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1、曲线方程及圆锥曲线典型例题解析一知识要点一知识要点1曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步骤1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。含义建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标。说明(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。3、“代”：代换用 坐 标 法 表 示 条 件P(M)，列 出 方 程f(x,y)=04、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简要注意同解变形。形式。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，
2、可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。1 11常常用到一些公式。写出适合条件 P 的点 M这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析的集合 P=M|P(M)题意，使写出的条件简明正确。v1.0 可编辑可修改几何法：就是
3、根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线 Cf(x，y)=0 与直线 ly=kx+b相交
4、于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算
5、等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系转化成数学问题数学模型方程实际问题模型的解翻译回去讨论方程的解22v1.0 可编辑可修改（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。二典例解析二典例解析题型 1：求轨迹方程例 1（1）一动圆与圆x y 6x5 0外切，同时与圆x y 6x91 0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。2222x2 y21有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，（2）双曲线9求PF1F2
6、的重心M的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆方程分别配方得：(x3)y 4，(x3)y 100，当当2222yPO1O2xM与O1相切时，有|O1M|R2M与O2相切时，有|O2M|10 R将两式的两边分别相加，得|O1M|O2M|12，即(x3)y(x3)y 12移项再两边分别平方得：22222(x3)2 y212 x两边再平方得：3x 4y 108 0，22x2y21，整理得3627x2y21，轨迹是椭圆。所以，动圆圆心的轨迹方程是3627（法二）由解法一可得方程(x3)y(x3)y 12，由以上方程知，动圆圆心M(x,y
7、)到点O1(3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以3 332222点M的轨迹是焦点为O1(3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，2c 6，2a 12，c 3，a 6，b 369 27，2x2y21。圆心轨迹方程为3627（2）如图，设P,M点坐标各为P(x1,y1),M(x,y)，在已知双曲线方程中a 3,b 1，c 91 10已知双曲线两焦点为F1(10,0),F2(10,0)，PF1F2存在，y1 0 x1(10)10 x x1 3x3由三角形重心坐标公式有，即。y 3y1y y1003y1 0，y 0。(3x)2(3y)21(y
8、 0)已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有9即所求重心M的轨迹方程为：x 9y 1(y 0)。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。22x2y21 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP例 2（2001 上海，3）设P为双曲线4的中点，则点M的轨迹方程是。解析：（1）答案：x4y1设P（x0，y0）M（x，y）x 22x0y,y 02xx0，2yy0224x22224y1x4y1444点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型 2：圆锥曲线中最值和范围问题x2y2例 3（1）设 AB 是过椭圆22 1(a b 0)中心的弦，椭圆的左
9、焦点为abF1(c，0)，则F1AB 的面积最大为（）A.bcB.abC.acD.b2x2y2（2）已知双曲线22 1(a 0，b 0)的左右焦点分别为 F1，F2，点P 在双曲线ab的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率的最大值是（）A.43B.53C.2D.72x2y2 1上一点，则|PA|PB|的最（3）已知 A（3，2）、B（4，0），P 是椭圆259大值为（）A.10B.105D.10 2 5 C.105解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为 AB 的中点，则F1OB 的面积为F1AB 面积的一半。又|OF1|c，F1OB 边 OF1上的高为yB，而yB的最大值是
10、b，所以F1OB 的面积最大值为1cb。所以F1AB 的面积最大值为 cb。2点评：抓住F1AB 中|OF1|c为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：|PF1|PF2|2a，55又|PF1|4|PF2|，所以3|PF2|2a，从而|PF2|由双曲线的第二定义可得2a3|PF2|c，2aax c5a25a2c5 a，从而e。故选 B。所以x。又x a，即3c3ca35a2 a成立点评：“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系3c的条件。利用这个结论得出关于a、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。（3）解析：易知 A（3，2）在椭圆内，B（4，0）
11、是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为 F（4，0）。连 PB，PF。由椭圆的定义知：|PB|PF|10，所以|PB|10|PF|，所以|PA|PB|PA|10|PF|10(|PA|PF|)。由平面几何知识，|PA|PF|AF|，即(|PA|PB|)min 10|AF|，而|AF|(34)2(20)25，所以(|PA|PB|)min 10 5。点评：由PAF 成立的条件|PA|PF|AF|，再延伸到特殊情形P、A、F 共线，从而得出|PA|PF|AF|这一关键结论。x22例 4（1）（06 全国 1 文，21）设P 是椭圆2 y 1a 1短轴的一个端点，Q为椭a圆上的一个动点，求PQ的最大值。66
12、v1.0 可编辑可修改（2）（06 上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(3,0),右顶点为D(2,0),设点A1,.求该椭圆的标准方程；若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；过原点O的直线交椭圆于点B,C，求ABC面积的最大值。（3）（06 山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。()求椭圆的方程；()直线l过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当AOB 面积取得最大值时，求直线 l 的方程。解析：（1）依题意可设 P(0,1)，Q(x,y),则|
13、PQ|=x+(y1)，又因为 Q 在椭圆上，所以，x=a(1y)，|PQ|=a(1y)+y 2y+1=(1a)y 2y+1+a，=(1a)(y22222222222221211222)2+1+a。1a1a2211aa 1因为|y|1,a1,若 a 2,则|，2|1,当 y=2时,|PQ|取最大值21a1aa 1若 1a 2,则当 y=1 时,|PQ|取最大值 2。（2）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距 c=3,则半短轴 b=1，x2 y21。又椭圆的焦点在 x 轴上,椭圆的标准方程为4设线段 PA 的中点为 M(x,y),点 P 的坐标是(x0,y0)，x=由得2x1x0=x01277y=y
14、0=y02122y12(2x 1)21(2y)21，由,点 P 在椭圆上,得42线段 PA 中点 M 的轨迹方程是(x)4(y)1。当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此ABC 的面积 SABC=1。122142x2 y21,当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入4解得 B(24k 12,2k4k 12),C(24k 12,2k4k 12)，则BC 41 k21 4k2k,又点 A 到直线 BC 的距离 d=122，1 kABC 的面积 SABC=2k 11。AB d 221 4k4k24k 14k于是 SABC=。14k214k21由4k121,得 S,其中
15、,当 k=时,等号成立。ABC24k21SABC的最大值是2。x2y2（3）解：设椭圆方程为221(a b c)abb c22a（）由已知得 4c222a b ca2 22x22b 1所求椭圆方程为 y 1。2c21（）解 法 一：由 题 意 知 直 线l的 斜 率 存 在，设 直 线l的 方 程 为y kx2,A(x1,y1),B(x2,y2)88y kx222由x2，消去y得关于x的方程：(12k)x 8kx6 0，2 y 1 22由直线l与椭圆相交于 A、B 两点，0 64k 24(12k)0，解得k 223。28kx x 1212k2又由韦达定理得，x x 61212k2|AB|1k|
16、x1 x2|1k原点O到直线l的距离d 221k216k224。(x1 x2)4x1x2212k221k2。SAOB116k2242 2 2k23|AB|d.212k212k216k224解法 1：对S 两边平方整理得：212k4S2k44(S24)k2 S224 0（*），16(S24)244S2(S224)0,214S2S 0，整理得：。S 022SS224 02 4S又S 0，0 S 2，从而S2AOB的最大值为S 2，214。242此时代入方程（*）得4k 28k 49 0，k 所以，所求直线方程为：14x2y 4 0。解法 2：令m 2k23(m 0)，则2k m 3。2299S 2
17、 2m2 2224m 4m2m2144即m 2时，Smax，此时k 。22m当且仅当m 所以，所求直线方程为 14 2y 4 0解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为y kx2,A(x1,y1),B(x2,y2)，则直线l与x轴的交点D(2,0)，k8kx x 31212k22由解法一知k 且，62x1x212k2解法 1：SAOB11 2|OD|y1 y2|kx12kx22|22 k=|x1 x2|(x2 x2)24x1x216k22412k22 2 2k23.12k2下同解法一.解法 2：SAOB SPOBSPOA2 2 2k231。2|x2|x1|x2 x1|212k
18、2下同解法一。点评：文科 06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型 3：证明问题和对称问题1010v1.0 可编辑可修改x2y2例 5（1）（06 浙江理，19）如图，椭圆21（ab0）与ab过点 A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率 e=3.2()求椭圆方程；()设 F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段 AF1的中点，求证：ATM=AF1T。x2y2（2）（06 湖北理，20）设A,B分别为椭圆221(a,b 0)的左、右顶点，椭圆ab长半轴的长等于焦距，且x 4为它的右准线。
19、（）、求椭圆的方程；（）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。（3）（06 上海理，20）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2x相交于 A、B 两点。求证：“如果直线l过点 T（3，0），那么OAOB3”是真命题；写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解析：（1）（I）过点A、B的直线方程为2x y 1.2x2y21a2b2因为由题意得有惟一解，y 1x 12即(b 2122a)x a2x2a2a2b2 0有惟一解，4222222所以 a b(a 4b 4)0（ab 0）
20、，故a 4b 4 0.3a2b2312222,即,a 4b.a 2,b,又因为e 所以从而得22a421111x22y21.故所求的椭圆方程为2（II）由（I）得c 6666,0),F2(,0),从而M(1,0).,故F1(2242x2 2y2112由，解得x1 x21,所以T(1,).2y 1x 12因为tanAFT16211,又tanTAM,tanTMF2,226216261,因此ATM AFT.得tanATM 11216点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。a2（2）（）依题意得a2c，4，解得a2，c1，从而 b3.cx2
21、y21.故椭圆的方程为43（）解法 1：由（）得 A（2，0），B（2，0）.设 M（x0，y0）.M 点在椭圆上，y032（4x0）.14又点 M 异于顶点 A、B，2x00，BMBP0，则MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法 2：由（）得 A（2，0），B（2，0）.设 M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x2b0),其 半 焦 距ab2222222c=6,2a PF1 PF211 2 1 2 6 5a 3 5,b=a-c=9。x2y21所以所求椭圆的标准方程为459点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的
22、对称点分别为点 P(2，5)、F1(0，-6)、F2(0，6)。，x2y2设所求双曲线的标准方程为221(a1 0,b1 0)。a1b1由题意知，半焦距 c1=6，2a1 PF1 PF222211222 1222 4 5。x2y2a1 2 5,b1=c1-a1=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为1。2016点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。题型 4：知识交汇题2例 7（06 辽宁,20）已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2 0)是抛物线y 2px(p 0)上1616的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OAOB
23、 OAOB.设圆C的方程为x2 y2(x1 x2)x(y1 y2)y 0(I)证明线段AB是圆C的直径;(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为2 5时，求 p 的值。5解析：(I)证明 1:22OAOB OAOB,(OAOB)2(OAOB)222OA 2OAOB OB OA 2OAOB OB整理得:OAOB 0 x1x2 y1 y2 0设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则MAMB 0即(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)022整理得:x y(x1 x2)x(y1 y2)y 0故线段AB是圆C的直径证明 2:2OAOB OAOB,(OAO
24、B)2(OAOB)2222OA 2OAOB OB OA 2OAOB OB整理得:OAOB 0 x1x2 y1 y2 0.(1)设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则即y y2y y1 1(x x1,x x2)x x2x x1去分母得:(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)0点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)满足上方程,展开并将(1)代入得:x2 y2(x1 x2)x(y1 y2)y 0故线段AB是圆C的直径1717证明 3:2OAOB OAOB,(OAOB)2(OAOB)2222OA 2OAOB OB OA 2OAOB OB整理得:OAOB 0 x1x
25、2 y1 y2 0(1)以线段 AB 为直径的圆的方程为(xx1 x22y y1)(y12)2(x1 x2)2(y1 y2)2224展开并将(1)代入得:x2 y2(x1 x2)x(y1 y2)y 0故线段AB是圆C的直径(II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则x1 x2x 2y y1 y22y12 2px1,y22 2px2(p 0)y12y22x1x24p2又因x1x2 y1 y2 0 x1x2 y1 y2y12y22 y1 y24p2x1x2 0,y1 y2 0 y1 y2 4p2x x1 x2y y11(y12 y22)(y12 y222y1y2)1224p4p4p181
26、812(y 2p2)p22所以圆心的轨迹方程为y px 2p设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则12(y 2p2)2y|x2y|y22py 2p2|pd 555p|(y p)2 p2|5p当 y=p 时,d 有最小值pp2 5,由题设得555 p 2.解法 2:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则x1 x2x 2y y1 y22y12 2px1,y22 2px2(p 0)y12y22x1x224p又因x1x2 y1 y2 0 x1x2 y1 y2y12y22 y1 y224px1x2 0,y1 y2 0 y1 y2 4p2x 19x1 x2y y11(y12 y22)(y12 y
27、222y1y2)1224p4p4p1912(y 2p2)p22所以圆心的轨迹方程为y px 2p设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为2 5,则5m 2因为 x-2y+2=0 与y px 2p无公共点,所以当 x-2y-2=0 与y px 2p仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为22222 55x2y2 0(2)22(3)y px2p将(2)代入(3)得y 2py 2p 2p 022 4p24(2p22p)0p 0 p 2.解法 3:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则x1 x2x 2y y2y 12圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则x1
28、x2(y1 y2)|2d 5|y12 2px1,y22 2px2(p 0)y12y22x1x24p22020v1.0 可编辑可修改又因x1x2 y1 y2 0 x1x2 y1 y2y12y22 y1 y24p2x1x2 0,y1 y2 0 y1 y2 4p21(y12 y22)(y1 y2)|y12 y222y1y24p(y1 y2)8p2|4pd 54 5p|(y1 y22p)24p24 5p当y1 y2 2p时,d 有最小值pp2 5,由题设得555 p 2.点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。例 8
29、（06 重庆文，22）如图，对每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线x 4y上的点，过焦点F的直线FAn角抛物线于另一点Bn(sn,tn)。（）试证：xnsn 4(n 1)；n（）取xn 2，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点。2试证：FC1 FC2 FCn 2n2n11；证明：（）对任意固定的n 1,因为焦点 F（0,1），所以可设直线AnBn的方程为y 1 knx,22将它与抛物线方程x 4y联立得:x 4knx4 0,2121由一元二次方程根与系数的关系得xnsn 4(n 1)（）对任意固定的n 1,利用导数知识易得抛物线x 4y在An处的切线的斜率2kAnxnx
30、,故x2 4y在An处的切线的方程为：y ynn(x xn)，22s2类似地，可求得x 4y在Bn处的切线的方程为：ytnn(xsn)，22222xnsnxnsnxnsnx，由得：yntn 224422xnsnxnsnx sx,x nn242将代入并注意xnsn 4得交点Cn的坐标为(由两点间的距离公式得：FCn2xn sn,1)222xn sn2xnsn()4 22442xxnx42222 (n)2,FCnn4xn2xn2xnn现在xn 2，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：FC1 FC21(22221 FCn(x1 x22112n)2(222 xn)2(11x1x21)xn1)(2n1)(221n)2n2n11.n2点评：该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。2222