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1、2017 年全国高中数学联赛模拟试题 11第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.1.已知数列满足：则的最大值为 .na211404,1,2016,2nnnaaaaa6a2.已知,则的值域为 .1222cbaacbcab3.不等式的解集是 22111xxxxx4.单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面1111ABCDA BC D,E F G11111,AA C D D A1BEFG的距离为 5.不等式对所有满足的二次函数恒成立，则实数的最小值是 0fA（1(01)f xx （()f xA6.椭圆的左右焦点分别为为椭圆上
2、不与左右顶点重合的任意一点，点 222210 xyabab 12,F F P分别是的内心、重心.已知对任意点，恒垂直于轴，则椭圆的离心率为 ,I G12PF FPIGx7.已知方程在上有一根，则=3284410ttt 0,13 xx8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得 1 分，负者得 0 分；当其中一人的得分比另一人的多 2 分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过 20 次，即经 20 次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为p01p1qp 假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，则的期望的变化范围为 E二
3、、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.9已知，求证：,1,2a b c 4abcabbcca10.设.(1)若1b，求23,a a及数列na的通项公式；)(,22,1211Nnbaaaannn(2)若1b ，问：是否存在实数c使得2na?证明你的结论21,ncanN对所有都成立11.已知两条直线点到直线的射影分别为，12:34250,:117441750,lxylxy A12,l l,B C（1）求使成立的点的轨迹曲线；（2）若与曲1728625ABCS A 2223927:()()055Txyrr e e线恰有 7 个交点，求的值 r2017 年全国高中数学联赛模拟试题 11加试（时间
4、：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分 40 分）设是给定的正整数，且.对于个实数，记的最小值为n3n n12,nxxxL L 1ijxxijn .若，试求的最大值m222121nxxx L Lm二、（本小题满分 40 分）如图，设依次是一个圆上的六个点，满足，直线与交于点，,A B D E F CABACADBEP直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，AFCERBFCDQADBFSAFCDT点在线段上，使得.KSTSKQACE 求证：.SKPQKTQR三、（本题满分 50 分）试确定所有同时满足的三元数组，其中为 22223mod,3modnnnnnnpqq
5、p ,p q n,p q奇素数，为大于 1 的整数n四、（本题满分 50 分）D1B1C1A1GFEDCBA2017 年全国高中数学联赛模拟试题 11第一试参考解答一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.1.已知数列满足：则的最大值为 .na211404,1,2016,2nnnaaaaa6a解：构成的点列排列在一个凸函数中，因此当点列分布在由点确定的直线上 na,nn a 1,1,404,2016时其值最大，所以的最大值为.6a262.已知,则的值域为 .1222cbaacbcab解：显然当时等号成立，另一方面2221abbccaabcabcabbccaa bcbc，等号
6、当时成立，所以值域为222221222abcabcbc 0abc1,123.不等式的解集是 22111xxxxx解：由得，原不等式等价于，即22110,0 xxxx1x 33111xx 33112xx 相减得，此时，原不等式成立，即不等式解集为33110122xx 3102x x4.单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面1111ABCDA BC D,E F G11111,AA C D D A1BEFG的距离为 答案：解一、补形法，如图，过的平面截正方体，所得截面是一个正六边形，易知该平面垂32,E F G直平分正方体的对角线，而，所以到面的距离1B D13B D 1BEFG32h 解二：
7、等体积法，易知，11 11 111113114488B FGB AGB C FD FGSSSS 而点到平面的距离，所以E1B FG012h 11011316EB FGB FGVh S又，即，222222111111113()1442EFEAA FEAA DD F 162EF 22GFGE，则，2221cos22GEGFEFEGFGE GF 0120EGF011sin120328EGFSGE GF若到面的距离为，则，所以1BEFGh111163EB FGEGFVh S324h32h 5.不等式对所有满足的二次函数恒成立，则实数的最小值是 0fA（1(01)f xx （()f xA6.椭圆的左右焦
8、点分别为为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点 222210 xyabab 12,F F P分别是的内心、重心.已知对任意点，恒垂直于轴，则椭圆的离心率为 ,I G12PF FPIGx7.已知方程在上有一根，则=3284410ttt 0,13 xx8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得 1 分，负者得 0 分；当其中一人的得分比另一人的多 2 分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过 20 次，即经 20 次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为假定p01p1qp 各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，则的期望的
9、变化范围为 E以记比赛经次结束的概率若为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因而有()pkkk()0pk考虑头两次比赛的结果：（1）甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为；22pq（2）甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为2pq比赛经次结束，必为偶数，则 1,2 两次，3,4 两次，两次均未分胜负kk3,2kk 若，则第两为有胜负的两次，从而有20k 1,kk 1222()(2)()kpkpqpq若，比赛必须结束，所以 20k 9(20)(2)ppq922191()2(2)20(2)iiEpqipqpq由，知令，则，所以1pq221 2pqpq 2upq
10、221pqu 9191(1)220iiEuiuu令则9112,iisiu910101112122(1)2(1),iiiiiiusiuiuiu9919912(1)(1)21818,1iiuu suuuu10999922(1)(1)2019(1)10(1)11uEu suuuuuuuu因，所以有 102u10232256E二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.9已知，求证：,1,2a b c 4abcabbcca 10.设.(1)若1b，求23,a a及数列na的通项公式；)(,22,1211Nnbaaaannn(2)若1b ，问：是否存在实数c使得2na?证明你的结论21,ncanN对所
11、有都成立解：（1）解法一:当时，1b 21-221nnnaaaQ221(1)(1)1nnaa是公差为 1，首项为的等差数列，故，即2(-1)na21(-1)0a2(-1)-1nan*-1 1()nannN解法二：。232,21.aa1231 1 1,2 1 1,3 1 1aaa 因此猜想.下面用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立.1 1nan 1n 假设时结论成立，即.则nk1 1kak 21(1)1 1(1)1 1(1)1 1.kkaakk 即时结论成立.所以，1nk1 1nan()nN(2)设，则.令,即，解得.2()(1)1 1f xx 1()nnaf a()cf c2(1)1 1cc
12、 14c 下用数学归纳法证明加强命题：.当时，2211nnaca1n 23(1)0,(0)21afaf所以，结论成立.假设假设时结论成立，即.23114aank2211kkaca易知在上为减函数，从而，即()f x,1212()()(1)nf cafacf2221kcaa再由在上为减函数得()f x,12223()()()1.kaaacf cff故，因此，即时结论成立.231kca2(1)2(1)11kkaca1nk综上，符合条件的存在，其中的一个值为.c14c 11.已知两条直线点到直线的射影分别为，12:34250,:117441750,lxylxy A12,l l,B C（1）求使成立的
13、点的轨迹曲线；（2）若与曲1728625ABCS A 2223927:()()055Txyrr e e线恰有 7 个交点，求的值 r2017 年全国高中数学联赛模拟试题 11加试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分 40 分）设是给定的正整数，且.对于个实数，记的最小值为n3n n12,nxxxL L 1ijxxijn .若，试求的最大值m222121nxxx L Lm二、（本小题满分 40 分）三、（本题满分 50 分）试确定所有同时满足的三元数组，其中为 22223mod,3modnnnnnnpqqp ,p q n,p q奇素数，为大于 1 的整数n四、（本题满分 50 分）