不等式复习讲义.pdf

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1、不等式期末复习讲义一、一、知识点知识点1 1不等式性质不等式性质实数的运算性质与大小顺序之间的关系实数的运算性质与大小顺序之间的关系比比 拟拟a ba 0a b a传递性:a b,b c可加性:a ba+c b+c可积性:a b,c 0；a b,c 0 b,c da+c b+d乘法法那么：a b 0,c d 0乘方法那么：a b 0,(nN)开方法那么：a b 0,nanb(nN)2 2算术平均数与几何平均数定理：算术平均数与几何平均数定理：第 1 页1如果 a、bR,那么 a2+b22当且仅当时等号2如果 a、bR,那么当且仅当时等号推广：推广：22 aba b如果如果a,b为实数，那么为实

2、数，那么ab 222重要结论重要结论1如果积是定值P，那么当xy 时，与xy 有最小值2P；2如果与xy 是定值 S，那么当xy 时，与有最大值 S2/4。3 3证明不等式的常用方法：证明不等式的常用方法：比拟法：比拟法：比拟法是最根本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方与的形式，那么选择作差比拟法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与 1 比拟大小，那么选择作商比拟法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。综合法：综合法：从或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。第 2 页分析法分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过

3、寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或成立的结论。4 4不等式的解法不等式的解法（1）不等式的有关概念同解不等式：同解不等式：两个不等式如果解集一样，那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形：同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项（2 2）不等式不等式 b b 的解法的解法当 a0 时不等式的解集是；当 a0 时不等式的解集是；当 0 时 af(x)a或 f(x)a；|f(x)|aaf(x)a(a0)f2(x)a2；|f(x)|0

4、)4几何意义。f2(x)且且0b，那么B、假设 ab，那么 1b，那么a3b3D、假设ab，那么12、a0.1b2B、2aC、a2D、2a3、当 0ab(1a)bB、(1)a(1)b第 6 页C、(1a)b(1a)2D、(1a)a(1b)b4、假设 330，那么 a、b 的关系是 B A、0aba1C、0ba1D、1bb0，那 么 以 下 不 等式 1b2；(a2+1)(b2+1)；2a2b中成立的是A A、B、C、D、二比拟大小二比拟大小1、假设 02x()4、设 a01,比拟 2 与(1)/2 的大小。5、比较ba与ab的大小。6、若a 1，比较M a 1 a与N a a1的大小。a b2

5、a2 b27、设a、b是不相等的正数，A，G ab，H，Q21/a 1/b2试比较A、G、H、Q的大小。第 7 页分析：要比拟大小的式子较多，为防止盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比拟法作差即可。三利用不等式性质判断三利用不等式性质判断 P P 是是 Q Q 的充分条件与必要条件的充分条件与必要条件1、设 x、yR,判断以下各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系命题甲：x0 且 y0，命题乙：0 且0充要条件命题甲：x2 且 y2，命题乙：4 且4充分不必要条件2、四个命题，其中 a、bRa2b2的充要条件是；a2b2的充要条件是22；a2b2的充要条件是()与(ab)异号；a22c

6、的一个充分条件是CA、ac 或 bcB、ac 或 bcC、ac 且 bcD、ac 且 bc四范围问题四范围问题1、设 60a84,28b33,求：的范围。2、假设二次函数(x)的图象过原点，且 1f(1)2,3f(1)3，求 f(2)的范围。第 8 页五均值不等式变形问题五均值不等式变形问题1、当 a、bR 时,以下不等式不正确的选项是DA、a222B、(22)2C、(22)2a2/22/2D、1/2(a22)1/2(2)2、x、y(0)，那么以下不等式中等号不成立的是AC、()(11)4D、(22)222223、a001，那么(121)(121)的最小值为 DA、6B、7C、8D、94、a0

7、00，1，求证：11195、a0000,求证：六求函数最值六求函数最值1、假设 x4,函数y x 5、大、62、设 x、yR,5，那么 33y的最小值是DA、10B、6 3C、4 6D、18 31 1 的代换的代换1，当x_时，函数有最值是_。4 x3、以下各式中最小值等于 2 的是DA、B、C、D、22x第 9 页4、实数 a、b、c、d 满足 75,求()2+()2的最小值。5、x00,21,求 11 的最小值。七实际问题七实际问题1、98高考如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为，高度为，流出的水中

8、该杂质的质量分数与 a、b 的乘积成反比，现有制箱材料 60m2，问当 a、b 各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小A、B 孔的面积忽略不计。解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，A由题意，其中 k 为比例系数(k0)a据题设 222260(a00)由 a00 可得 0a0)要求 y 的最小值，即要求的最大值。据题设 222260(a00)，即 230即 63 时，有最大值，从而 y 取最小值。综上所述，当63m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。2、某工厂有旧墙一面长 14 米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为 126米2的厂房，工程条件是：建 1 米新墙

9、的费用为 a 元；修 1 米旧墙的费用为 4 元；拆去 1 米旧墙用所得材料建 1 米新墙的费用为 2 元.经过讨论有两种方案：利用旧墙的一段 x(x14)米为矩形厂房的一面边长；矩形厂房的一面长为 x(x14).问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？两种方案哪种方案最好？解：设总费用为 y 元，利用旧墙的一面矩形边长为 x 米，那么另一边长为 126 米。假设利用旧墙的一段 x 米(xx114，那么 f(x2)f(x1)=x2+1262(x1+1261)=(x2x1)(11261x2)0f(x)126 在14，)上递增，f(x)f(14)综上所述，采用方案，即利用旧墙12 米为矩形

10、的一面边长，建墙费用最省。八比拟法证明不等式八比拟法证明不等式1、a、b、m、n,证明：变：a、b,证明：a33a222、a、b(x)=2x2+11,证明：对任意实数 p、q 恒有 af(p)f(q)f()九综合法证明不等式九综合法证明不等式1、a、b、c 为不全相等的正数，求证：b c aa c ba b c 3abc2、a、b、cR，且 1，求证：a2221/3第 12 页3、a、b、c 为不全相等的正数，且 1,求证：4、a、b，1,求证：a 1/2 b 1/2 2十分析法证明不等式十分析法证明不等式1、a、b、c 为不全相等的正数，求证：2、函数 f(x)(11)1、x2(0,1/2)

11、，且 x1x2，求证：3、设实数满足2=0,0abc,求证：4、a、b、cR，且c 求证：.5、a、b、cR，证明：a22+3b()0，并指出等号何时成立。分析：整理成关于 a 的二次函数 f(a)2+(3b)3b2+32=(3b)24(3b2+32)=3(b2+22)0f(a)06、：x22+y2+x+y+10，求证：1/337、在直角三角形中，角 C 为直角，n2 且 nN，求证：+十二解不等式十二解不等式第 13 页1、解不等式：2、解关于 x 的不等式：十三不等式应用十三不等式应用不等式的应用主要有三个方面：不等式的应用主要有三个方面：一是能转化为求解不等式组的有关问题如求函数的定义域

12、、讨论一元二次方程的根的分布等；二是能转化为不等式证明的有关问题如证明函数的单调性；三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题。1、f(x)的定义域是0,1，那么函数的定义域是。5，2)(1,42、不等式20 的解集是x(0),求不等式20 的解集。3、设(x0).求证：f(x)是减函数；求 f(x)的值域。4、由于对某种商品实行征税，其售价比原价上涨，涨价后商品卖出量减少，税率为销售金额的 20%.为实现销售金额与扣除税款的余额 y 不比原销售金额少，求上涨率的取值范围；x 为何值时，y 最大？保存一位小数解：设原价为 a，销售量为 b，那么当且仅当 125/9，即8/9.x88.9 时

13、 y 最大。十四恒成立问题十四恒成立问题第 14 页1、假设不等式 af(n)，即 f(n)在 N上是增函数，f(n)的最小值是 f(1)又 f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12故对一切正整数n使得f(n)2a5的充要条件是13/122a5，a73/24故所求自然数 a 的最大值是 3。2、抛物线(x)2过点1,0，问是否存在常数 a、b、c，使得不等式 xf(x)(12)/2 对于一切实数 x 都成立？解：假设存在常数 a、b、c，使得 xf(x)(12)/2 对一切实数 x恒成立，令x1有1f(1)1，f(1)1，即abc1抛物线过点1,0abc0解得：1/21/2a,f(x)22

14、+1/2a由 xf(x)(12)/2 得 2x2212a121/4,三、数学思想与方法三、数学思想与方法一分类讨论的思想：一分类讨论的思想：1、设 f(x)=13(x)=22，其中 x0 且 x1，试比拟 f(x)与 g(x)的第 17 页大小。2、解关于 x 的不等式分析：当 a1 时，原不等式的解集为a 或1x1当1a时，原不等式的解集为1 或 ax1当 a1 时，原不等式的解集为1 或 1xa当 a1 时，原不等式的解集为1 当 a1 时，原不等式的解集为1 且 x1二数形结合的思想二数形结合的思想1、关于 x 的方程 x2x(m1)0 只在1,1上有解，那么实数 a 的取值范围是A、5

15、/4)B、(5/4,1)C、5/4，1D、(，12、设 k、a 都是实数，关于 x 的方程|2x1(xa)对于一切实数k 都有解，求实数 a 的取值范围。3、0a1，0b1.求证：分析观察待证式左端，它的每个根式都使我们想到中的等式 a222，激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法.第 18 页如图 27-3，作边长为 1 的正方形，分别在、上取，过 E、G 分别作、的平行线，交、于 F、H，、交于 O 点.由题设条件及作图可知，、皆为直角三角形.再连结对角形，易知三函数与方程的思想三函数与方程的思想1、函数 f(x)(x21)的值域为 R，求实数 a 的取值范围。1 2x3

16、x 4xa2、f(x)lg，假设 f(x)在，1有意义，求实4，数 a 的取值范围。3、设不等式22xm1 对于满足2 的一切实数 m 都成立，求 x 的取值范围。分析：设 f(m)=(x21)m2x1，那么对于满足2 的一切实数m 都有 f(m)0f(2)0 且 f(2)04、x、y、z0,1，求证：x(1y)+y(1z)+z(1x)1证明：构造函数 f(x)=x(1y)+y(1z)+z(1x)1即 f(x)=(1yz)x+y(1z)+z1当 1yz=0,即 y+z=1 时，f(x)=y(1z)+z1=y+z 1=0第 19 页当 1yz 0 时，f(x)为一次函数，又 x0,1，由一次函数

17、的单调性，只需证明 f(0)0,f(1)0y、z0,1f(0)=y(1z)+z1=(y1)(z1)0f(1)=(1yz)+y(1z)+z1=0对任意的 x0,1都有 f(x)0即 x(1y)+y(1z)+z(1x)1四转化与化归思想四转化与化归思想1、关于 x 的方程 4(m3)20 有两个不等的实数根，求实数 m的取值范围。五换元的思想五换元的思想1、解不等式：2x 5 x 1变：关于 x 的不等式ax 5 x b的解集为 5/2,2，求实数 a、b 的值。2、六六1 1 的代换的代换1、a、b，1、yR,求证：22()22、x、y 都是正数，a、b 都是正常数，且+=1，求证：3、x、y

18、都是正数，且 x+y=1,求证：(1+1)(1+1)9第 20 页4、x、y,且 1+9=1，求 x+y 的最小值。5、假设 0 x10，b0，求+(1x)的最小值是。6、是正数，且 a+b=1，求证：(+)(+)分析：是正数，且 a+b=1(+)(+)=a2+2+2+b2=(a2+b2)(x2+y2)=(12)(x2+y2)=(x2+y22)=+(xy)2七特殊与一般的思想七特殊与一般的思想1、a、b、c R,函数 f(x)=2+c,g(x)=2+a,当 1 时，有(x)2。1求证：(1)|2；2求证：当 1时，(x)|4.证：1当 1 时，(x)|2,(1)|2又(1)|(1)|(1)|2

19、2f(x)=2f(1)=(1)=a,f(0)=c f(1)(-1)-2f(0)/2 f(1)(-1)/21 时(x)|2(1)|2(-1)|2(0)|2(x)22f(0)+f(1)(-1)2+f(1)(-1)-2f(0)/2|第 21 页(x21)f(0)+(1)f(1)/2+(1)f(-1)/2|(x21)f(0)(1)f(1)/2(1)f(-1)/2|(1)/2(1)|(1)/2(-1)(1x2)(0)|1+12=4小结：对于二次函数 f(x)2(0)2(1)(1)2f(0)2(1)f(1)2、a、b、c R,函数 f(x)=2+c,g(x)=+b,当1x1时，有(x)1。1证明：1；2证

20、明：当1x1 时，(x)|2；3设 a0，1x1 时，g(x)的最大值为 2，求 f(x)的解析式。证明：1x1 时，有(x)|1,当 x=0时，有 f(0)=c,即=(0)|1,故1。证明：欲证当1x1 时，有(x)|2,即证1x1 时，2g(x)2。对 a 分类讨论当 a0 时，g(x)在1,1上是增函数，g(x),=f(1)c(1)|+2,第 22 页a=f(1)c(1)2，2g(x)2，即(x)|2。当 a0 时，g(x)在1,1上是减函数，g(x),=f(1)c(1)2，a=f(1)c(1)2,，2g(x)2，即(x)|2。综上所述，有(x)|2。a0，g(x)在1,1上是增函数，x

21、1 时，g(x)取最大值 2，即2。f(1)f(0)2，1f(0)f(1)2121，即 f(0)1，1x1 时，f(x)1=f(0)，x=0 为函数 f(x)图象的对称轴，b=0,故 a2，所以 f(x)2x21。另解：f(x)=2f(1)=(1)=a,f(0)=c f(1)(-1)-2f(0)/2 f(1)(-1)/21 时(x)|1(1)|1(-1)|1(0)|1第 23 页(x)f(1)(-1)-2f(0)2+f(1)(-1)/2|(1)f(1)/2+(1)f(-1)/2(0)|(1)f(1)/2(1)f(-1)/2(0)|(1)/2(1)|(1)/2(-1)(0)|(1)/2+(1)/2+1=23、是否存在满足以下条件的二次函数 f(x)：当1 时，(x)|1；f(2)7。假设存在，求出解析式；假设不存在，说明理由。4、设 f(x)2(b、c 为常数)，定义域为1,1，设(x)|的最大值为 M，求证：M1/2；求出中当 M1/2 时，f(x)的表达式。第 24 页