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1、.线性代数复习要点线性代数复习要点第一部分第一部分行列式行列式1.1.排列的逆序数排列的逆序数2.2.行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则3.3.行列式的性质及行列式的计算行列式的性质及行列式的计算行列式的定义行列式的定义1.1.行列式的计算：行列式的计算：(定义法定义法)Dna11a21a12La22La1na2nMannMMan1an2Lj1j2L jn(1)(j1j2L jn)a1j1a2 j2L anjn（降阶法）（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和行列式等于它的任一行（列）的各元素与
2、其对应的代数余子式的乘积之和.推论推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.A,i j,ai1Aj1ai2Aj2L ainAjn0,i j.下载可编辑.(化为三角型行列式化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.A b11*0b22M00L=A*O0*bnnB b11b22L bnnAO 若若A与B都是方阵（不必同阶）都是方阵（不必同阶）,则则AOOBOB A BOAA=(1)mnA BBOBOa1
3、nOOan1a2n1NOa1n 关于副对角线：关于副对角线：a2n1Nan11x22x2Mn1x2LLLL(1)n(n1)2a1na2nK an11x1 范德蒙德行列式：范德蒙德行列式：x12Mx1n11xn2xi xjxn1 jinMn1xnabbLbabLab型公式：型公式：bbaLMMM ObbbLbbn1b a(n1)b(ab)Ma(升阶法升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.(递推公式法递推公式法)对对n阶行列式阶行列式Dn找出找出Dn与与Dn1或或Dn1,Dn2之间的一种关系称为递推公式，其中之间的一种关系称为递推公式，其中Dn,Dn1,Dn2等结构相同，再由递
4、推公式求出等结构相同，再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法的方法称为递推公式法.(拆分法拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算使问题简化以例计算.(数学归纳法数学归纳法)2.2.对于n n阶行列式A A，恒有：E E A A(1)k kS Sk kn nk k，其中S Sk k为k k阶主子式；n nk k1n n3.证明A A 0的方法：.下载可编辑.、A A A A；、反证法；、构造齐次方程组AxAx 0，证明其有非零解；、利用
5、秩，证明r r(A A)n n；、证明 0 是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：MMij ij(1)i i j jA Aij ijA Aij ij(1)i i j jMMij ij第二部分第二部分矩阵矩阵1.1.矩阵的运算性质矩阵的运算性质2.2.矩阵求逆矩阵求逆3.3.矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质4.4.矩阵方程的求解矩阵方程的求解 a11a12La21a22Lmn1.1.矩阵的定义矩阵的定义 由由个数排成的个数排成的m行行n列的表列的表A MMam1am2L记作：记作：A aija1na2n称为称为mn矩阵矩阵.M amn mn或或Amn 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等同型
6、矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵运算矩阵运算 a.a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.b.数与矩阵相乘：数数与矩阵相乘：数与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作A或或A，规定为，规定为A(aij).c.c.矩阵与矩阵相乘：设矩阵与矩阵相乘：设A(aij)ms,B (bij)sn,则则C AB (cij)mn，其中其中b1jb2 jcij(ai1,ai2,L,ais)a b a bL aisbsj M i1 1ji22 jbsj注：注：矩阵乘法不
7、满足：交换律、消去律矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式即公式.下载可编辑.AB BAAB 0 A 0或B=0不成立不成立.A11 a.a.分块对角阵相乘：分块对角阵相乘：AB11,B A22 A11B11AB B22nn A11,A A22B22nA22 b.b.用对角矩阵用对角矩阵左左 乘一个矩阵乘一个矩阵,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行行向量；向量；a10B M00La2LMO0L0 b11b12b021b22M MMambm1bm2LLOLb1n a1b11a1b12a bb2n2 21a2b22M MMbmnambm1ambm2L
8、LOLa1b1na2b2nMambmn c.c.用对角矩阵用对角矩阵右右乘一个矩阵乘一个矩阵,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列列向量向量.b11b12bb22B 21 MMbm1bm2LLOLb1na10b2nM Mbmn00La2LMO0L0 a1b11a2b12ab01 21a2b22M MMama1bm1a2bm2LLOLamb1namb2nMambmn d.d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.方阵的幂的性质：方阵的幂的性质：A A Amnmn，(A)(A)mnmnT矩阵的
9、转置：把矩阵矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作A.a.a.对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵和反对称矩阵:A是对称矩阵是对称矩阵A A.TA是反对称矩阵是反对称矩阵A AT.AB AT b.b.分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的转置矩阵：TCDBTCTDT伴随矩阵：伴随矩阵：A Aij*T A11A21LA12A22L MMA1nA2nLn1An1An2，Aij为为A中各个元素的代数余子式中各个元素的代数余子式.M Ann1AA A A A E,A*A*,A*1 A.*ABB ABA*分块对角阵的伴随矩阵：分块对
10、角阵的伴随矩阵：BAmn(1)B A*(1)mnA B.下载可编辑.矩阵转置的性质：矩阵转置的性质：(A)A矩阵可逆的性质：矩阵可逆的性质：(A)1 1TT(AB)T BTATAT A1(A1)T(AT)1(AT)(A)T An2(AB)1 B1A1A1 A(A1)k(Ak)1 Ak伴随矩阵的性质：伴随矩阵的性质：(A)AA(AB)BAA An1(A)(A)1 1AA(Ak)(A)kn若r(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n1AB A BAk AkAA AA A E（无条件恒成立）（无条件恒成立）2.2.逆矩阵的求法逆矩阵的求法方阵方阵A可逆可逆A 0.主L 换位ab1 dbA1伴随
11、矩阵法伴随矩阵法A注注：ad bccaA副L 变号cdE)(EMA1)初等变换法初等变换法(AM初等行变换1 A1 A 分块矩阵的逆矩阵分块矩阵的逆矩阵：B A1 ACOBO11B1BA1A11B1A1A1CB1O AO11CBBBB CA1a1 1a11a31a2a1a211a1 a31a2,a13a3a2 配方法或者待定系数法配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义（逆矩阵的定义AB BA E A1 B）3.3.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，
12、阶梯线的竖线后面的第一个元素非零线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为当非零行的第一个非零元为 1 1，且这些非零元所在列的其他元素都是，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，时，称为称为行最简形矩阵行最简形矩阵4.4.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等变换r ri i r rj j(c ci i c cj j)初等矩阵初等矩阵E E(i i,j j)E E(i i(k k)初等矩阵的逆初等矩阵的逆初等矩阵的行列式初等矩阵的行列式E(i,j)1 E(i,j)Ei(k)1 Ei(1k)E(i,j)
13、1Ei(k)kr ri ik k(c ci ik k).下载可编辑.r ri ir rj jk k(c ci ic cj jk k)E E(i i,j j(k k)Ei,j(k)1 Ei,j(k)Ei,j(k)1矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对对A施行一次初等施行一次初等行行变换得到的矩阵变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵左左乘乘A；对对A施行一次初等施行一次初等列列变换得到的矩阵变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵右右乘乘A.注意：注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵初等
14、矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.5.矩阵的秩矩阵的秩关于关于A A矩阵秩的描述：矩阵秩的描述：、r r(A A)r r，A A中有中有r r阶子式不为阶子式不为 0 0，r r 1阶子式阶子式(存在的话存在的话)全部为全部为 0 0；、r r(A A)r r，A A的的r r阶子式全部为阶子式全部为 0 0；、r r(A A)r r，A A中存在中存在r r阶子式不为阶子式不为 0 0；矩阵的秩的性质：矩阵的秩的性质：A O r(A)1;A O r(A)0;0r(Amn)min(m,n)r(A)r(A)r(A A)r(kA)r(A)其中k 0TT若
15、Amn,Bns,若r(AB)0r(AB)minr(A),r(B)r(A)r(B)nB的列向量全部是Ax 0的解 若P P、Q Q可逆，则r r(A A)r r(PAPA)r r(AQAQ)r r(PAQPAQ)；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.Ax 只有零解 r(AB)r(B)若若r(Amn)n；AB O B OA在矩阵乘法中有左消去律AB AC B C若若r(Bns)n r(AB)r(B)B在矩阵乘法中有右消去律.OEr等价，称OOO为矩阵A的等价标准型等价标准型.OEr若r(A)r A与唯一的Or(A B)r(A)r(B),maxr(A),r(B)r(A,B)r(A)
16、r(B).下载可编辑.r AOOA AC,r(A)r(B)r r(A)r(B)OBBOOB求矩阵的秩：求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法定义法和行阶梯形阵方法6 6 矩阵方程的解法矩阵方程的解法(A 0)：设法化成设法化成(I)AX B或 (II)XA B A E 初等列变换初等行变换LB)(EMX)(II)的解法：构造L(I)的解法：构造(AMBX(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT BT，用(I)的方法求出X，再转置得XT第三部分第三部分线性方程组线性方程组1.1.向量组的线性表示向量组的线性表示2.2.向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.3.向量组的秩向量组的秩4.4.向量空间
17、向量空间5.5.线性方程组的解的判定线性方程组的解的判定6.6.线性方程组的解的结构（通解）线性方程组的解的结构（通解）（1 1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2 2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.1.线性表示：线性表示：对于给定向量组对于给定向量组,1,2,L,n，若存在一组数，若存在一组数k1,k2,L,kn使得使得 k11k22L knn，则称则称是是1,2,L,n的线性组合，或称称的线性组合，或称称可由可由1,2,L,n的线性表示的线性表示.线性表示的判别定理线性表示的判别定理
18、:可由可由1,2,L,n的线性表示的线性表示由n n个未知数m m个方程的方程组构成n n元线性方程：a a11x x1a a12x x2L a a1n nx xn n b b1a a x x a a x x L a ax x b b2112222n nn n2、有解L L L L L L L L L L La am m1x x1a am m2x x2L a anmnmx xn n b bn n.下载可编辑.a a11a a12、a a21a a22 MMa am m1a am m2LLOLa a1n n x x1 b b1a a2n nx x2b b2 AxAx M M M a amnmnx
19、 xm mb bm m、a a1a a2Lb b1 x x1b bx x2（全部按列分块，其中 2）；a an n M M b bn nx xn n、a a1x x1a a2x x2L a an nx xn n（线性表出）、有解的充要条件：r r(A A)r r(A A,)n n（n n为未知数的个数或维数）2.2.设设Amn,Bns,A的列向量为的列向量为1,2,n,B的列向量为的列向量为1,2,s，则则AB Cmsb11b12LbbL1,2,n2122 MMbn1bn2Lb1sb2sc1,c2,L,csMbnsAi ci，(i 1,2,L,s)i为为Ax ci的解的解A1,2,sA1,A2
20、,Asc1,c2,L,csc1,c2,L,cs可由可由1,2,n线性表线性表示示.即：即：C的列向量能由的列向量能由A的列向量线性表示，的列向量线性表示，B为系数矩阵为系数矩阵.同理：同理：C的行向量能由的行向量能由B的行向量线性表示，的行向量线性表示，A为系数矩阵为系数矩阵.a11a12La21a22L即：即：MMan1an2La1n1 c1 a111a122L a1n2 c1aaL a ca2n2c22n22211222M M M LLLamnncmam11am22L amn2 cm.下载可编辑.3.3.线性相关性线性相关性判别方法：判别方法：法法 2 2法法 3 3推论推论法法 1 1.
21、下载可编辑.线性相关性判别法（归纳）线性相关性判别法（归纳）线性相关性的性质线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关部分相关,整体必相关；整体无关整体必相关；整体无关,部分必无关部分必无关.（向量个数变动）（向量个数变动）原向量组无关原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关原向量组相关.（向量维数变动）（向量维数变动）两个向量线性相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交
22、的非零向量组线性无关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.向量组向量组1,2,n中任一向量中任一向量i(1in)都是此向量组的线性组合都是此向量组的线性组合.若若1,2,n线性无关，而线性无关，而1,2,n,线性相关线性相关,则则可由可由1,2,n线性表示线性表示,且表示法唯一且表示法唯一4.4.最大无关组相关知识最大无关组相关知识.下载可编辑.向量组的秩向量组的秩 向量组向量组1,2,L,n的极大无关组所含向量的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩的个数，称为这个向量组的秩.记作记作r(1,2,L,n)矩阵等价矩阵等价A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为B.向量组等
23、价向量组等价1,2,n和和1,2,n可以相互线性可以相互线性表示表示.记作：记作：1,2,n%1,2,n 矩阵的行向量组的秩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系且不改变行（列）向量间的线性关系 向量组向量组1,2,s可由向量组可由向量组1,2,n线性表示线性表示,且且s n，则，则1,2,s线性相关线性相关.向量组向量组1,2,s线性无关线性无关,且可由且可由1,2,n线性表示线性表示,则则sn.向量组向量组
24、1,2,s可由向量组可由向量组1,2,n线性表示线性表示,且且r(1,2,s)r(1,2,n),则两向量组等价；则两向量组等价；任一向量组和它的极大无关组等价任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等则它们包含的向量个数相等.设设A是是mn矩阵矩阵,若若r(A)m，A的行向量线性无关；的行向量线性无关；5.5.线性方程组理论线性方程组理论线性方程组的
25、矩阵式线性方程组的矩阵式Ax 向量式向量式x11 x22L xnn a11a12Laa22LA21 MMam1am2L（1 1）解得判别定理）解得判别定理a1n1j x1 b1a2nxb2 j,j 1,2,L,n,x 2,2其中其中j M M M M amnxbnmmj.下载可编辑.(1)1,2是Ax 的解,12也是它的解(2)是Ax 的解,对任意k,k也是它的解齐次方程组(3),L,是Ax 的解,对任意k个常数12k1,2,L,k,1 122kk也是它的解（2 2）线性方程组解的性质：）线性方程组解的性质：(4)是Ax 的解,是其导出组Ax 的解,是Ax 的解(5),是Ax 的两个解,是其导
26、出组Ax 的解1212(6)2是Ax 的解,则1也是它的解 12是其导出组Ax 的解(7)1,2,L,k是Ax 的解,则L 也是Ax 的解 L 11 122kk12k1 122L kk是Ax 0的解12L k 0 (3)判断判断1,2,L,s是是Ax 的基础解系的条件：的基础解系的条件：1,2,L,s线性无关；线性无关；1,2,L,s都是都是Ax 的解；的解；s nr(A)每个解向量中自由未知量的个数.(4)(4)求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组Ax=bAx=b的通解的步骤的通解的步骤(1)将增广矩阵(A b)通过初等行变换化为阶梯形矩阵；(2)当r(A b)r(A)r n时，把不是首非零
27、元所在列对应的nr个变量作为自由元；(3)令所有自由元为零，求得 Ax b的一个特解0；(4)不计最后一列，分别令一个自由元为1，其余自由元为零，得到 Ax 0的基础解系1,2,.,n-r;(5)写出非齐次线性方程组 Ax b的通解x 0k11k22.knrnr其中k1,k2,.,knr为任意常数.下载可编辑.（5 5）其他性质）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.若若是是Ax 的一个解，的一个解，1,L,s是是Ax 的一个解的一个解1,L,s,线性无关线性无关Ax 与与Bx 同解（同解（A,B列向量个数相同）列向量个数相同）r A r(A)r(B),
28、且有结果：且有结果：B 它们的极大无关组相对应 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系 它们有相同的内在线性关系.矩阵矩阵Amn与与Bln的行向量组等价的行向量组等价齐次方程组齐次方程组Ax 与与Bx 同解同解PA B（左乘可逆矩阵（左乘可逆矩阵P）；）；矩阵矩阵Amn与与Bln的列向量组等价的列向量组等价AQ B（右乘可逆矩阵（右乘可逆矩阵Q）.第四部分第四部分方阵的特征值及特征向量方阵的特征值及特征向量1.1.施密特正交化过程施密特正交化过程2.2.特征值、特征向量的性质及计算特征值、
29、特征向量的性质及计算3.3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.1.标准正交基标准正交基n个个n维线性无关的向量维线性无关的向量,两两正交两两正交,每个向量长度为每个向量长度为 1.1.向量向量a1,a2,L,an与与b1,b2,L,bn的内积的内积(,)与正交(,)0.记为：记为：向量向量a1,a2,L,an的长度的长度是单位向量是单位向量T22(,)ai2a12a2L ani1nTTab iii1na1b1a2b2L anbn(,)1.即长度为即长度为1的向量的向量.2.2.内积的性质内积的性质：正定性正定性：(,)0,且(,)0 对称性
30、对称性：(,)(,).下载可编辑.线性性线性性：(12,)(1,)(2,)(k,)k(,)3.3.设设A A是一个是一个n n阶方阵阶方阵,若存在数若存在数和和n n维非零列向量维非零列向量x,使得使得Axx，则称则称是方阵是方阵A A的一个特征值，的一个特征值，x为方阵为方阵A A的对应于特征值的对应于特征值的一个特征向量的一个特征向量.A的特征矩阵的特征矩阵EA0（或（或AE0）.A的特征多项式的特征多项式EA()（或（或AE()）.()是矩阵是矩阵A的特征多项式的特征多项式(A)OA12LnitrA，trA称为矩阵称为矩阵A的迹的迹.1n 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上
31、的上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素各元素.若若A0,则则0为为A的特征值的特征值,且且Ax的基础解系即为属于的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量.a1a2r(A)1A一定可分解为一定可分解为A=b1,b2,L,bn、A2(a1b1a2b2Lanbn)A,从而从而A的特征值的特征值Man为：为：1trAa1b1a2b2Lanbn,23Ln0.注注a,a,L,a为为A各行的公比，各行的公比，b,b,L,b为为A各列的公比各列的公比.12n12nT 若若A的全部特征值的全部特征值1,2,L,n，f(A)是多项式是多项式,则则:若若A满足满足f(A)O
32、A的任何一个特征值必满足的任何一个特征值必满足f(i)0f(A)的全部特征值为的全部特征值为f(1),f(2),L,f(n)；f(A)f(1)f(2)L f(n).A与与A有相同的特征值，但特征向量不一定相同有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4.4.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 (1)(1)写出矩阵写出矩阵A A的特征方程的特征方程AE0，求出特征值，求出特征值i.(2)(2)根据根据(AiE)x0得到得到A A对应于特征值对应于特征值i的特征向量的特征向量.下载可编辑.T.设设(AiE)x 0的基础解系为的基础解系为1,2,Lnri,其中其中ri r(AiE).则则A A
33、对应于特征值对应于特征值i的全部特征向量为的全部特征向量为k11 k22L knrinri,其中其中k1,k2,L,knri为任意不全为零的数为任意不全为零的数.5.5.A与与B相似相似P AP B（P为为可逆矩阵可逆矩阵）A与与B正交相似正交相似P AP B（P为为正交矩阵正交矩阵）A可以相似对角化可以相似对角化A与对角阵与对角阵相似相似.（称（称是是A的相似标准形）的相似标准形）6.6.相似矩阵的性质：相似矩阵的性质：11E A EB,从而从而A,B有相同的特征值有相同的特征值,但特征向量不一定相同但特征向量不一定相同.注注是是A关于关于的特征向量的特征向量,P是是B关于关于的特征向量的特
34、征向量.001trAtrBA B从而从而A,B同时可逆或不可逆同时可逆或不可逆r(A)r(B)若若A与与B相似相似,则则A的多项式的多项式f(A)与与B的多项式的多项式f(A)相似相似.7.7.矩阵对角化的判定方法矩阵对角化的判定方法n n阶矩阵阶矩阵A A可对角化可对角化(即相似于对角阵即相似于对角阵)的充分必要条件是的充分必要条件是A A有有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.这时这时,P为为A的特征向量拼成的矩阵，的特征向量拼成的矩阵，P AP为对角阵为对角阵,主对角线上的元素为主对角线上的元素为A的特征值的特征值.设设i为对应于为对应于i的线性无关的特征向量的线性无关的特征
35、向量,则有：则有：112P1AP O.nA可相似对角化可相似对角化nr(iE A)ki，其中，其中ki为为i的重数的重数A恰有恰有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.注注：当：当 0为为A的重的特征值时，的重的特征值时，A可相似对角化可相似对角化ii的重数的重数 nr(A)Ax 基础解系的个数基础解系的个数.若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互异的特征值个互异的特征值A可相似对角化可相似对角化.下载可编辑.8.8.实对称矩阵的性质：实对称矩阵的性质：特征值全是实数特征值全是实数,特征向量是实向量；特征向量是实向量；不同特征值对应的特征向量必定正交；不同特征值对应的特征向量必定正交；注注：对于
36、普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；一定有一定有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.若若A有重的特征值有重的特征值,该特征值该特征值i的重数的重数=nr(iE A)；必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似两个实对称矩阵相似有相同的特征值有相同的特征值.9.9.正交矩阵正交矩阵AA E正交矩阵的性质：正
37、交矩阵的性质：A A；AA A A E；正交阵的行列式等于正交阵的行列式等于 1 1 或或-1-1；A是正交阵是正交阵,则则A，A也是正交阵；也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；A的行（列）向量都是单位正交向量组的行（列）向量都是单位正交向量组.10.10.下载可编辑.T1TT1TT.11.11.施密特正交规范化施密特正交规范化1,2,3线性无关线性无关,11(,)正交化22211(,)11(3,1)(,)132233(1,1)(2,2)单位化：单位化：112233123技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量技
38、巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量代入方程，确定其自由变量.第四部分第四部分二次型二次型1.1.二次型及其矩阵形式二次型及其矩阵形式2.2.二次型向标准形转化的三种方式二次型向标准形转化的三种方式3.3.正定矩阵的判定正定矩阵的判定a11a12nna21a221.1.二次型二次型f(x1,x2,L,xn)aijxixj(x1,x2,L,xn)LLi1 j1an1an2其中其中A为对称矩阵，为对称矩阵，x (x1,x2,L,xn)TA与与B合同合同C AC B.（A,B为实对称矩阵,C为可逆矩阵）TLLLLa1n
39、x1a2nx2T x AxL L annxn 正惯性指数正惯性指数 二次型的规范形中正项项数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p符号差符号差2p r (r为二次型的秩为二次型的秩)两个矩阵合同两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等他们的秩与正惯性指数分别相等.两个矩阵合同的充分条件是：两个矩阵合同的充分条件是：A与与B等价 两个矩阵合同的必要条件是：两个矩阵合同的必要条件是：r(A)r(B).下载可编辑.正交变换2.2.f(x1,x2,L,xn)x Ax经过经过合同变换Tx Cy化
40、为化为f diyi2标准形标准形.1n可逆线性变换 正交变换法正交变换法 配方法配方法（1 1）若二次型含有）若二次型含有xi的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2 2）若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是aij 0(i j),),则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换xi yi yjxj yi yjx ykkk 1,2,L,n且k i,j,化二次型为含有平方项的
41、二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)(1)中方法配方中方法配方.初等变换法初等变换法3.3.正定二次型正定二次型x1,x2,L,xn不全为零，不全为零，f(x1,x2,L,xn)0.正定矩阵正定矩阵正定二次型对应的矩阵正定二次型对应的矩阵.4.4.f(x)x Ax为正定二次型为正定二次型（之一成立）：（之一成立）：（1 1）x，x Ax 0；（2 2）A的特征值全大于的特征值全大于0；（3 3）f的正惯性指数为的正惯性指数为n；.下载可编辑.TT.（4 4）A的所有顺序主子式全大于的所有顺序主子式全大于0；（5 5）A与与E合同，即存在可逆矩阵合同，即存在可逆矩阵C使得
42、使得C AC E；（6 6）存在可逆矩阵）存在可逆矩阵P，使得，使得A P P；5.5.（1 1）合同变换不改变二次型的正定性）合同变换不改变二次型的正定性.（2 2）A为正定矩阵为正定矩阵aii 0；A 0.（3 3）A为正定矩阵为正定矩阵A,A,A也是正定矩阵也是正定矩阵.（4 4）A与与B合同，若合同，若A为正定矩阵为正定矩阵B为正定矩阵为正定矩阵（5 5）A,B为正定矩阵为正定矩阵A B为正定矩阵，但为正定矩阵，但AB,BA不一定为正定矩阵不一定为正定矩阵.6.6.半正定矩阵的判定半正定矩阵的判定T1TT一些重要的结论一些重要的结论 A可逆r(A)nA的列（行）向量线性无关A的特征值全
43、不为0Ax 只有零解 x，Ax A 0 nR,Ax 总有唯一解ATA是正定矩阵A EA p p pp是初等阵12si存在n阶矩阵B,使得AB E 或 AB En注注：全体：全体n维实向量构成的集合维实向量构成的集合R叫做叫做n维向量空间维向量空间.下载可编辑.A不可逆r(A)nA 0 A的列（行）向量线性相关0是A的特征值Ax 有非零解,其基础解系即为A关于0的特征向量向量组等价矩阵等价()具有反身性、对称性、传递性矩阵相似(:)矩阵合同(;)关于关于e1,e2,en：称为称为n的标准基，的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；中的自然基，单位坐标向量；e1,e2,en线性无关；线性无关；e1,e2,en1；trE=n；任意一个任意一个n维向量都可以用维向量都可以用e1,e2,en线性表示线性表示.下载可编辑.