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1、第十章第十章 能量方法能量方法10.2图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在P 力作用下，桁架的变形能。PP3a12lRAxABBA45RBycllllRAyD题 10.2 图图 10.2a解：（1）求支反力RAx=P，RAy=P/2，RBy=P/2方向如图 10.2a 所示。（2）求各杆轴力由截面法研究杆 3、5 的平衡(图 10.2b),N3N3=-2P/2,N5=P/2，同理求得其余各杆轴力为，N5N2=0,N4=P/2,N1=P/2RBy求内力时，均假设内力为正，若由平衡方程求图 10.2b得某内力为负时，说明该内力的实际方向与假（3）求桁架的变形能(-2/2)22U=Ni2li
2、/(2EA)=P2l/(2EA)2(-2/2)+0+2+(1/2)21+(1/2)212=P2l/(4EA)+1=0.957 P2l/(EA)2+10.3 计算图示各杆的变形能。m m2A2AA AB Bl(a)A AC ClP PA AC Cl/3EIEIB B2l/3(b)题 10.3(a)图解：（a）杆 AC 各截面轴力 N=P,由U=U=UAC+UCB=N2l2EA=P2lP2l+2E(2A)2EA3P2l4EA（b）梁各段的弯矩为mx1AC:M(x1)=-l由U=MxBC:M(x2)=2l1/3M2(x)dx2EIl2EIU=UAC+UCB=0m1)2(-x21/3+0m2)2(xl
3、2EIm2ldx2=18EI10.4传动轴受力情况如图所示。轴的直径为 40mm，材料为45 钢，E=210GPa，G=80GPa。试计算轴的变形能。0.36kN0.36kN0.08Nm0.08Nm(b)(b)Ty1kNxz200200（a）1kN080Nm题 10.4 图mT解：传动轴受两向弯曲和扭转图 10.4（a）36Nm内力图如图 10.4。Mz100Nm求支反力RAx=P，RAy=P/2，RBy=P/2M方向如图 10.4a 所示。My22T dx+MzdxU=图 10.4l2GIPl2EIzMy2dx+=60.4 Nmml2EIy10.5（a）在外伸梁的自由端作用力偶矩m，试用互等
4、定理，并借助于表6.1，求跨度中点 C 的挠度c。（b）用互等定理定理求解题 10.6、10.7、10.8a。AcCBam mADl/2PBaDPDPDl/2l/2题 10.5 图l/2图 10.5a（a）由表 6.1 序号 8（图 10.5a）易知，在 P 作用下，D 点转角DP为解：Pl2DP=+16EI由功的互等定理，有：Pc=mDPml2c=+16EI()（b）题 10.6由表 6.1 序号 6（图 10.6a）易知，在m 作用下，C C点挠度和 B 截面转角分别为cmBmml a4ma4ma2mlcm=Bm=,3EI3EI3EI3EI+由功的互等定理，有：mB=-Pcm24PaB=-
5、()3EI5ma3Pa34Pa3()=C=+3EI3EI3EI-Bmcmm mPAC CABB BaBcl/2l/2a4a(a)题 10.6 图题 10.7a (1)B 点挠度B由表 6.1 序号 2（图 10.7a）知，在 P 作用下，AB 梁的挠度方程为 2Pl(3l-x)v=-6EIaa 2-Px(3l-x)qdx由功的互等定理，有：PB=vqdx=6EI00qa3(4l-a)B=-()24EI(2)B 截面转角B由表 6.1 序号 1图(b)知，在 m 作用下，AB 梁的挠度方程mx 2v=-2EIaa2-mxqdx由功的互等定理，有：m=vqdx=B002EIqa3q()B=-6EI
6、C CAal l题 10.7a 图PxvBvAAl ll l(a)(b)m mPCFC CAABB BBl/4l/2l/2l/2l/2(a)题 10.7b 图MCFBMBBBBm mBFl/4Fl/2Cl/2l/4(b)题 10.7b (1)B 点挠度B由题 10.6（图 10.6a）知，在 P 作用下，B 截面的挠度为2Fl aFa(3l+3a)CF=16EI=BF()6EI-()由功的互等定理，有：FB=-PCF+mBFPl2ama(3l+3a)m=Pl/45Pl3+B=-384EI()16EIa=l/46EI-(2)B 截面转角B由题 10.5（参看图 10.5b）知，在 m 作用下，B
7、 截面的挠度为Ml2M(l+3a)CM=()BM=16EI()3EI-由功的互等定理，有：MB=-PCM+mBM2PlB=-16EIm(l+3a)+3EIm=Pl/4a=l/4Pl212EI()10.6 车床主轴如图所示，在转化为当量轴以后，其抗弯钢度 EI 可以作为常量。试求在载荷 P 作用下，截面 C 的挠度和前轴承 B 处的截面转角。解：(1)求 fC:支反力RA P/4,RB 5P/4P各段弯矩AB:M(x1)x14CB:M(x2)Px2由 U W 得P fc(Px1/4)dx1a(Px2)0dx22EI2EI235Pa解得fc(向下)。3EI04 a22RAA A4aRBC CPB
8、B Bca题 10.6 图1 1(a)(2)求B:于B加单位力偶(图10.6a),引起的弯矩为AB:M0(x1)由莫尔积分，Px1x1M(x)M0(x)14a4Pa3Bldx)()dx(顺)0(EIEI4l3EIx1,lCB:M0(x2)0PAl/2C Cm mBl/4 B B1 1l/2B(a)1 1题 10.7b 图(b)10.7b 试求图示各梁的截面 B 的挠度和转角。EI=常数。解：(1)求外力弯矩M(x1)支反力：RApmP,2l4RCPm3P2l4P x1(0 x1 l/2)4PP l3PM(x2)x2 P(x2 l/2)x2424P lM(x3)m (0 x3 l/4)4(l/2
9、 x2 l)（2）求 fB:于B加图示单位力（图a），引起的弯矩x1x,M0(x2)2,M0(x3)x3440Px1M(x)M(x)1l/2Px1fBldx)()dx10(EIEI44x1lPl3P1l/4Plx2)(2)dx2)(x3)dx3l/2(0(EI244EI45Pl3(向下)384 EIM0(x1)(3)求B：于B加单位力偶（图 b），引起的弯矩为x1x,M0(x2)2,M0(x3)1llM(x)M0(x)1l/2Px1x1Bldx)()dx0(EIEI4lx21lPl3P1l/4PlPl2x2)()dx2l/2(0()1dx3EI24lEI412EIM0(x1)(顺)10.9 图
10、示刚架的各杆的 EI 皆相等，试求截面 A、B 的位移和截面 C 的转角。P PAfAfx xx x3 31 1q qx x1 1PC Ca ab bP PxfxfAP Pyfyfx x2 2h hCAx x2 2R RDxDxx x1 1l/2l/2m mf fl lDBP PBfBfh h(b)R RByBy(a)R RDyDy题 10.9 图解：(a)加图示附加力 Px f,Py f及附加力偶 mf。各段梁弯矩(0 x1 a),M(x2)mf P x2(0 x3 h)(0 x2 b)M(x1)Py fx1M(x3)Px fx3 Py fa Pb mf求uA:M(x2)0,Px fM(x3
11、)x3Px fM(x)M(x)1hPbh2uAl.dx(向右）0(Pb)(x3)dx3EIPx fEI2EI求vA:vA求c:M(x2)0Py f,M(x3)aPy f1hPabh(Pb)(a)dx(向上)03EIEIM(x3)M(x2)1,1mfmf1b1hPb(Px)(1)dx(Pb)(1)dx(b 2h)23EI0EI02EI(顺)c(b)加图示附加力 PA fPB f。支反力RD z PB f,RB y RD yqlPAf.22结构,载荷对称，只分析一半。各梁段弯矩为M(x1)PB f x1(0 x1 h)2q x2qlPA fM(x2)PB fh ()x2222M(x2)x2PA f
12、2(0 x2 l/2)求vA:2q x2M(x)M(x)2l/2q l5ql4vAldx x2)dx20(EIPA fEI22384EI(向下)求uB:M(x2)hPB f(向右)2q x22l/2q lq l3huBx2)hdx20(EI2212EIuBq l3h求uA:uA(向右)224EI10.16 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求节点 C 处的水平位移和垂直位移。解：于C分别加水平和铅垂单位力。各杆由载荷和各单位力引起的轴力NiNi0以及按公式 liiEA算位移的计算过程，列表如下。112PPBCAlDl题 10.16 图杆ABBCCDDAAC得Ni 2PPP02PNu0i0
13、0102Nv0i00100llllliN Nu0il00P l022Pl(1 22)PlN Nv0il00P l00P lP lEA(向上)。2 luc(1 22)PlP l 3.83EAEA(向左),v010.21 图中绕过无摩擦滑轮的钢索的截面面积为76.36mm2，E索=177GPa。P=20kN。在题 2.29 中求 P 力作用点 C 的位移时，曾假设横梁 ABCD 为刚体。若不把 ABCD 假设为刚体，且已知其抗弯刚度为 EI=1440kN.m2，试再求C 点的垂直位移。解：E 是光滑定滑轮，所以钢索中的拉力 T 是相等的。横梁A AB B60 60C C800400P P400D
14、D受力如题 10.21b 图。3由 MA 0:T P3PDC 弯矩:M(x)x2AB:M(x3)0X XA AA AT TB BC CP PT TD D10.25 等截面曲杆 BC 的轴线为四分之三的圆周。若 AB 杆可视为刚性杆，试求在 P 力作用下，截面 B的水平位移及垂直位移。CPABR1Y YA A题 10.2 图1题 10.25 图由卡氏定理，注意到对称性fc iNiNiM(x)M(x)3P/3311/2Px xlildx 2(l dx)0EAPEIPE索A3EI22(向下）Pl2l2()（这里l 800mm）0.937 mm3E索A16EI解：小曲率曲杆弯矩为3M()PRcos(0
15、)2于分别加水平、铅垂单位力，引起的弯矩分别为Mu0()Rsin0My()R(1 cos)M(s)M0(s)13PR3uBsds(向（向左）02(PRcos)(Rsin)RdEIEI2EI133PR3PR3 3.36VB（向下）02(PRcos)(R(1cos)d(1)EI4EIEI10.33平均半径为 R 的细圆环，截面为圆形，其直径为 d。P 力垂直于圆环中线所在的平面。试求两个 P 力作用点的相对线位移。解：小曲率曲杆的弯矩扭矩为M()=PR sin(0 2)oRT()=PR(1 cos)(0 2)pbM()T()Rsin R(cos)PApM(s)M(s)T(s)T(s)于是ABds dsEIPPssGIP12o(PRsin)(Rsin)RdEI0120PR(1cos)R(1cos)RdGIP3PR3EIGIPPR3(沿力方向）Ap题（10.33）图