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1、数列环节二 数学归纳法的应用复习导入复习导入问题问题1 1什么时候需要应用数学归纳法？数学归纳法一般被用于证明某些与无限多个正整数n有关的命题.证明对任意的正整数n，等式 恒成立.不必应用数学归纳法难以应用数学归纳法答案：证明 (nN*)的单调性.复习导入复习导入例例1 1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？答案：有错误 求证：证明：假设当n=k(kN*)时，等式成立，即 ，则当n=k+1时，有 ，所以当n=k+1时等式也成立.由此得出，对任何nN*，等式都成立.(nN*).复习导入复习导入例例1 1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？追问追问1 1 这道题需要
2、证明n=1的情况吗？答案：需要.当n=1时，左边=12=1，右边 左边=右边，所以n=1时该式成立.求证：证明：假设当n=k(kN*)时，等式成立，即 ，则当n=k+1时，有 ，所以当n=k+1时等式也成立.由此得出，对任何nN*，等式都成立.(nN*).复习导入复习导入例例1 1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？追问追问2 2 上述证法如果加上证明n=1的情况，还有错误吗？答案：证明 n=k+1也成立的时候有错误.求证：证明：假设当n=k(kN*)时，等式成立，即 ，则当n=k+1时，有 ，所以当n=k+1时等式也成立.由此得出，对任何nN*，等式都成立.(nN*).复习导
3、入复习导入例例1 1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？追问追问3 3 如何修改上述证法？求证：证明：假设当n=k(kN*)时，等式成立，即 ，则当n=k+1时，有 ，所以当n=k+1时等式也成立.由此得出，对任何nN*，等式都成立.(nN*).复习导入复习导入例例1 1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？追问追问3 3 如何修改上述证法？答案：假设当n=k 时该式成立，就成了已知条件.比较一下已知条件和要证明的式子，等号左边多了一个 ，因此两边同时加 ，有 在进行化简即可.说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立，加之k的任意性，可知：对任何nN*，等
4、式都成立.第二步要证命题“若P(k)（kN*，kn0）为真 则P(k1)也为真”.方法归纳方法归纳问题问题2 2怎样正确地使用数学归纳法？不能缺少第一步的验证；用上假设，递推才真答案：典例剖析典例剖析例例2 2已知数列 满足 ，(nN*)，试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.解：由 ，可得 由 可得同理可得归纳上述结果，猜想(nN*).(nN*).典例剖析典例剖析例例2 2解：下面用数学归纳法证明这个猜想(1)当n=1时，左边=a1=0，右边 =0，猜想成立.，即当n=k+1时，猜想也成立.由(1)(2)可知，猜想任何正整数n都成立.(2)假设n=k(kN*)时成立，即 ，那么(n
5、N*).已知数列 满足 ，(nN*)，试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.典例剖析典例剖析例例3 3已知数列an，an0，a10，求证：当nN*时，anan1答案：（1）由题意得，当n1时，因为an0，所以 ，即a1a2成立追问追问1 1 该如何解决这道题？典例剖析典例剖析例例3 3已知数列an，an0，a10，求证：当nN*时，anan1（2）假设当nk（kN*）时，0akak1，又an0，所以ak2ak110，所以(ak2ak1)(ak2ak11)0，所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立综上可知，anan1对任意nN*都成立典例剖析典例剖析例例4 4用数学归纳法证明
6、：（nN*）（1）当n1时，不等式成立追问追问1 1 该如何解决这道题？（2）假设当nk（kN*）时，不等式成立，则当nk1时，即当nk1时，不等式成立即由（1）和（2）可知，不等式对任意nN*都成立答案：典例剖析典例剖析例例5 5设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.答案：一种思路是不求和，直接通过n取特殊值比较前n项和与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出前n项和公式，再通过n取特殊值比较前n项和与n的大小关系，然后做出猜想.这道题有哪些思路？典例剖析典例剖析答案：由
7、已知可得当n=2时，由x0，可得当n=3时，由x0，可得S2 2；由此，我们猜想，追问追问1 1 该如何解决这道题？S3 3；Sn n.设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例例5 5(2)假设当n=k（kN*，且k2）时，不等式成立，即Sk k，典例剖析典例剖析由x0，可得1+x1，所以(1+x)k.于是Sk+1=Sk+(1+x)k答案：用数学归纳法证明猜想Sn n.(1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式Sn n 对任何大于1的正整数n都成立.k+(1+x)k k+
8、1所以，当n=k+1时，不等式也成立.追问追问1 1 该如何解决这道题？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例例5 5典例剖析典例剖析显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是答案：追问追问2 2 这道题还有其他解法吗？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例例5 5典例剖析典例剖析当n=2时，=x+2，由x0，可得S22；当n=3时，由此，我们猜想，Snn.显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于
9、是答案：=x2+3x+3，由x0，可得S33；追问追问2 2 这道题还有其他解法吗？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例例5 5典例剖析典例剖析(1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立.答案：用数学归纳法证明猜想Snn.追问追问2 2 这道题还有其他解法吗？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例例5 5典例剖析典例剖析(2)假设当n=k（kN*，且k2）时，不等式成立，即 ，由x0，知(1+x)k
10、xk+1.所以又x0，所以Sk+1k+1.当n=k+1时，不等式也成立.由(1)(2)可知，不等式Snn 对任何大于1的正整数n都成立.所以，(1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立.答案：用数学归纳法证明猜想Snn.追问追问2 2 这道题还有其他解法吗？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例例5 5课堂小结课堂小结问题问题3 3通过本节课，你有哪些收获？答答案案：这节课学习了数学归纳法的应用，回答了“什么时候需要应用数学归纳法”和“怎样正确地应用数学归纳法”这两个问题.数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，用于证明与正整数有关的数学命题，应用比较广泛，并且某些时候是其他方法难以替代的.数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变到质变的飞跃，令人不得不赞叹它的力量与魅力.