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1、专题 13 解析几何（1）解析几何小题：10 年 20 考，每年 2 个！太稳定了！太重要了！简单的小题注重考查基础知识和基本概念,综合的小题侧重考查直线与圆锥曲线或直线与圆的位置关系，多数题目比较单一，一般一个容易的，一个较难的.221.(2019 年)双曲线 C:-A.2sin40.xayr1（a0,b0）的一条渐近线的倾斜角为b130,则 C 的离心率为（B.2cos40 sin50ocos50o【答案】DXV【解析】双曲线 C:-241（a0,b0）的渐近线方程为 V=ab22b-x,由双曲线的一条渐近线的倾斜a.2222角为 130。，得btan130oatan50o,则-tan50
2、o2叫acos50bcacaaa22sin50.2o1cos502L LO Ocos502LC。,e.故选D.11cos50ocos50o2.（2019 年）已知椭圆C 的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过 F2的直线与 C 交于 A,B 两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则 C 的方程为()A.匕+y=122B.2aI 斛析|AF21=芈臼1AB日又眄=，附11=2,又1BF11+1BF21=2 一.1BF匚，|AF2|=a,|BF1|=3a,在 RtAAFzO 中，cosZAF2O=-,在用 5F2中，由余弦定理可得 cos/BF2F-【答案】B2a3a221
3、42a2,根据 cosZAF2O+cosZBF2F1=0,可得一+=0,斛得 a2=3,a=V3.b222=a2-c2=3-1=2.，椭圆 C 的方程为+V=1.故选 B.322+=1 的一个焦点为（2,0）,则 C 的离心率为（3.（2018 年）已知椭圆C:22a4B.【解析】椭圆C:1 的一个焦点为（2,0）,可得 a2-4=4,解得 a=2J2，=c=2,e=a4.（2018 年）直线 y=x+1 与圆 x2+y2+2y-3=0 交于 A,B 两点，则|AB|=【解析】圆 x2+y2+2y-3=0 的圆心（0,-1）,半径为 2,圆心到直线的距离为25.（2017 年）已知 F 是双曲
4、线 C:x2-3的右焦点，P 是 C 上一点，且PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标（1,3）,则那 PF 的面积为（2由双曲线 C:x2-=13（2,3）,APIPF,贝 UIAP1=1,IPF的右焦点（2,0）,PF 与 x 轴垂直，设（2,y）,y0,则 y=3,则 P1I=3,APF 的面积 S=X|3APIx|PF|=一，向22一.，一3，一理当 yv0 时，则那 PF 的面积 S=-,故选 D.2226.（2017 年）设 A,B 是椭圆 C:二+匕=1 长轴的两个端点，若3mC 上存在点 M 满足/AMB=120,则 mA.(0,1U9,+8)的取值范围是（）B.(0,73U9,
5、+8)C.(0,1U4,+8)D.(0,V3U4,+8)【答案】A【解析】当椭圆的焦点在 x 轴上时，0vmv3,M 位于短轴的端点时，/AMB 取最大值，要使椭圆 C 上3-存在点 M 满足/AMB=120,ZAMB120；ZAMO60；tanZAMO=tan60=如,解得：0vmW；.m当椭圆的焦点在 y 轴上时，m3,M 位于短轴的端点时，/AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足/AMB=120,ZAMB120；ZAMO60,tanZAMO=tan60=73,解得：m9,.m 的取值范3围是(0,1U9,+8),故选 A.7.（2016 年）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个
6、焦点，若椭圆中心到的离心率为（8.l 的距离为其短轴长的一，则该椭圆142【解析】设椭圆的方程为今11（ab0）,直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线blaxy程为一-1,椭圆中心到 lcb1一1b.11的距离为其短轴长的一，可得：-,4=b2(),4112cbcb2.2的方22ac23,eca8.（2016 年）设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点，若|AB|=2j3,则圆 C 的面积为.【答案】4 兀。.一c-2ay-2=0 相交于 A,B 两点，且|AB|=2j3,，圆心0,【解析】圆 C:x2+y2-2ay-2=0 的圆心坐标为（0
7、,a）,半径为 Ja22,直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2=a2+2,解得：a2=2,圆的半径 r=2.故圆的面积 S=47t.2a）到直线 y=x+2a 的距离 d=，即a+39.（2015 年）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为-,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合，A,22B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为1,E 的右焦点（c,0）与抛物线 C:y2=8x 的焦点（2,0）222重合，可得 c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为-y-1,抛物线的准线方程为
8、 x=-2,由1612x222xv，解得 y=冷，所以 A(-2,3),B(-2,-3),所以|AB|=6.故选 B.y-1161210.（2015 年）已知 F 是双曲线 C:x2-2-=1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0,6屈）.当那 PF8周长最小时，该三角形的面积为【答案】12.6【解析】由题意，设 F 是左焦点,则 AAPF 周长=|AF|+AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF|+2AF|+|AF|+2A,P,F三点共线时，取等号），直线 AF的方程为y21与 x2彳-=1 联立可得丫2+6。6y-96=0,，P 的纵坐标为2J6,.APF 周长最小时，该三角形的
9、面积为66662J612J6.22xy2211.(2014 年)已知双曲线 f=1(a0)的离心率为 2,则实数 a=()a3C.【解析】由题意，e=虫3=2,解得，a=1.故选 D.aa12.(2014 年)已知抛物线 C:丫2=*的焦点为 F,A(xo,yo)是 C 上一点，AF=|-x0|,则 x0=(B.24【解析】抛物线 C:丫2=乂的焦点为C.40),A(R,yO)是 C 上一点,AF=|x01,x00.x0=1x0+,斛得 x0=1.故选 A.13.(2013 年)已知双曲线 C:(a0,b0)的离心率为,则 C 的渐近线方程为(21y=-x3B.C.y=xx【解析】由双曲线C:
10、2ab近线方程为 y=x=ab21(a0,b0),则离心率e=a22=b-=近，即 4b=a,故渐c一故选 D.x,214.(2013 年)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4j2x 的焦点,P 为 C 上一点，若|PF|=4啦，则如 OF4的面积为()A.2B,272C,273D.4【答案】C【解析】抛物线 C 的方程为 y2=4/2x.-.2p=4/2,可得上也,得焦点 F(J2,0),设 P(m,n),2根据抛物线的定义，得|PF|=m+E=4&，即 m+J2=4j2,解得 m=3衣，二 点 P 在抛物线 C 上，得n2=42X3/2=24,.n=:24=26B，=|OF|=V2，
11、二POF 的面积为 S=|OF|柏|=1一J2276=2小,故选C.215.（2012 年）设 Fi、F2是椭圆 E:与+2=1（ab0）的左、右焦点,22ab3a.P 为直线 x=上一点，F2PF12是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为B.【解析】F2PF1是底角为 30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|,P 为直线3ax=上一点，一3ac3,2一c2c,e-故选C.2a4216.（2012 年）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点 B,|AB|=46,则 C 的实轴长为（）B.2近C.4D.8【解析】设等轴双曲线
12、C:x2-y2=a2（a0）,y2=16x 的准线 l：x=-4,0）,则焦点为 F（E,0）,对称轴为 x 轴，准线为 x=-卫，直线 l 经过抛物线的焦点，A、B 是 l 与 C 的交点，又.ABx 轴，|AB|=2p=12,，p=6,又二.点 P 在准线上，.|DP|=（卫 R）=p=6,SMBP=1（|DP|?AB|）=16X12=36,故选 C.222219.（2010 年）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2）,则它的离心率为（褥A.【答案】D【解析渐近线的方程是B.5C.y=bx,2=-4,b12-U5C一 5a-2b,caab=a,e=一即它的离心率为 Y5.故选 D.220.（2010 年）圆心在原点上与直线【答案】x2+y2=2【解析】圆心到直线的距离x+y-2=0 相切的圆的方程为2、22,所求圆的方程为 x2+y2=2.