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1、第第7 7章章向量自回归模型向量自回归模型(VAR(VAR）与向量误差修正模型（）与向量误差修正模型（VECVEC）7 7。1 1向量自回归模型（向量自回归模型（VARVAR（p p）)传统的经济计量学联立方程模型建摸方法，是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系,采用的是结构方法来建立模型,所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是,从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型,每一结构方程都含有内生多个内生变量，
2、当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时,右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关，从而使模型参数估计变得十分复杂,在未估计前,就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系.为了解决这一问题,经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法,这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model）。VAR模型最早是1980年，由C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用，VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基
3、础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元 MA模型、ARMA模型,也可化为VAR模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便.7 7。1 1。1 VAR1 VAR模型的一般形式模型的一般形式1 1、非限制性、非限制性VARVAR模型模型(高斯高斯VARVAR模型）模型）,或简化式非限制性或简化式非限制性VARVAR模型模型设yt(y1ty2t.ykt)为一k维随机时间序列，p为滞后阶数，ut(u1tu2t.ukt)为一k维随机扰动的时间
4、序列，且有结构关系y1t a(1)11y1t1a(1)12y2t1.a(1)1kykt1a(2)11y1t2a(2)12y2t2.a(2)1kykt2.a(p)11y1tpa(p)12y2tp.a(p)1kyktpu1t(1)(1)(1)(2)(2)(2)y2t a21y1t1a22y2t1.a2kykt1a21y1t2a22y2t2.a2kykt2.a(p)21y2tpa(p)12y2tp.a(p)2kyktpu2t.(1)(1)(1)(2)(2)(2)ykt ak1y1t1ak2y2t1.akkykt1ak1y1t2a12y2t2.a1kykt2.(p)(p)(p)ayay.ak11tpk
5、22tpkkyktpuktt 1,2,.,T（711)若引入矩阵符号，记a(i)11a(i)12.a(i)1k(i)(i)(i)a21a22.a2k,i 1,2,.,pAi.(i)(i)(i)ak1ak2.akk可写成yt A1yt1 A2yt2.Apytput，t 1,2,.,T（712）进一步,若引入滞后算子L，则又可表示成A(L)yt ut,t 1,2,.,T（7.1.3）2p其中：A(L)Ik A1L A2L.ApL，为滞后算子多项式.如果模型满足的条件：参数阵Ap 0,p 0;特征方程detA(L)Ik A1L A2L2.ApLp0的根全在单位园外；ut iidN(0,),t 1,2
6、,.,T，即ut相互独立，同服从以E(ut)0为期望向量、Cov(ut)E(utut)为方差协方差阵的k维正态分布。这时，ut是k维白噪声向量序列，由于ut没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；Cov(utxt j)E(utxt j)0,j 1,2,.，即ut与xt及各滞后期不相关。则称上述模型为非限制性VAR模型（高斯VAR模型），或简化式简化式非限制性VAR模型。2 2、受限制性、受限制性VARVAR模型模型,或简化式受限制性或简化式受限制性VARVAR模型模型如果将yt(y1ty2t.ykt)做为一k维内生的随机时间序列，受d维外生的时间序列xt(x1tx2t.xdt)影响（限制）,则V
7、AR模型为yt A1yt1 A2yt2.Apyt p Dxtut，t 1,2,.,T (714）或利用滞后算子表示成A(L)yt Dxtut,t 1,2,.,T（7。1。5）d11d12.d1ddd.d21222d其中：D.dd.dk2kdk1此时称该模型为受限制性VAR模型，简化式简化式受限制性VAR模型。对于受限制性VAR模型,可通过yt(y1ty2t.ykt)对xt(x1tx2t.xdt)作OLS回归，得到残差估计t，从而将yt变换成（15。1。2)或(15.1.3）形式的非限制性VAR模型，即yt yt yyt A1yt1 A2yt2.Apytput，t 1,2,.,T（716）A(L
8、)yt ut,t 1,2,.,T (7。1。7）这说明受限制性VAR模型可化为非限制性VAR模型.简化式非限制、受限制简化式非限制、受限制VARVAR模型，皆简记为模型，皆简记为VAR(p)。3 3、结构式非限制性、结构式非限制性VARVAR模型模型如果yt(y1ty2t.ykt)中的每一分量受其它分量当期影响，无d维外生的时间序列xt(x1tx2t.xdt)影响（限制）,则模型化为A0yt A1yt1 A2yt2.Apyt put，t 1,2,.,T（718)或利用滞后算子表示成A(L)yt ut,t 1,2,.,T（7。1。9）1a(0)12.a(0)1k(0)(0)a1.a212p2k其
9、中：A0,这时的A(L)A0 AL A L.A L12p.(0)(0)ak1ak2.1此时称该模型为结构式结构式非限制性VAR模型.如果A0可逆，既逆阵A10存在，则结构式非限制性VAR模型可化为简化式非限制性VAR模型yt A10A1yt1 A10A2yt2.A10Apytp A10ut，t 1,2,.,T (7110)或利用滞后算子表示成A(L)yt A10ut,t 1,2,.,T（7.1.11）121p这时，其中的A(L)I A10A1L A0A2L.A0ApL 4 4、结构式受限制性、结构式受限制性VARVAR模型模型如果将yt(y1ty2t.ykt)做为一k维内生的随机时间序列，其中
10、每一分量受其它分量当期影响，且还受d维外生的时间序列xt(x1tx2t.xdt)影响（限制)，则VAR模型为A0yt A1yt1 A2yt2.Apytp Dxtut，t 1,2,.,T（7112)或利用滞后算子表示成A(L)yt Dxtut,t 1,2,.,T（7。1.13)此时称该模型为结构式受限制性VAR模型.如果A0可逆,既逆阵A10存在，则结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型yt A10A1yt1 A10A2yt2.A10Apytp A10Dxt A10ut，t 1,2,.,T（7114）或利用滞后算子表示成A(L)yt A10Dxt A10ut,t 1,2,.,T
11、(7。1.15）这时,其中的A(L)I A101AL A10A2L2.A10ApLp结构式非限制、受限制结构式非限制、受限制VARVAR模型模型,皆简记为皆简记为SVAR(p)。7.1 7.1。2 2简化式简化式VARVAR模型的参数估计模型的参数估计 VAR模型参数估计，简化式VAR模型比较简单可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计法等进行估计，且可获得具有良好统计性质的估计量.结构式VAR模型参数估计比较复杂,可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数,然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系,求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况
12、下可行,这与结构式模型的识别性有关。另一种途径是直接对结构式模型参数进行估计,但这也存在一个问题，上述方法不可应用,原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么,如何估计？这也与结构式模型的识别性有关.对于简化式VAR模型(15.1。1)-（15。1.3）,在冲击向量满足假设ut iidN(0,)，t 1,2,.,T，即ut相互独立，同服从以E(ut)0为期望向量、Cov(ut)E(utut)为方差协方差阵的k维正态分布。这时，ut是k维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵A1,A2,.,Ap及也可采用YuleWalker估计、OLS估计、极大似然估计.设yt(y1ty2t.ykt),t
13、1,2,.,T为长度为T的样本向量1 1、YuleYuleWalkerWalker估计估计在T充分大时,首先估计自协方差阵hth1y ytTth/T（7。1.16）A01.p111.p2A2102,A令，.App1p2.0P则可得模型参数阵的YuleWalker估计（矩估计）为A1A1A2 AP2 2、OLS估计估计01.p1.10p2.p20p1112,(7.1.17)p模型参数阵A1,A2,.,Ap的OLS估计,即求使,A,.,A)1Q(A12pTjp1y(y Atjj1Tpt jy)(ytAjt jj1p min,A,.,A作为A1,A2,.,Ap估计。下的A12ph 记由此可推得tp1
14、y ytTth/T (7.1.18）1A1A1A2 AP01.p1.10p2.p20p112,(7.1。19)p由此可见，模型参数阵A1,A2,.,Ap的OLS估计(7.1.15)与Yule-Walker估计（7.1。13）形式相同，但式中的h的计算不同.但是,当T充分大时,（7。1.16)与（7.1。18）相差很小，这时（7.1.17)与（7。1.19）相差也很小，这时二者的估计及估计量的性质等价。因此，在T充分大时,可直接采用Yule-Walker估计比较简单方便。T1 AAtu t (7.1.20)而的估计为u0Tt1y Ay.Ay y A其中：utt1t12t2ptp3 3、极大似然估
15、计、极大似然估计可证明,模型参数阵A1,A2,.,Ap的极大似然估计与OLS估计完全等价。除此之外，还有递推估计法(参见:马树才，经济时序分析,辽宁大学出版社，1997.1。pp199），这里不在赘述。7.1.37.1.3简化式简化式VARVAR模型的预测模型的预测在已知yt1,yt2,.时，对yt的一步线性预测t1(1)AYy1 t1 A2yt2.Apytp（7。1.21）t1(1)et其一步预测误差为yt yt y一步预测误差的方差阵为Eytyt Eetet S的估计为pkp1(1)(A)（7。1.22）S0iiTi1,A,.,A,对y进行一步线性预测，则在已知yt1,yt2,.时，如果利
16、用模型参数的估计量At12pt1(1)AYyt的实际一步线性预测为y1 t1 A2yt2.Apytp (7。1。23)t1(1)其一步预测误差为yt yt y)Y(A A)y.(A A)y e(A1 A1t122t2pptpt一步预测误差的方差阵为Eytyt Eetet D的估计为)（7。1。24）(1kp)(1kp)1(AD0iiTTi1 7 7。1 1。4 VAR4 VAR模型阶数模型阶数p p的确定的确定VAR模型的定阶是一个矛盾过程,阶数p的确定,既不能太大,又不能太小，必须兼顾。因为，一方面，希望滞后阶数p要大一些,以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶
17、数p太大,会造成需要估计的模型参数过多,而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项,又能有足够大的自由度为原则确定阶数。VAR模型的定阶方法有多种：1 1、FPEFPE准则（最小最终预测误差准则准则（最小最终预测误差准则）FPE准则（最小最终预测误差准则），即利用一步预测误差方差进行定阶.因为,如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高,其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。设给定时间序列向量长度为T的样本向量为yt(y1ty2t.ykt)，t 1,2,.,T，则其一步预测误差方差阵的估计量为（7.1。24）式,它是一个kk阶阵,因此可定义其最终预测误
18、差为p)(7.1。25）(1kp)k(1kp)kdet(AFPEk(p)det D0iiTTi1显然,FPEk(p)是p的函数。所谓最小最终预测误差准则，就是分别取p=1,2，,M,来计算FPEk(p),使FPEk(p)min值所p,A,.,A为最佳模型参数估计。其中，M为预先选对应的p，为模型合适阶数。相应的模型参数估计A12p定的阶数上界,一般取M T/10k T/5k之间。在实际计算过程中，可如下判断:如果FPEk(p)的值，随着p从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定p=1；如果FPEk(p)的值,随着p从1开始逐渐增大就一直下降,则可判定该随机时间序列不能用AR(p）模型来描述;如果F
19、PEk(p)的值,在某一p值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该p值为所确定的阶数;如果FPEk(p)的值，随着p从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值,这可能由于样本数据长度T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型.利用利用FPEFPE信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前r(r k)个分量个分量y1ty2t.yrt,t 1,2,.,T来进行，方法如下：来进行，方法如下：0记(7。1。21）式中的kk阶矩阵()的左上角r阶子方阵为(AA)ii0i1i1ppiirr，则前r个分量y1ty
20、2t.yrt，t 1,2,.,T的最终预测误差为)（7。1。26）(1kp)r(1kp)rdet(AFPEr(p)det Dr0iirrTTi1当r k时，(7.1。26）为（7.1。25）式。如果，min FPEr(p)min FPEk(p),则可认为仅用前r个分量y1ty2t.yrt，t 1,2,.,T建立模型即可，没有必要采用k维随机时间序列yt(y1ty2t.ykt)建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度，用k维随机时间序列yt(y1ty2t.ykt)建立模型比仅采前r个分量y1ty2t.yrt，t 1,2,.,T建立模型,带来拟合优度的显著改善;反之，则相反。2 2、AIC(Aka
21、ike Information CriterionAIC(Akaike Information Criterion）与）与SCSC（Bayes Information CriterionBayes Information Criterion）信息准则）信息准则AIC、SC信息准则，也称最小信息准则，定义AIC 2l/T 2n/T,SC 2l/T nlnT/T (7.1.27）其中：l pTkT,n为模型需要估计参数个数，对（7。1。1),n pk2；对于(7。(1ln2)ln 22221.4)，n k(d pk)；对于（7.1。8）,n (p1)k；对于(7。1。12），n k(d pk)k。
22、所谓最小信息准则，就是分别取p=1，2,来计算AIC或者SC，使AIC或SC min值所对应的p，为,A,.,A为最佳模型参数估计。模型合适阶数.相应的模型参数估计A12p3 3、似然比检验法、似然比检验法(Likelihood Ratio,LR(Likelihood Ratio,LR检验）检验）:由于ut iidN(0,)，t 1,2,.,T，即ut相互独立，同服从以E(ut)0为期望向量、Cov(ut)E(utut)为方差协方差阵的k维正态分布。因此，yt1yt2记Yt,AA1ytpA2AP，则在给yt1,yt2,.,y p1的条件下，yt(y1ty2t.ykt)的条件分布为ytyt1,y
23、t2,.,yp1 N(AYt,)于是，在给yt1,yt2,.,y p1的条件下,y1,y2,.,yT的联合分布密度，即似然函数为L(A,)(2)Tk/21T/21Texp(yt AYt)1(yt AYt)2t1TkT1T1ln(2)ln(yt AYt)1(yt AYt)对数似然函数为lnL(A,)222t1将参数估计代入,则有1TTkT1T11tu tt ut)，又 uln L(A,)ln(2)ln(uTt1222t1因此，有lnL(A,)TkT1Tk（7。1。28）ln(2)ln 222现在，欲检验假设H0:样本数据是由滞后阶数为p的VAR模型生成；H1:样本数据是由滞后阶数为p1的VAR模
24、型生成取似然比统计量为)lnL(A,)T(ln 1ln 1)LR 2lnL(A,p1pp1p2(k2)分布（7。1。29）22在给定的显著性水平下,当LR(k)，则拒绝H0,表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；否则，则相反.LR检验在小样本下，可取似然比统计量为1ln 1)LR (T m)(ln p1p其中，m d kp。7.1.5 VAR 7.1.5 VAR模型的模型的GrangerGranger因果关系检验因果关系检验VAR模型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在GrangerGranger因果关系,这也是建立VAR模型所需要的。1、GrangerGranger因果关
25、系的涵义设yt(y1ty2t)为一2维随机时间序列，如果在给定y1t、y2t的滞后值下y1t的条件分布与仅在给定的y1t的滞后值下y1t的条件分布相同,即2(k2)分布（7.1。30）f(y1ty1t1,y1t2,.,y1tp,y2t1,y2t2,.,y2tp)f(y1ty1t1,y1t2,.,y1tp)则称y2t对y1t存在GrangerGranger非因果性关系，否则，y2t对y1t存在GrangerGranger因果性关系。GrangerGranger因果性关系涵义的另一表述：在其条件不变下，如果加上y2t的滞后值,并不对只由y1t的滞后值下对y1t进行预测有显著改善,则称y2t对y1t
26、存在GrangerGranger非因果性关系，否则,y2t对y1t存在GrangerGranger因果性关系。2、GrangerGranger因果关系检验因果关系检验设yt(y1ty2t)为一2维随机时间序列，p为滞后阶数，ut(u1tu2t)为一2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为y1t a(1)11y1t1a(1)12y2t1a(2)11y1t2a(2)12y2t2.a(p)11y1tpa(p)12y2tpu1t(1)(1)(2)(2)(p)(p)y2t a21y1t1a22y2t1a21y1t2a22y2t2.a21y2tpa12y2tpu2tt 1,2,.,T（7131）显然，
27、欲检验y2t对y1t是否存在GrangerGranger非非因果性关系，等价地，(1)(2)(p)(1)(2)(p)检验假设H0:a12 a12.a12 0；H1:a12,a12,.a12中至少有一个不为0。其用于检验的统计量为F(SSRy1SSRy1,y2)/pSSRy1,y2/(T 2p1)F(p,T 2p1)（7132)其中，SSRy1,y2为模型（7.1.31）中第1方程残差平方和，SSRy1为模型（7。1.31）中第1方程去掉y2各期滞后项后拟合残差平方和.在给定的显著性水平下，当F F(p,T 2p 1)时,拒绝H0。如果模型(7131）满足ut iidN(0,),t 1,2,.,
28、T，即ut相互独立,同服从以E(ut)0为期望向量、Cov(ut)E(utut)为方差协方差阵的k维正态分布条件，则也可采用如下统计量进行检验2T(SSRy1SSRy1,y2)SSRy1,y22(p)（7133）22在给定的显著性水平下，当(p)时，拒绝H0，上述GrangerGranger因果性关系检验，可推广到对任意k维VAR模型以及SVAR模型中的某一或某几个随机时间序列（包括内生、外生变量）是否对另一时间序列具有GrangerGranger因果性的检验上去.7.2 VAR7.2 VAR（p p）模型的脉冲响应函数与方差分解）模型的脉冲响应函数与方差分解在实际应用中，由于通常所设定的VA
29、R模型都是非经济理论性的简化式模型，出它无需对变量作任何先验性约束，因此，在分析应用中，往往并不利用 VAR模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何，而是分析当某一扰动项发生变化,或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，这钟分析方法称为脉冲响应函数方法(Impulse Response Function,IRF）。7.2 7.2。1 1脉冲响应函数基本思想脉冲响应函数基本思想对VAR模型采用脉冲响应函数分析扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响,就是分析扰动项发生变化是如何传播到各变量的。设yt(y1ty2t)为一2维随机时间序列，滞后阶数p=2，ut(u1tu2t
30、)为一2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为y1t a(1)11y1t1a(1)12y2t1a(2)11y1t2a(2)12y2t2u1t(1)(1)(2)(2)y2t a21y1t1a22y2t1a21y1t2a22y2t2u2tt 1,2,.,T（721）扰动项满足白噪声假设条件，即E(ut)0,t 1,2,.,T;Cov(ut)E(utut)ij,t 1,2,.,T；)0(t s),t,s 1,2,.,TCov(ut,us)E(utus现在假设上述VAR模型系统从t 0时期开始运行,并设y1,1 y1,2 y2,1 y2,2 0，在t 0时给定扰动项u101、u20 0,并且其后u
31、1t u2t 0,(t 1,2,.),即在t 0时给定y1t一脉冲,我们来讨论y1t、y2t的响应。由于u101、u20 0,由（721），在t 0时，于是有，y1,01、y2,0 0；将上述结果再代入（721),在t 1时,于是有，y1,1 a再将上述结果代入(1521），在t 2时，于是有，2y1,2(a(1)11)a(1)12a(2)11a(1)21,y2,2 a(1)21a(1)11a(1)22a(2)21a(1)21(1)11、y2,1 a(1)21;如此下去，可求得结果y1,0,y1,1,y1,2,y1,3,.，称此结果为由y1的冲脉冲引起的y1t的响应函数；所求得的y2,0,y2
32、,1,y2,2,y2,3,.,称为由y1的冲脉冲引起的y2t的响应函数。反过来，也可求得在t 0时,给定扰动项u10 0、u201,并且其后u1t u2t 0,(t 1,2,.)，即在t 0给定y2t一脉冲时，由y2的冲脉冲引起的y1t、y2t的响应函数。7.27.2。2 VAR2 VAR模型的脉冲响应函数模型的脉冲响应函数假设有VAR(p）模型yt A1yt1 A2yt2.Apytput，t 1,2,.,T (722）引入滞后算子B,表示成A(L)yt ut,2pt 1,2,.,T（7.2.3）其中:A(L)Ik A1L A2L.ApL，为滞后算子多项式。在满足特征方程detA(L)Ik A
33、1L A2L2.ApLp0的根全在单位园外条件下,则VAR（p）是可逆的,即可将yt表示成白噪声ut滑动和形式ytC(L)ut (7.2.4）12其中：C(L)A(L)C0C1LC2L.,C0Ik(k阶单位阵)（7.2。4)中第i方程为yit(cj 1k(0)ijujtc(1)ijujt1c(2)ijujt 2.),t 1,2,.T（7。2.5）当k2时,(7.2.4）为(0)(0)(1)(1)(2)(2)y1tc11c12u1tc11c12u1t 1c11c12u1t 2(1)(2).(0)(0)(1)(2)yuuu2tc21c222tc21c222t 1c21c222t 2t 1,2,.,
34、T（726）现在假定在基期给y1一个单位脉冲,即u1t1,t0而u2t0,t0,1,2,.0,t0则可求得由y1的脉冲引起y2的响应函数为:t0,y20c(0)21y21c(1)21y22c(2)21t 1,t2,由此可看出，对于（7。2.4）式的一般情形，由yj的脉冲引起yi的响应函数为：t0,t 1,t2,yi0c(0)ijyi 1c(1)ijyi2c(2)ij由yj的脉冲引起yi的累积响应函数为：cq 0(q)ij由（7。2.4）式，其中的Cq中的第i行、第j列元素可表示为c(q)ijyit q/ujt,q0,1,2,.;t 1,2,.,T（7。2.7）作为q的函数，它描述了在时期t，其
35、他变量和早期变量不变的情况下，yit q对yjt的一个冲击的反应，称为脉冲响应函数。用矩阵可表示为Cq=yt q/ut（7。2.8)即Cq中的第i行、第j列元素等于时期t的第j变量扰动项增加一个单位，其它时期扰动项为常数时，对时期t q的第i个变量值的影响.7 72 23 3方差分解方差分解VAR模型的脉冲响应函数是用来描述VAR模型中一个内生变量的冲击给其它内生变量所带来的影响的，它是随时间的推移,观察模型中各变量对于冲击是如何反应的。而方差分解是要通过分析每一结构冲击对内生变量变化（通常用方差来度量)的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性的，与脉冲响应函数相比，方差分解是一种比较粗糙的把
36、握变量间关系的方法，它给出的是对VAR模型中的变量产生影响的每个扰动项的相对重要信息。方差分解的基本思想是：由（7.2.5)式yit(0)(1)(2)(cu cucijjtijjt1ijujt2.),i 1,2,.,k;t 1,2,.T（7。2.9）j1k可知，左边括号内为是第j扰动项uj从过去无限远至现在时点对第i内生变量yi影响的总和.在E(uj)0，uj无序列相关的假设下，对其求方差，可得E(c(0)ijujtc(1)ijujt1c(2)ijujt2.)(c(q)ij)2jj,i,j 1,2,.,k(7.2。10）2q0它是把第j扰动项uj从过去无限远至现在时点对第i内生变量yi影响总和
37、，用方差加以评价的结果。如果Cov(ut)E(utut)为对角阵，则yit的方差为Var(yit)(cj1q0k(q)ij)2jj),j 1,2,.,k;t 1,2,.,T（7.2.11）由此可知,yit的方差可分解成k个不相关的(cq0(q)ij)2jj（j 1,2,.,k)的影响。由此，可测定出各个扰动项对yit方差的相对方差贡献率为RVCji()(cq0(q)ij)jjVar(yit)2q0(c(q)ij)2jj(cj1q0k(7.2。12）(q)ij)2jji,j 1,2,.,k在实际应用计算中，不可能从过去无限远的c(q)在模型满足平稳性条件下，由于cij来评价。(q)ij随着q的增
38、大是按几何级数衰减的，故只要取前s有限项计算即可.其近似相对方差贡献率为RVCji(s)(cq0s1(q)2)ijjj(cj1q0ks1，i,j 1,2,.,k(7。2.13)(q)ij)2jjRVCJI(s)有如下性质：0 RVCji(s)1(7。2。14）RVCj1kji(s)1,i 1,2,.,k（7。2.15）如果RVCJI(s)大,则意味着第j变量（第j扰动项）对第i变量yi影响大，反之，则相反。7 7。3 Johansen3 Johansen协整检验与向量误差修正模型协整检验与向量误差修正模型(VEC)(VEC)前面我们已经介绍了单方程的协整检验与误差修正模型.且其协整检验方法是以
39、回归模型为基础的基于回归残差序列的ADF检验法进行检验的。现在我们把它推广到VAR模型上去,并给出以VAR模型为基础基于回归系数的协整检验方法。在单方程协整检验中，由于是基于回归残差序列进行,故在第一阶段需要采用OLS进行回归分析，应用很不方便。为此，Johansen（1988）及Juselius（1990）提出了一个以VAR模型为基础的基于回归系数的特别适合于多变量的协整检验法。7 73 31 Johansen1 Johansen协整检验协整检验 1 1、协整定义、协整定义:设yt(y1t,y2t,.,ykt)为一k维随机时间序列,t1,2,.,T，如果yt I(d),且每一yit I(d)
40、，i 1,2,.,k存在非零向量=(1,2,.,k)，使yt I(d b),则称yt为协整，记为yt CI(d,b)，为协整向量。若yt为协整，则最多存在k 1个线性无关的协整向量。即若记由yt的所有协整向量组成的矩阵为A，则A秩，0 rant(A)r k 1。例如，k=2，yt(y1t,y2t)，y1t,y2t I(1),若有c1使y1tc1y2t I(0)，按照上述，最多存在0 b dk 1 211个线性无关的协整向量,则协整向量(1c1),c1)唯一.因为若有c2也使得y1tc2Y2t I(0),则（y1tc1y2t）-（y1tc2Y2t）（c2c1)y2t I(0)这与已知y2t I(
41、1)矛盾，故c1 c2，即(1c1),c1)唯一。2 2、JohansenJohansen协整检验基本思想协整检验基本思想设yt(y1t,y2t,.,ykt)为一k维随机时间序列，t1,2,.,T,且yt I(1),即每一yit I(1)，i 1,2,.,k，受d维外生的时间序列xt(x1tx2t.xdt)影响（限制），则首先可建立VAR模型yt A1yt1 A2yt2.Apyt p Dxtut，t 1,2,.,T（731）将上式进行差分变换，也称为协整变换，可写成yt yt1p yii1ip1ti Dxtut（732）p其中，A I,i1i Aj (733)ji1在（732)中，由于yt I
42、(1),所以yt I(0)、yt j I(0),j 0,1,.,p,yii1p1ti I(0)因此，只要yt1 I(0),则y1t1,y2t1,.,ykt1，亦即y1t,y2t,.,ykt之间具有协整关系，而y1t1,y2t1,.,ykt1之间是否具有协整关系取决于kk阶矩阵的秩rank().因为，与模型全部参数阵A1,A2,.,Ap有关，故称为压缩矩阵（影响矩阵）。设rank()r，则r有3种情况：如果r k，这意味着是一列满秩阵，则只有当y1t1,y2t1,.,ykt1 I(0)时，才能保证yt1 I(0),但这与已知yt I(1)相矛盾，故r k,只能有rk.如果r 0，则 0,由(73
43、2），这时用不着讨论y1t1,y2t1,.,ykt1之间是否具有有协整关系.除上述两种极端情形外，一般情况是：如果0 r k,这意味着y1t,y2t,.,ykt中一定存在r个协整关系（协整组合)，其余k r个关系仍然为I(1)关系。在这种情况下,可将分解成两个kr阶阵、的乘积 且rank()r、rank()r。将其代入到（742）式中，有ytyt1 yii1p1ti Dxtut (734）上式要求,yt1 I(0)向量，其每一行都是I(0)变量，即(12.r)的每一列都是一协整向量,所以决定了y1t1,y2t1,.,ykt1之间协整向量的个数和形式，故称称为协整向量阵，r为协整向量个数。的每一
44、行是出现在上述每一方程中的r个协整组合的一组权数,故称为调整参数阵，或修正参数阵。显然，在yt I(1)假定条件下,最大可能r k 1,这就是对于k维向量yt(y1t,y2t,.,ykt)最大可能存在k 1个线性无关的协整向量的道理。根据上述分析，可知欲检验yt(y1t,y2t,.,ykt)是否具有协整关系，就转化为对矩阵的秩数的检验，由于rank()=的非零特征根的个数，因此,就可以通过检验的非零特征根的个数，来检验rank()，从而来判定yt(y1t,y2t,.,ykt)是否具有协整关系。这就是Johansen协整检验的基本思想。3 3、Johansen Johansen协整检验协整检验现
45、在假设的k个特征根为12.k。Johansen协整检验有两种方法：1、特征根迹检验（trace检验)由于r个最大特征根可得到r个协整向量,而对于其余k r个非协整组合而言，应该有r1r2.k 0，因此，检验rank()是否等于r，等价地检验假设Hr0:r 0,r1 0;Hr1:r1 0,r 0,1,2,.,k 1可用于检验的特征根迹统计量为r Tir1ln(1),ikr 0,1,2,.,k 1 (735）具体显著性检验程序如下：当0某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受H00(r 0)，表明有k个特征根，0个协整向量，即yt(y1t,y2t,.,ykt)不存在协整关系。
46、当0某一显著性水平下的Johansen分布临界值,即显著时，拒绝H00(r 0),表明至少有1协整向量。这时必须接着检验1.当1某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受H10(r 1),表明只有1个协整向量.依次进行下去，直到接受Hr0，说明存在r个协整向量时为止。这时，这r个协整向量就是最大的r个特征根所对应的经过正规化的特征向量。显然整个检验过程应该是序贯进行的，整个序贯检验过程如下：当0某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受H00(r 0)，表明只有0个协整向量（即不存在协整关系）。当0某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即显著时,
47、拒绝H00(r 0)，表明至少有1协整向量。这时必须接着检验1。当1某一显著性水平下的Johansen分布临界值,即不显著时,接受H10(r 1)，表明只有1个协整向量。当1某一显著性水平下的Johansen分布临界值,即显著时，拒绝H10(r 1)，表明只少2个协整向量。当r某一显著性水平下的Johansen分布临界值,即不显著时,接受Hr0，表明只有r个协整向量.2、最大特征根检验由于r个最大特征根可得到r个协整向量，而对于其余k r个非协整组合而言，应该有r1r2.k 0,因此,最大特征根检验用于检验假设Hr0:r1 0;Hr1:r1 0,r 0,1,2,.,k 1用于检验的最大特征根检
48、验的统计量为r T ln(1r1),具体显著性检验程序如下:当0临界值，不显著时,接受H00(r 0)，表明最大特征根为0,无协整向量;当0临界值，显著时,拒绝H00(r 0)，接受H10,表明至少有1个最大特征根不为0，至少有1个协整向量。须接着检验1。当1临界值，不显著时，接受H10(r 1)，表明最大特征根不为0，其余特征根皆为0,只有1个协整向量；检验截止.当1临界值,显著时，拒绝H10(r 1),接受H11，表明至少有两个最大特征根不为0,，至少有2个r 0,1,2,.,k 1 (736）协整向量.须接着检验2。依次进行下去，直到接受Hr0，共有r个协整向量时为止.4 4、协整方程形
49、式、协整方程形式7 73 32 2向量误差修正模型向量误差修正模型(VEC)(VEC)由（7.3。1）式可知，设yt(y1t,y2t,.,ykt)为一k维随机时间序列,t1,2,.,T,且yt I(1),即每一yit I(1),i 1,2,.,k，如果yt不受d维外生的时间序列xt(x1tx2t.xdt)影响（限制）,VAR模型变为yt A1yt1 A2yt2.Apytput,t 1,2,.,T（737）将上式进行协整变换,可写成yt yt1p yii1ip1tiut (738）p其中,A I,i1i Aj（739）ji1如果yt存在协整关系，则(7.3。8）的yt1 I(0),这时可写成yt
50、yt1iytiut（7310）i1p1其中，yt1 ecmt1即为误差修正项,反映的是变量之间的长期均衡关系。即，上式可写成ytecmt1iytiut (7311）i1p1(7.3。11）即为向量误差修正模型(VEC），其中每一方程都是一个误差修正模型(ECM）。VEC模型中的参数向量,反映的是变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度,故称其为调整参数阵，或修正参数阵。所有作为解释变量的差分项yti(i 1,2,.,p1)的系数向量i(i 1,2,.,p1),反映的是各变量的短期波动yti对作为被解释变量yt的短期变化yt的影响。在实际应用中,对于影响不显著的那些短期