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1、一、高考要求一、高考要求 1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等等,求三角函数的最大值和最小值求三角函数的最大值和最小值.2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值最小值.3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决解决.最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导
2、公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点也是函数内容的交汇点,常见方常见方法有法有:1.涉及正、余弦函数以及涉及正、余弦函数以及 asin+bcos,可考虑利用三角可考虑利用三角函数函数的有界性的有界性.二、重点解析二、重点解析三、知识要点三、知识要点 2.形如形如 y=asin2x+bsinx+c 或或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通的函数可通过适当变换、配方求解过适当变换、配方求解.3.形如形如 sinx+cosx,sinxcosx 在关系式中时在关系式中时,可考虑换元法可考虑换元法处理处理.常见的三角换元常见的三角换元 1.若若
3、 x2+y2=1,可设可设 x=cos,y=sin;2.若若 ax2+y2b,可设可设 x=rcos,y=rsin,ar2b;3.对于对于 1-x2,由于由于|x|1,可设可设 x=cos(0 )或或 x=sin (-);2 2 4.对于对于 1+x2,可设可设 x=tan(-)或或 x=cot(0 );2 2 5.对于对于 x2-1,可设可设 x=sec(0 或或 )或或 x=csc (-0 或或 00,只需考察只需考察 y2 的最值的最值.=.2716y2=4cos2 cos2 sin2 2x 2x 2x 2()3 2sin2 +cos2 +cos2 32x 2x 2x 仅当仅当 2sin
4、2 =cos2 ,即即 tan =(0 x)时取等号时取等号.2x 2x 2x 22y 无最小值无最小值.当当 x=2arctan 时时,y2 取最大值取最大值 .2227164 39当当 x=2arctan 时时,y 取最大值取最大值 ;222x 2.求函数求函数 y=(1+cosx)sin (0 x0,-2a(-)+2a+b=1,12-2a1+2a+b=-5,a0,-2a(-)+2a+b=-5,12-2a1+2a+b=1.或或解得解得:a=2,b=-5 或或 a=-2,b=1.6.求求 y=的最值及对应的的最值及对应的 x 的集合的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx 解解:
5、y=2+sinx sin2x+4sinx+3 2+sinx(2+sinx)2-1=2+sinx-.2+sinx 1令令 2+sinx=t,则则 y=f(t)=t-(1t3).t 1对于任意的对于任意的 t1,t2 1,3,且且 t1t2 有有 f(t1)-f(t2)=(t1-)-(t2-)t11t21t1t2 1+t1t2 =(t1-t2)()0.即即 f(t1)-f(t2)0 f(t1)f(t2).f(t)在在 1,3 上是增函数上是增函数.当当 t=1 时时,ymin=f(t)min=0,此时此时,sinx=-1,x 的集合为的集合为:x|x=2k-,k Z;2 x|x=2k+,k Z.2
6、 当当 t=3 时时,ymax=f(t)max=,此时此时,sinx=1,x 的集合为的集合为:83 7.函数函数 y=sin2x+acosx+a-(0 x )的最大值为的最大值为 1,求求 a的的值值.2 5832解解:由已知由已知 y=-cos2x+acosx+a-5812=-(cosx-)2+a-.4a2 a25812 令令 t=cosx,则则 y=-(t-)2+a-(0t1).4a2 a25812讨论如下讨论如下:若若 0 1,则则 t=时时,由题设由题设 ymax=+a-=1.a2a24a2 5812解得解得 a=-4(舍去舍去)或或 a=.32解得解得 a=(舍去舍去).512若若
7、 1,则则 t=1 时时,由题设由题设 ymax=a-=1.32a2813解得解得 a=(舍去舍去).1320综上所述综上所述 a=.328.若方程若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解恒有实数解,求求 a 的取值范围的取值范围.解法解法 1 从方程有解的角度考虑从方程有解的角度考虑.原方程即为原方程即为:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令令 t=cos2x,则则|t|1,且且 2t2+2t-3+a=0 恒有解恒有解.解得解得:-1a .72解法解法 2 从二次函数图象及性质考虑从二次函数图象及性质考虑.问题转化为问题转化为:“a 为何值时为何值时,f(t)=2t2+2
8、t+a-3 的图象与横轴至少有一个交的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在点的横坐标在-1,1 内内.”f(t)图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 t=-,12=4(7-2a)0,-2+4(7-2a)4|1,=4(7-2a)0,-2-4(7-2a)4|1,或或解得解得:-1a .720,f(-1)0,f(-1)0.f(1)0,或或 8.若方程若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解恒有实数解,求求 a 的取值范围的取值范围.解法解法 3 正难则反正难则反,从反面考虑从反面考虑.f(t)图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 t=-,12若方程若方程 f(t)=2t2+2t+a-3=0
9、 的两根均在的两根均在-1,1 之外之外,则则72当当=4(7-2a)0,即即 a 时时,f(1)0.解得解得:a0 时时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)2.函数函数 y=acosx+b(a,b为常数为常数),若若-7y1,求求 bsinx+acosx 的最大值的最大值.解得解得 a=4,b=-3,此时此时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当当 a0 时时,bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)解得解得 a=-4,b=-3,此时此时,a+b=-7,-a+b=1,(tan=).43当当 a=0 时时,不合题意不合题意
10、.综上所述综上所述,bsinx+acosx 的最大值为的最大值为 5.解解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令令 sinx=t,则则 y=-(t+a)2+a2-a+1(-1t1).若若-a1,则当则当 t=-1 时时,y 有最大值有最大值 3.求函数求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值为定值)的最大值的最大值 M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若若-1-a1,即即-1a1,则当则当 t=-a 时时,y 有最大值有最大值 M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若若-a1,即即 a-1,则当则当 t=1 时时,y 有最
11、大值有最大值 M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.综上所述综上所述,M=a2-a+1,-1a1,-3a,a1.4.当当 a0 时时,求函数求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值的最大值、最小值以及相应的以及相应的 x 的取值的取值.解解:f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 f(x)=g(t)=(t2-1)+at+a2 12=(t+a)2+a2-1.12a 为常数为常数,只需求只需求 y=(t+a)2 的最值的最值.t-2,2,且且 a0,当当 t=2,即即 x=2k+(k Z)时时,f(x)取最大值取最大值 a2+2 a+.4 12若若
12、 0a 2,则则-2-a0,当当 t=-a 即即 x=2k arccos(-a)+(k Z)时时,f(x)取最小值取最小值 (a2-1);224 12若若 a 2,则当则当 t=-2,即即 x=2k+(k Z)时时,45 12 f(x)取最小值取最小值 a2-2 a+.令令 t=sinx+cosx,则则 t=2 cos(x-)且且 t-2,2,4 5.设设 0,且且 cos2+2msin-2m-20 恒成立恒成立,求求 m 的取的取值范围值范围.2 解法解法 1 由已知由已知 0sin 1 且且 1-sin2+2msin-2m-20 恒成立恒成立.令令 t=sin,则则 0t1 且且 1-t2
13、+2mt-2m-20 对对 t 0,1 恒成立恒成立.故可讨论如下故可讨论如下:(1)若若 m0.即即 2m+10.解得解得 m-,12(2)若若 0m1,则则 f(m)0.即即-m2+2m+10.亦即亦即 m2-2m-10.解得解得:1-2m1+2,0m1;-m1,则则 f(1)0.即即 0 m+20.m R,m1.综上所述综上所述 m-.12 即即 m 的取值范围是的取值范围是(-,+).12解法解法 2 题中不等式即为题中不等式即为 2(1-sin)m-1-sin2.0,2 0sin 1.当当 sin=1 时时,不等式显然恒成立不等式显然恒成立,此时此时 m R;当当 0sin-恒成立恒
14、成立.1+sin2 2(1-sin)令令 t=1-sin,则则 t(0,1,且且 2t 1+(1-t)2 1t 2t m-=1-(+)恒成立恒成立.易证易证 g(t)=1-(+)在在(0,1 上单调递增上单调递增,有最大值有最大值-,1t 2t 12m-.12即即 m 的取值范围是的取值范围是(-,+).12 5.设设 0,且且 cos2+2msin-2m-20 恒成立恒成立,求求 m 的取的取值范围值范围.2 6.设设 0 ,P=sin2+sin-cos.(1)若若 t=sin-cos,用用含含 t 的式子表示的式子表示 P;(2)确定确定 P 的取值范围的取值范围,并求出并求出 P 的最大
15、值和的最大值和最小值最小值.解解:(1)t=sin-cos,t2=1-2sin cos=1-sin2.sin2=1-t2.P=1-t2+t.(2)t=sin-cos=2 sin(-).4 0 ,-,4 4 43 即即 P=-t2+t+1.-sin(-)1.224 -1t 2.P=-t2+t+1 的图象是开口向下的抛物线的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为其对称轴为 12直线直线 t=,12当当 t=时时,P 取最大值取最大值 ;54当当 t=-1 时时,P 取最小值取最小值-1.54从而从而 P 的取值范围是的取值范围是-1,.7.已知已知 f(x)=2cos2x+3 sin2x+a(a R)
16、,(1)若若 x R,求求 f(x)的的单调增区间单调增区间;(2)若若 x 0,时时,f(x)的最大值为的最大值为 4,求求 a 的值的值;(3)在在(2)的条件下的条件下,求满足求满足 f(x)=1 且且 x-,的的 x 的集合的集合.2 解解:(1)f(x)=1+cos2x+3 sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.6 由由 2k-2x+2k+得得:6 2 2 k-xk+.3 6 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k-,k+(k Z);6 3 6 (2)由由 2x+=得得 x=2 6 0,2 故当故当 x=时时,f(x)取最大值取最大值 3+a.6 由题设由题设 3+a=4
17、,a=1.(3)在在(2)的条件下的条件下,f(x)=2sin(2x+)+2.6 2 1f(x)=1,sin(2x+)=-.6 又由题设又由题设 2x+-,6 6116132x+=-或或-或或 或或 .6 6 65 67 611x=-,-,.2 6 2 65 6 2 65 故所求集合为故所求集合为 -,-,.2 8.设设 f(x)=cos2x+asinx-(0 x ).(1)用用 a 表示表示 f(x)的最的最大值大值 M(a);(2)当当 M(a)=2时时,求求 a 的值的值.4a122 解解:(1)f(x)=-sin2x+asinx-+.4a12令令 t=sinx,则则 0t1,故有故有:
18、f(x)=g(t)=-t2+at-+=-(t-)2+-+(0t1).4a122a4a2 4a12要求要求 f(x)的最大值的最大值 M(a),可分情况讨论如下可分情况讨论如下:g(t)在在 0,1 上先增后减上先增后减.g(t)在在 0,1 上为减函数上为减函数.当当 0,即即 a1,即即 a2 时时,2aM(a)=g()=-+;2a4a2 4a12g(t)在在 0,1 上为增函数上为增函数.M(a)=g(1)=a-.1234-,a2.1234若若 -+=2,即即 a2-a-6=0,4a2 4a12(2)由由(1)知知,若若 -=2,则则 a=-6;4a12解得解得 a=3 或或-2.均不合题
19、意均不合题意,舍去舍去;1234若若 a-=2,则则 a=.310综上所述综上所述,a 的值为的值为-6 或或 .310小魔方站作品小魔方站作品 盗版必究盗版必究语文语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用！谢谢您下载使用！附赠附赠 中高考状元学习方法中高考状元学习方法 前前 言言 高考状元是一个特殊的群体，在许多高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡
20、而普通，但他们们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。青春风采北京市文科状元北京市文科状元 阳光女孩阳光女孩-何旋何旋 高考总分：高考总分：692分分(含含20分加分分加分)语文语文131分分 数学数学145分分英语英语141分分 文综文综255分分毕业学校：北京二中毕业学校：北京二中报考高校：报考高校：北京大学光
21、华管理学院北京大学光华管理学院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的
22、，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分高考总分:711分分毕业学校毕业学校:北京八中北京八中语文语文139分分 数学数学140分分英语英语141分分 理综理综291分分报考高校：报考高校：北京大学光华管理学院北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心北京市理科状元杨蕙心 班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成
23、的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。
24、高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。上海上海20062006高考高考理科理科状元状元-武亦武亦文文武亦文武亦文 格致中学理科班学生格致中学理科班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文高考成绩：语文127127分分 数学数学142142分分 英语英语144144分分 物理物理145145分分 综合综合2727分分 总分总分585585分分 “一分也不能少一分也不能少”“我坚持做好每天的预习、复习，每我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上天放学回家看半小时报纸，晚上1010：3030休息，感觉很轻松地
25、度过了三年高休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。中学习。”当得知自己的高考成绩后，当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，格致中学的武亦文遗憾地说道，“平平时模拟考试时，自己总有一门满分，时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。这次高考却没有出现，有些遗憾。”坚持做好每个学习步骤坚持做好每个学习步骤 武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。态度，坚持认真做好每天的预习、复习。“高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。走，保证课堂效率。”武
26、亦文介绍，武亦文介绍，“班主班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。励学生注重学习的过程。”上海高考文科状元上海高考文科状元-常方舟常方舟曹杨二中高三曹杨二中高三(14)(14)班学生班学生 班级职务：学习委员班级职务：学习委员 高考志愿：北京高考志愿：北京 大学中文系大学中文系高考成绩：语文高考成绩：语文1
27、21121分数学分数学146146分分 英语英语146146分历史分历史134134分分 综合综合2828分总分分总分575575分分 (另有附加分另有附加分1010分分)“我对竞赛题一样发怵我对竞赛题一样发怵”总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚高中三年，我每天晚上都是上都是10:3010:30休息，这个生活习惯雷打不动。休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是早晨总是6:156:15起床，以保证八小时左右的睡起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会眠。平时功课再多再忙，我也不会开夜车
28、开夜车。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。就算完。“用好课堂用好课堂4040分钟最重要。我的经验是，哪怕分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，定是
29、不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的正在于试题多为基础题，对上了自己的“口口味味”。