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1、2017 年全国高中数学联赛模拟试题16第一试时间：8:00-9:20总分为：120一、填空题：本大题共 8 小题,每一小题 8 分,共 64 分.一、填空题：本大题共 8 小题,每一小题 8 分,共 64 分.1函数fx x ax21a22,假如实数使方程有实根,如此的最a bb xR,x 0a,bf x 0 2xx小值是2 在正三棱台ABC A1B1C1中,上底面积SA1B1C112,下底面积SABC 27 假如底边BC到截面AB1C1的距离等于三棱台的高,如此SAB1C13从1,2,3,100中取出三个不同的数,使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种cosx2cos y24x,y
2、,i,且z12,假如z2 x yi,如此z2 z1的取值 X 围是,z12222sin ysin x5 函数fx,y x4 y42x2y2xy23x23y22x2y2的最小值为n3n1xn 0,如此数列xn的通项公式为xn xn17如图,设P,Q分别是两个同心圆半径分别为6,4上的动点当P,Q分别在圆上运动时,线段PQ的中点M所形成的区域面积为3338设a1,a2,a20102,2且a1a2a2010 0,如此a1a2 a2010的最大值为6设x13,xn xn1 2二、解答题：本大题共 3 小题,共 56 分.9.本小题总分为 16 分.设复数z满足z1 2证明：z31 110.本小题总分为
3、 20 分给定整数a,设fx ax bx cx,其中b,cZ,满足f1 1,f32f2 2求出所有满足条件的函数fx11.本小题总分为 20 分x2y2给定椭圆221与点D10,01351求r的值使得对于椭圆的左顶点A,存在椭圆上的另两点M1,M2,满足以D为圆心、r为半径的圆是AM1M2的内切圆；2证明：对于椭圆的下顶点,也存在椭圆上的另两点N1,N2,使得直线N1N2的方程2017 年全国高中数学联赛模拟试题16加试时间：9:40-12:10总分为：180一、本小题总分为 40 分ABC的 内 心 为I,ABC的 内 切 圆D是AN1N2的内切圆,并确定此时I切 边BC于 点D,ABD,A
4、CD的 内 心 分 别 是Jb,Jc,AJbJc的外心为O求证：A,O,I三点共线二、本小题总分为 40 分设a,b,c,d 0,且abcd 4求证：三、本小题总分为 50 分正整数n满足n 2014,n,20141令An kN 1 k n,n,k1,Bn k Ank 1 An,Cn k Ank 1 An,.11112222 a b c d2222abcdkAn对任意k An,记Sk,其中x表示不超过x的最大整数,A表示集合A中元素的个数n证明：1kBn2SkSnkSkSnk SkSnk；kCnkCnAnBnmodn四、本小题总分为 50 分某国建 了一 座时 间机器,形似一条 圆形 地铁 轨
5、道,其上均 匀设 置了 2014 个站 台 依次 编号为1,2,2014分别对应一个年份,起始站与终点站均为第一站对应2014 年 为节约本钱,机器每次运行一圈,只在其中一半的站台停靠 出于技术原因,每次至多行驶三站必须停靠依次,且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点试求不同停靠方式的种数2017 年全国高中数学联赛模拟试题16第一试参考解答时间：8:00-9:20总分为：120一、填空题：本大题共 8 小题,每一小题 8 分,共 64 分.1函数fx x ax21abxR,x 0,假如实数a,b使方程fx 0有实根,如此a2b2的最2xx小值是2 在正三棱台ABC A1B1C1中,上底面
6、积SA1B1C112,下底面积SABC 27 假如底边BC到截面AB1C1的距离等于三棱台的高,如此SAB1C13从1,2,3,100中取出三个不同的数,使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种cosx2cos y2,i,且z12,假如z2 x yi,如此z2 z1的取值 X 围是4x,y,z122sin ysin x224422225 函数fx,y x y 2x y2xy 3x 3y 2x2y2的最小值为n3n1xn 0,如此数列xn的通项公式为xn xn17如图,设P,Q分别是两个同心圆半径分别为6,4上的动点当P,Q分别在圆上运动时,线段PQ的中点M所形成的区域面积为3338设a1
7、,a2,a20102,2且a1a2a2010 0,如此a1a2a2010的最大值为6设x13,xn xn1 2二、解答题：本大题共 3 小题,共 56 分.9设复数z满足z1 2证明：z31 110给定整数a,设fx ax bx cx,其中b,cZ,满足f1 1,f32f2 2求出所有满足条件的函数fxx2y211给定椭圆221与点D10,01351求r的值使得对于椭圆的左顶点A,存在椭圆上的另两点M1,M2,满足以D为圆心、r为半径的圆是AM1M2的内切圆；2证明：对于椭圆的下顶点,也存在椭圆上的另两点N1,N2,使得直线N1N2的方程2017 年全国高中数学联赛模拟试题16加试参考解答时间
8、：9:40-12:10总分为：180一、本小题总分为 40 分ABC的 内 心 为I,ABC的 内 切 圆D是AN1N2的内切圆,并确定此时I切 边BC于 点D,ABD,ACD的 内 心 分 别 是Jb,Jc,AJbJc的外心为O求证：A,O,I三点共线证明：设I分别切边CA,AB于点E,F,ABD的内切圆切AD于点X,ACD的内切圆切AD于点Y,.如此2DX DADB AB DA DBBF AF DA AF,同理2DY DA AF 2DX从而X,Y重合,所以JbJc AD因为AJbJc的外心为O,1AJcJb XAJcDAC222111从而BAO BAJbJbAO BADDAC BAC,22
9、2所以A,O,I三点共线所以JbAO AOJb二、本小题总分为 40 分设a,b,c,d 0,且abcd 4求证：三、本小题总分为 50 分正整数n满足n 2014,n,20141令An kN 1 k n,n,k1,Bn k Ank 1 An,Cn k Ank 1 An,11112222 a b c d2222abcdkAn对任意k An,记Sk,其中x表示不超过x的最大整数,A表示集合A中元素的个数n证明：1kBn2SkSnkSkSnk SkSnk；kCnkCnAnBnmodn四、本小题总分为 50 分某国建 了一 座时 间机器,形似一条 圆形 地铁 轨道,其上均 匀设 置了 2014 个站 台 依次 编号为1,2,2014分别对应一个年份,起始站与终点站均为第一站对应2014 年 为节约本钱,机器每次运行一圈,只在其中一半的站台停靠 出于技术原因,每次至多行驶三站必须停靠依次,且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点试求不同停靠方式的种数.