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1、曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 一知识要点 1曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤 含 义 说 明 1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点 M的坐标。(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件 P 的点 M的集合 P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换 用 坐 标 法 表 示 条 件P(M)，列 出 方 程f(x,y)=0 常常用到一些公式。4、“化”：
2、化简 化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质
3、而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标 x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线 Cf(x，y)=0 与直线 l y=kx+b相交于A(x1，
4、y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及
5、与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：实际问题 模型的解 数学模型方程 讨论方程的解 翻译回去 建立坐标系 转化成数学问题 （4）知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。二典例解析 题型 1：求轨迹方程 例 1（1）一动圆与圆22650 xyx 外切，同时与圆226910 xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线2219xy有动点P，12,F F是曲线的两个焦点，求12PF F的重心M的轨迹方程。解析：（
6、1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y，半径为R，设已知圆的圆心分别为1O、2O，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100 xy，当Me与1Oe相切时，有1|2O MR 当Me与2Oe相切时，有2|10O MR 将两式的两边分别相加，得21|12O MO M，即2222(3)(3)12xyxy 移项再两边分别平方得：222(3)12xyx 两边再平方得：22341080 xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12xyxy，由以上方程知，动圆圆心(,)M x y到点1(3,0)O 和2
7、(3,0)O的距离和是常数12，所以x y 1O 2O P 坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之
8、间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而点M的轨迹是焦点为1(3,0)O、2(3,0)O，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，26c，212a，3c，6a，236927b ，圆心轨迹方程为2213627xy。（2）如图，设,P M点坐标各为11(,),(,)P x yM x y，在已知双曲线方程中3,1ab，9110c 已知双曲线两焦点为12(10,0),(10,0)FF，12PF F存在，10y 由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。10y，0y。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(
9、3)(3)1(0)9xyy 即所求重心M的轨迹方程为：2291(0)xyy。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例 2（2001 上海，3）设P为双曲线42xy21 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。解析：（1）答案：x24y21 设P（x0，y0）M（x，y）2,200yyxx 2xx0，2yy0 442x4y21x24y21 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型 2：圆锥曲线中最值和范围问题 例 3（1）设 AB 是过椭圆xaybab222210()中心的弦，椭圆的左焦点为Fc10()，则 F1AB的
10、面积最大为（）A.bc B.ab C.ac D.b2 坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关
11、系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而 （2）已知双曲线xaybab2222100()，的左右焦点分别为 F1，F2，点 P在双曲线的右支上，且|PFPF124，则此双曲线的离心率的最大值是（）A.43 B.53 C.2 D.72 （3）已知 A（3，2）、B（4，0），P 是椭圆xy222591上一点，则|PA|PB|的最大值为（）A.10 B.105 C.105 D.102 5 解析：（1）如图，由椭圆对称性知道 O为 AB的中点，则F1OB的面积为F1AB面积的一半。又|OFc1，F1OB边 OF1上的高为yB，而yB的最大值是 b，所以F1OB的面积最大值为12c
12、b。所以F1AB的面积最大值为 cb。点评：抓住F1AB中|OFc1为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：|PFPFa122，又|PFPF124，所以322|PFa，从而|PFa223 由双曲线的第二定义可得|PFxacca22，所以xac532。又xaaca，即532，从而eca 53。故选 B。点评：“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532aca成立的条件。利用这个结论得出关于 a、c 的不等式，从而得出 e 的取值范围。坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标
13、系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而（3）解析：易知 A（3，2）在椭圆内，B（4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为 F（4，0）。连 PB
14、，PF。由椭圆的定义知：|PBPF 10，所以|(|)PBPFPAPBPAPFPAPF 101010，所以。由平面几何知识，|PAPFAF，即(|)|minPAPBAF 10，而|()()AF 3420522，所以(|)minPAPB105。点评：由PAF成立的条件|PAPFAF，再延伸到特殊情形 P、A、F共线，从而得出|PAPFAF这一关键结论。例 4（1）（06 全国 1 文，21）设 P是椭圆 22211xyaa短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值。（2）（06 上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F,右顶点为(2,0
15、)D,设点11,2A.求该椭圆的标准方程；若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；过原点O的直线交椭圆于点,B C，求ABC面积的最大值。（3）（06 山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 l。()求椭圆的方程；()直线l过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当AOB面积取得最大值时，求直线 l 的方程。坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件
16、简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而解析：（1）依题意可设 P(0,1)，Q(x,y),则|PQ|=x2+(y 1)2，又因为 Q在椭圆上，所以，x2=a2(1 y2)，|PQ|2=a2(1 y2)+y22y+1=(1a
17、2)y22y+1+a2，=(1a2)(y 11a2)211a2+1+a2。因为|y|1,a1,若 a 2,则|11a2|1,当 y=11a2时,|PQ|取最大值a2a21a21，若 1a 2,则当 y=1 时,|PQ|取最大值 2。（2）由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c=3,则半短轴 b=1，又椭圆的焦点在 x 轴上,椭圆的标准方程为1422yx。设线段 PA的中点为 M(x,y),点 P的坐标是(x0,y0)，由 x=210 x 得 x0=2x1 y=2210y y0=2y21 由,点 P在椭圆上,得1)212(4)12(22yx，线段 PA中点 M的轨迹方程是1)41(4)21(2
18、2yx。当直线 BC垂直于 x 轴时,BC=2,因此ABC的面积 SABC=1。当直线 BC不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入1422yx,解得 B(1422k,1422kk),C(1422k,1422kk)，则224114kkBC,又点 A到直线 BC的距离 d=2121kk，ABC的面积 SABC=2411221kkdAB。于是 SABC=144114144222kkkkk。坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常
19、条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而由1442kk1,得 SABC2,其中,当 k=21时,等号成立。SABC的最大值是2。（3）解：设椭圆方程为22221()xyabcab （）由已知得222224bcacabc 222211ab
20、c 所求椭圆方程为2212xy。（）解 法 一：由 题 意 知 直 线l的 斜 率 存 在，设 直 线l的 方 程 为11222,(,),(,)ykxA x yB xy 由22212ykxxy，消去y得关于x的方程：22(12)860kxkx，由直线l与椭圆相交于 A、B两点，2206424(12)0kk V，解得232k。又由韦达定理得122122812612kxxkxxk ，222121212|1|1()4ABkxxkxxx x2221162412kkk。原点O到直线l的距离221dk。2222116242 2 23|21212AOBkkSAB dkkVQ.解法 1：对22162412kS
21、k两边平方整理得：2422244(4)240S kSkS（*），坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐
22、标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而0S，2222222216(4)4 4(24)0,402404SSSSSSS ，整理得：212S。又0S，202S ，从而AOBSV的最大值为22S，此时代入方程（*）得 42428490kk，142k 。所以，所求直线方程为：14240 xy。解法 2：令223(0)mkm，则2223km。22 22 22442mSmmm 当且仅当4mm即2m 时，max22S，此时142k 。所以，所求直线方程为14240y 解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为11222,(,),(,)ykxA x yB xy，则
23、直线l与x轴的交点2(,0)Dk，由解法一知232k 且122122812612kxxkxxk ，解法 1：121211 2|22|22AOBSODyykxkxk V =12|xx 22212()4xxx x 22162412kk 坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上
24、即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而 222 2 2312kk.下同解法一.解法 2：AOBPOBPOASSSVVV2112|2xx 21|xx222 2 2312kk。下同解法一。点评：文科 06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型 3：证明问题和对称问题 例 5（1）（06 浙江理，19）如图，椭圆byax2221
25、（ab0）与过点 A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 e=23.()求椭圆方程；()设 F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段 AF1的中点，求证：ATM=AF1T。（2）（06 湖北理，20）设,A B分别为椭圆22221(,0)xya bab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x 为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP分别与椭圆相交于异于,A B的点MN、，证明点B在以MN为直径的圆内。（3）（06 上海理，20）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y2x相交于 A、B两点。求
26、证：“如果直线l过点 T（3，0），那么OA OB3”是真命题；写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 解析：（1）（I）过点A、B的直线方程为1.2xy 因为由题意得12112222xybyax有惟一解，坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即
27、要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而即222222221()04baxa xaa b有惟一解，所以2222(44)0a bab （0ab），故22440.ab 又因为 3,2e 即 2223,4aba所以 224.ab从而得 2212,2ab 故所求的椭圆方程为2221.2xy（II）由（I）得 6,2c 故1266(,0),(,0),22FF从而6(1,0).4M 由12112222xyyx，解
28、得121,xx所以 1(1,).2T 因为16tan1,2AFT又1tan,2TAM22tan,6TMF 得2126tan116ATM61,2因此1.ATMAFT 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（2）（）依题意得 a2c，ca24，解得a2，c1，从而 b3.故椭圆的方程为 13422yx.（）解法 1：由（）得 A（2，0），B（2，0）.设 M（x0，y0）.M点在椭圆上，y043（4x02）.1 又点 M异于顶点 A、B，2x00，BMBP0，则MBP为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B在以 MN为直径的圆内。解法
29、2：由（）得 A（2，0），B（2，0）.设 M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x2b0),其 半 焦 距c=6,2222122112126 5aPFPF3 5a,b2=a2-c2=9。所以所求椭圆的标准方程为221459xy 点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。设所求双曲线的标准方程为221122111(0,0)xyabab。由题意知，半焦距 c1=6，22221122112124 5aP FP F。12 5a,b12=c12-a12=36-20=16.所以所求双曲线的标准
30、方程为2212016xy。点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。题型 4：知识交汇题 例 7（06 辽宁,20）已知点11(,)A x y,22(,)B xy12(0)x x 是抛物线22(0)ypx p上的两个动点,O是坐标原点,向量OAuuu r,OBuuu r满足OAOBOAOBuuu ruuu ruuu ruuu r.设圆C的方程为 221212()()0 xyxxxyyy(I)证明线段AB是圆C的直径;(II)当圆 C的圆心到直线 X-2Y=0的距离的最小值为2 55时，求 p 的值。解析：(I)证明 1:22,()()OAOBOAO
31、BOAOBOAOBuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQ 222222OAOA OBOBOAOA OBOBuuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r 整理得:0OA OBuuu r uuu r 12120 xxyy 设 M(x,y)是以线段 AB为直径的圆上的任意一点,则0MA MBuuu r uuu r 即1212()()()()0 xxxxyyyy 整理得:221212()()0 xyxxxyyy 坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有
32、给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而故线段AB是圆C的直径 证明 2:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOBuuu ruuu ru
33、uu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQ 222222OAOA OBOBOAOA OBOBuuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r 整理得:0OA OBuuu r uuu r 12120 xxyy .(1)设(x,y)是以线段 AB为直径的圆上则 即2112211(,)yyyyxx xxxxxx 去分母得:1212()()()()0 xxxxyyyy 点11122122(,),(,),(,)(,)x yx yxyxy满足上方程,展开并将(1)代入得:221212()()0 xyxxxyyy 故线段AB是圆C的直径 证明 3:22,
34、()()OAOBOAOBOAOBOAOBuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQ 222222OAOA OBOBOAOA OBOBuuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r 整理得:0OA OBuuu r uuu r 12120 xxyy (1)以线段 AB为直径的圆的方程为 2222121212121()()()()224xxyyxyxxyy 展开并将(1)代入得:221212()()0 xyxxxyyy 故线段AB是圆C的直径(II)解法 1:设圆 C的圆心为 C(x,y),则 121222xxxyyy 2
35、211222,2(0)ypx ypxpQ 坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定
36、曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而22121224y yx xp 又因12120 xxyy 1212xxyy 22121224y yyyp 12120,0 xxyy Q 2124yyp 2222121212121211()(2)2444xxy yxyyyyy yppp 221(2)ypp 所以圆心的轨迹方程为222ypxp 设圆心 C到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 22221|(2)2|2|22|555ypyxyypyppdp 22|()|5yppp 当 y=p 时,d 有最小值5p,由题设得2 555p 2p.解法 2:设圆 C的圆心为 C(x,y),则 121222x
37、xxyyy 2211222,2(0)ypx ypxpQ 坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的
38、关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而22121224y yx xp 又因12120 xxyy 1212xxyy 22121224y yyyp 12120,0 xxyy Q 2124yyp 2222121212121211()(2)2444xxy yxyyyyy yppp 221(2)ypp 所以圆心的轨迹方程为222ypxp 设直线 x-2y+m=0到直线 x-2y=0 的距离为2 55,则 2m 因为 x-2y+2=0 与222ypxp无公共点,所以当 x-2y-2=0 与222ypxp仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为2 55 22220(
39、2)2(3)xyypxp LL 将(2)代入(3)得222220ypypp 2244(22)0ppp 02.ppQ 解法 3:设圆 C的圆心为 C(x,y),则 坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转
40、移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而121222xxxyyy 圆心 C到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 1212|()|25xxyyd 2211222,2(0)ypx ypxpQ 22121224y yx xp 又因12120 xxyy 1212xxyy 22121224y yyyp 12120,0 xxyy Q 2124yyp 2212122221212121|()()|24()8|454 5yyyyyyy yp yyppdp 2212(2)44 5yyp
41、pp 当122yyp时,d 有最小值5p,由题设得2 555p 2p.点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。例 8（06 重庆文，22）如图，对每个正整数n，(,)nnnA xy是抛物线24xy上的点，过焦点F的直线nFA角抛物线于另一点(,)nnnB s t。坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的
42、解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而（）试证：4(1)nnx sn；（）取2nnx，并记nC为抛物线上分别以nA与nB为切点的两条切线的交点。试证：112221nnnFCFCFC L；证明：（）对任意固定的1,n 因为焦点 F（0,1），所以可设直线nnA B的方程为1,nyk
43、x 将它与抛物线方程24xy联立得:2440nxk x,由一元二次方程根与系数的关系得4(1)nnx sn （）对任意固定的1,n 利用导数知识易得抛物线24xy在nA处的切线的斜率,2nnAxk故24xy在nA处的切线的方程为：()2nnnxyyxx，类似地，可求得24xy在nB处的切线的方程为：()2nnnsytxs，由得：22222244nnnnnnnnxsxsxsytx ，22,242nnnnnnxsxsxsxx 将代入并注意4nnx s 得交点nC的坐标为(,1)2nnxs 由两点间的距离公式得：2222()42244nnnnnxsxsFC 2224222(),422nnnnnnnx
44、xxFCxxx 现在2nnx，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：12121221121111()2()21111(222)2()(21)(22)221.2222nnnnnnnnnFCFCFCxxxxxx LLLLL 点评：该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。坐标建立适当的直角坐标系设设动点坐系用表示曲线上标任意一点的坐标说明所研究的问题已给出坐标系即可直接设点没有给出坐标系首先要选取适当的坐标系这是求曲线方程的重要一步应仔细分析题意使写出的条件简明正确常常条件列出方程化方程为最简形式证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明化简的过程若是方程的同解变形可以不要证明变形过程中产生不增根或失根应在所方程中删去或补上即要注意方程变量的取值范围这五个步骤骤来求解这是求曲线方程的基本方法转移代入法这个方法又叫相关点法或坐标代换法即利用动点是定曲线上的动点另一动点依赖于它那么可寻求它们坐标之间的关系然后代入定曲线的方程进行求解几何法就是根据图形的几何性质而