x)称创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：根据定义，桥函数相似有如下性质：1二 O 二二 年 1 月 11 日假设假设假设f g，那么g f；f g，g h，那么f h；f g，那么f(n)g(n).从上面的性质可知，要求一个函数f(x)的 n 次迭代，只需找出一个桥函数(x)以及简单函数g(x)，确定g(x)和(x)可从f(x)的不动点来考虑。1假设f(x)(g(x)，那么(f(x)
4、g(x)，所以，假设f(x0)x0，那么(x0)(f(x0)g(x0)，即(x0)是g(x)的不动点，也就是桥函数(x)具有的性质。即它将f(x)的不动点x0映成g(x)的不动点(x0)，通常为了便于求g23(n)(x)，g(x)常取ax,x a,ax,ax，这时g(x)的不动点为 0 或者，此时，假设f(x)有唯一不动点x0时，那么可考虑取(x)x x0(or:(x)1)，这时(x0)0(or:)；假设f(x)x x0有两个不动点x0,x1(x0 x1)，那么可考虑(x)x x0，这时(x0)0,(x1).x x1以下先给出一些较简单的函数的n 次迭代式：假设f(x)ax，那么f(n)(x)
5、anx；假设f(x)ax，那么f23(n)(x)a2n1x2n；nx3；假设f(x)ax，那么f(x)axx(n)假设f(x)，那么f(x)。x 11 nx相关例题：(n)1n(3 1)2f(x)x(n)，求f(x).x c创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日解：f(x)的不动点为x0 0或者1c，假设c 1，那么f构造函数(x)x 1cx，那么x；假设c 1，1 nxc 1，从而1(x)x 1(n)(x)g(x)(g(1(x)cx g(n)cnx。因 为f(n)(x)1(g(n)(x)数列与不动点f(x)1(g(
6、x)，所 以定义：设f(x)的定义域为 D，且f(x)D，假设a1D,an1 f(an)(n 1)，那么称数列为an为由函数f(x)导出的，初始值为a1的递归数列，函数f(x)称为数列an的递归函数。一般的，初始值a1 D,an1 f(an)(n 1)的递归函数为y f(x),xD。假设f(n)(x)F(x)，那么an1 F(a1)，反之亦真。说明白一些就是：假设递归函数y f(x),xD的 n 次迭代函数f(n)(x)F(x)容易求得，那么由f(n)(x)F(x)可直接写出递归数列an的通项公式an1 F(a1)。假设递归数列a1 D,an1 f(an)(n 1)的通项公式已得出，那么由通项
7、公式也可直接写出递归函数y f(x),xD的 n 次迭代函数f(n)(x)。例 如，f(x)(3x 1)3，求f(n)(x)。可 设a1 x,an1 f(n)(x).因 为an1 f(an)(3an1)3，所以数列3an是公差为 1 的等差数列，求和可得an1(3a1n)3，从而f(n)(x)(3x n)3。先 来 研 究 一 种 特 殊 的 数 列：一 阶 等 比 数 列an，即 满 足a1 a,an1 can d(c 1,d 0,c,d为常数)，此数列当d 0时为等比数列，当c 1时为等差数列。其递归函数为f(x)cx d(c 1)，其不动点为x0函数f(n)d，从而 n 次迭代1cn(x
8、)cn(x x0)x0，所以an1 F(a1)c(a1 x0)x0。不难得到以下结果：假设a1 a,an1 can d(c 1,d 0,c,d为常数)，且其递归函数f(x)的不动点为x0，创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：那么数列an x0是公比为 c 的等比数列。定义：由递推公式an1二 O 二二 年 1 月 11 日aanb(c 0,ad bc 0)以及初始值a1 p确定的数列，can d称为分式线性递归数列。分式线性递归数列an的递归函数为f(x)方程ax b其不动点为(c 0,ad bc 0)，cx dcx2(d a)x b 0的解，称为
9、递归函数f(x)的特征方程。11假设方程有两个相等实根x0 x0 m，那么数列是以为首项，p manm2c为公差的等差数列；a da m假设方程有两个不相等的根 实根或者虚根：x0 m,x0 k，那么数列na kn是以a1 mck d为首项，为公比的等比数列。a1 kcm daanb(c 0,ad bc 0)的周期性问题。can d最后再来看看关于数列a1 p，an12对于方程cx (d a)x b 0假设 0，那么数列an无周期；假设 0，那么数列an有周期的充要条件为d a，且周期T 2 a mc2t假设 0，那么数列an有周期的充要条件是arg，其中m，k 为方 na kc程的两根，t,n N,t n，且周期T n.创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日