VAR模型与向量VECM模型.pdf

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1、 向量自回归模型（向量自回归模型（VAR）与向量误差修正模型（）与向量误差修正模型（VEC）向量自回归模型（向量自回归模型（VAR(p)）传统的经济计量学联立方程模型建摸方法,是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，

2、右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关，从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model）。VAR模型最早是1980年，由C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用，VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后

3、变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA模型、ARMA模型，也可化为VAR模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。VAR模型的一般形式模型的一般形式 1、非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非限制性VAR模型 设12(.)tttktyyyy为一k维随机时间序列，p为滞后阶数，12(.)tttktuu uu为一k维随机扰动的时间序列，且有结构关系 (1)(1)(1)(2)(2)(2)111111221111112122212()()()11112211(1)(1)(

4、1)(2)(2)2211122212121122222.tttkktttkktppptptpkktpttttkktttyayayayayayayayayayuyayayayayay(2)22()()()21212222(1)(1)111.kktppptptpkktptktktkayayayayuyaya(1)(2)(2)(2)2211112122212()()()1122.tkkktkttkktpppktpktpkkktpktyayayayayayayayu 1,2,.,tT （1511）若引入矩阵符号，记 ()()()1 11 21()()()2 12 22()()()12.,1,2,.,.

5、iiikiiikiiiikkkkaaaaaaAipaaa 可写成 1122.tttptptyA yA yA yu，1,2,.,tT （1512）进一步，若引入滞后算子L，则又可表示成(),1,2,.,ttA L yutT （15.1.3）其中:212().pkpA LIALA LA L,为滞后算子多项式.如果模型满足的条件:参数阵0,0;pAp 特征方程 212det().0pkpA LIALA LA L的根全在单位园外；(0,)tuiidN，1,2,.,tT，即tu 相互独立，同服从以()0tE u为期望向量、ov()()tttCuE uu为方差协方差阵的k维正态分布。这时，tu是k维白噪声

6、向量序列，由于tu没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；()()0,1,2,.ttjttjCov u xE u xj，即tu与tx及各滞后期不相关。则称上述模型为非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式简化式非限制性VAR模型。2、受限制性VAR模型，或简化式简化式受限制性VAR模型 如果将12(.)tttktyyyy做为一k维内生的随机时间序列，受d维外生的时间序列12(.)tttdtxx xx 影响（限制），则VAR模型为 1122.tttptpttyA yA yA yDxu，1,2,.,tT （1514）或利用滞后算子表示成(),1,2,.,tttA L yDxutT （15.1.

7、5）其中：111212122212.ddkkkdddddddDddd 此时称该模型为受限制性VAR模型，简化式简化式受限制性VAR模型。对于受限制性VAR模型，可通过12(.)tttktyyyy对12(.)tttdtxx xx作OLS回归，得到残差估计 tttyyy，从而将ty变换成（15.1.2）或（15.1.3）形式的非限制性VAR模型，即 1122.tttptptyA yA yA yu，1,2,.,tT （1516）(),1,2,.,ttA L yutT （15.1.7）这说明受限制性VAR模型可化为非限制性VAR模型。简化式非限制、受限制简化式非限制、受限制VAR模型，皆简记为模型，皆

8、简记为()VAR p。3、结构式非限制性VAR模型 如果12(.)tttktyyyy中的每一分量受其它分量当期影响,无d维外生的时间序列12(.)tttdtxx xx影响（限制）,则模型化为 01122.tttptptA yA yA yA yu，1,2,.,tT （1518）或利用滞后算子表示成(),1,2,.,ttA L yutT （15.1.9）其中：(0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121.1.1kkkkaaaaAaa,这时的2012().ppA LAALA LA L 此时称该模型为结构式结构式非限制性VAR模型。如果0A可逆，既逆阵10A存在，则结构式非限制性VAR模型

9、可化为简化式非限制性VAR模型 111101102200.tttptptyAA yAA yAA yAu，1,2,.,tT （15110）或利用滞后算子表示成 10(),1,2,.,ttA L yAutT （15.1.11）这时，其中的112101020().ppA LIAALAA LAA L 4、结构式受限制性VAR模型 如果将12(.)tttktyyyy做为一k维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受d维外生的时间序列12(.)tttdtxx xx影响（限制），则VAR模型为 01122.tttptpttA yA yA yA yDxu，1,2,.,tT （15112）或利

10、用滞后算子表示成(),1,2,.,tttA L yDxutT （15.1.13）此时称该模型为结构式受限制性VAR模型。如果0A可逆，既逆阵10A存在，则结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型 11111011022000.tttptpttyAA yAA yAA yADxAu，1,2,.,tT （15114）或利用滞后算子表示成 1100(),1,2,.,tttA L yADxAutT （15.1.15）这时，其中的112101020().ppA LIAALAA LAA L 结构式非限制、受限制结构式非限制、受限制VAR模型，皆简记为模型，皆简记为()SVAR p。简化式简化式

11、VAR模型的参数估计模型的参数估计 VAR模型参数估计,简化式VAR模型比较简单可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计法等进行估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式VAR模型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一 种途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。对于简化

12、式VAR模型（15.1.1）（15.1.3），在冲击向量满足假设(0,)tuiidN，1,2,.,tT，即tu 相互独立，同服从以()0tE u为期望向量、ov()()tttCuE uu为方差协方差阵的k维正态分布。这时，tu是k维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵12,.,pA AA及也可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计。设12(.)tttktyyyy,1,2,.,tT为长度为T的样本向量 Yule-Walker估计 在T充分大时,首先估计自协方差阵 1/Thtt ht hy yT (15.1.16)令 011102120.pppp,1122,pPAAAA 则可得模型

13、参数阵的Yule-Walker估计(矩估计)为 112PAAAA 1011102120.pppp12,p （15.1.17）OLS估计 模型参数阵12,.,pA AA的OLS估计，即求使 121111(,.,)()()minppTptjtjtjtjjpjjQ A AAyA yyA yT 下的12,.,pA AA作为12,.,pA AA估计。记 1/Thtt htpy yT (15.1.18)由此可推得 112PAAAA 1011102120.pppp12,p （15.1.19）由此可见,模型参数阵12,.,pA AA的OLS估计(15.1.15)与Yule-Walker估计(15.1.13)形

14、式相同,但式中的h的计算不同.但是,当T充分大时,(15.1.16)与(15.1.18)相差很小,这时(15.1.17)与(15.1.19)相差也很小,这时二者的估计及估计量的性质等价。因此，在T充分大时,可直接采用Yule-Walker估计比较简单 方便。而的估计为 011 TtttAAu uT （15.1.20）其中：1122.ttttptpuyA yA yA y 极大似然估计 可证明,模型参数阵12,.,pA AA的极大似然估计与OLS估计完全等价。除此之外，还有递推估计法（参见：马树才，经济时序分析，辽宁大学出版社，1997.1.pp199）,这里不在赘述。简化式简化式VAR模型的模型

15、的预测预测 在已知12,.ttyy时，对ty的一步线性预测 1(1)ty1122.ttptpAYA yA y （15.1.21）其一步预测误差为 1(1)ttttyyye 一步预测误差的方差阵为ttt tEy yEeeS的估计为 101(1)()piiikpSAT （15.1.22）在已知12,.ttyy时，如果利用模型参数的估计量12,.,pA AA，对ty进行一步线性预测，则 ty的实际一步线性预测为 1(1)ty1122.ttptpAYA yA y （15.1.23）其一步预测误差为 1(1)tttyyy 111222()().()ttpptptAA YAA yAAye 一步预测误差的方

16、差阵为ttt tEy yEeeD的估计为 101(1)(1)()piiikpkpDATT （15.1.24）VAR模型模型阶数阶数p的确定的确定 VAR模型的定阶是一个矛盾过程，阶数p的确定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。因为，一方 面，希望滞后阶数p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶数p太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原则确定阶数。VAR模型的定阶方法有多种：1、FPE准则(最小最终预测误差准则)FPE准则(最小最终预测误差准则)，即利用一步预测误

17、差方差进行定阶。因为，如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。设给定时间序列向量长度为T的样本向量为12(.)tttktyyyy,1,2,.,tT，则其一步预测误差方差阵的估计量为（15.1.24）式,它是一个kk阶阵,因此可定义其最终预测误差为 01()det(1)(1)det()pkkkiiikpkpFPEpDATT （15.1.25）显然,()kFPEp是p的函数。所谓最小最终预测误差准则，就是分别取p=1，2,，M,来计算()kFPEp,使()minkFPEp 值所对应的p,为模型合适阶数。相应的模型参数估计12,.,pA AA为

18、最佳模型参数估计。其中，M为预先选定的阶数上界,一般取/10/5MTkTk之间。在实际计算过程中，可如下判断：如果()kFPEp的值，随着p从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定p=1；如果如果()kFPEp的值，随着p从1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用AR（p）模型来描述；如果()kFPEp的值，在某一p值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该p值为所确定的阶数；如果()kFPEp的值，随着p从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。利用FPE信息准则还可以用来检验模型的建立是否

19、可由部分分量，比如前()r rk个分量12.ttrtyyy，1,2,.,tT来进行。记（15.1.21）式中的kk阶矩阵01()piiiA的左上角r阶子方阵为01()piir riA,则前r个分量12.ttrtyyy，1,2,.,tT的最终预测误差为 01()det(1)(1)det()prrrriir rikpkpFPEpDATT （15.1.26）当rk时，（15.1.26）为(15.1.25)式。如果，min()min()rkFPEpFPEp，则可认为仅用前r个分量12.ttrtyyy，1,2,.,tT建立模型即可，没有必要采用k维随机时间序列12(.)tttktyyyy建立模型，因为从

20、最小最终预测误差准则角度，用k维随机时间序列12(.)tttktyyyy建立模型比仅采前r个分量12.ttrtyyy，1,2,.,tT建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，则相反。2、AIC(Akaike Information Criterion)与SC（Bayes Information Criterion）信息准则 AIC、SC信息准则，也称最小信息准则，定义 2/2/AICl Tn T，2/ln/SCl TnT T （15.1.27）其中：(1 ln2)ln,22TkTln 为模型需要估计参数个数，对（15.1.1）,2npk；对于(15.1.4),()nk dpk；对于（15.1.

21、8),2(1)npk；对于（15.1.12），2()nk dpkk。所谓最小信息准则，就是分别取p=1，2,来计算AIC或者SC,使AIC或SCmin值所对应的p,为模型合适阶数。相应的模型参数估计12,.,pA AA为最佳模型参数估计。3、似然比检验法（Likelihood Ratio,LR检验）：由于(0,)tuiidN，1,2,.,tT，即tu 相互独立，同服从以()0tE u为期望向量、ov()()tttCuE uu为方差协方差阵的k维正态分布。因此，记1212,tttPtpyyYAAAAy，则在给121,.,ttpyyy 的条件下，12(.)tttktyyyy的条件，即 121,.,

22、(,)tttpty yyyN AY 于是，在给121,.,ttpyyy 的条件下，12,.,Ty yy的联合分布密度，即似然函数为/2/21111(,)(2)exp()()2TTTktttttL AyAYyAY 对数似然函数为 1111ln(,)ln(2)ln()()222TtttttTkTL AyAYyAY 将参数估计代入，则有 1111ln(,)ln(2)ln()222TtttTkTL Auu ，又 11 TtttuuT 因此，有 1ln(,)ln(2)ln222TkTTkL A （15.1.28）现在，欲检验假设0:H 样本数据是由滞后阶数为p的VAR模型生成；1:H样本数据是由滞后阶数

23、为1p的VAR模型生成 取似然比统计量为 11112ln(,)ln(,)(lnln)ppppLRL AL AT22()k分布 （15.1.29）在给定的显著性水平下，当22()LRk，则拒绝0H，表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；否则，则相反。LR检验在小样本下，可取似然比统计量为 111()(lnln)ppLRTm22()k分布 （15.1.30）其中,mdkp.VAR模型的模型的Granger因果关系检验因果关系检验 VAR模型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在Granger因果关系，这也是建立VAR模型所需要的。1、Granger因果关系的涵义 设12()ttt

24、yyy为一2维随机时间序列，如果在给定12ttyy、的滞后值下1ty的条件分布与仅在给定的1ty的滞后值下1ty的条件分布相同，即 11112121222111121(,.,.,)(,.,)ttttptttpttttpf yyyyyyyf yyyy 则称2ty对1ty存在Granger非因果性关系，否则，2ty对1ty存在Granger因果性关系。Granger因果性关系涵义的另一表述：在其条件不变下，如果加上2ty的滞后值，并不对只由1ty的滞后值下对1ty进行预测有显著改善，则称2ty对1ty存在Granger非因果性关系，否则，2ty对1ty存在Granger因果性关系。2、Grange

25、r因果关系检验因果关系检验 设12()tttyyy为一2维随机时间序列，p为滞后阶数，12()tttuu u为一2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为 (1)(1)(2)(2)()()111111221111212221111221(1)(1)(2)(2)()()221112221211222222121222.ppttttttptptppttttttptptyayayayayayayuyayayayayayayu 1,2,.,tT （15131）显然，欲检验2ty对1ty是否存在Granger非非因果性关系，等价地，检验假设0:H(1)(2)()121212.0paaa；1:H(1)(

26、2)()121212,.paaa中至少有一个不为0。其用于检验的统计量为 11212,()/(,21)/(21)yy yy ySSRSSRpFF p TpSSRTp （15132）其中，12,y ySSR为模型（15.1.31）中第1方程残差平方和,1ySSR为模型（15.1.31）中第1方程去掉2y各期滞后项后拟合残差平方和。在给定的显著性水平下，当(,21)FFp Tp时，拒绝0H。如果模型（15131）满足(0,)tuiidN，1,2,.,tT，即tu 相互独立，同服从以()0tE u为 期望向量、ov()()tttCuE uu为方差协方差阵的k维正态分布条件，则 也可采用如下统计量进行

27、检验 11212,22,()()yy yy yT SSRSSRpSSR （15133）在给定的显著性水平下，当22()p时，拒绝0H，上述Granger因果性关系检验，可推广到对任意k维VAR模型以及SVAR模型中的某一或某几个随机时 间序列（包括内生、外生变量）是否对另一时间序列具有Granger因果性的检验上去。VAR（p）模型的模型的脉冲响应函数脉冲响应函数与方差分解与方差分解 在实际应用中，由于通常所设定的VAR模型都是非经济理论性的简化式模型，出它无需对变量作任何先验性约束，因此，在分析应用中，往往并不利用VAR模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何，而是分析当某一扰动项发生变

28、化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，这钟分析方法称为脉冲响应函数方法（Impulse Response Function,IRF）。脉冲响应函数基本思想脉冲响应函数基本思想 对VAR模型采用脉冲响应函数分析扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，就是分析扰动项发生变化是如何传播到各变量的。设12()tttyyy为一2维随机时间序列，滞后阶数p=2，12()tttuu u为一2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为 (1)(1)(2)(2)111111221111212221(1)(1)(2)(2)221112221211222222tttttttttttty

29、ayayayayuyayayayayu 1,2,.,tT （1521）扰动项满足白噪声假设条件，即()0,1,2,.,tE utT；()(),1,2,.,tttijCov uE uutT；(,)()0(),1,2,.,tstsCov u uE uuts t sT 现在假设上述VAR模型系统从0t 时期开始运行，并设1,11,22,12,20yyyy，在0t 时给定扰动项102010,uu、并且其后120,(1,2,.)ttuut，即在0t 时给定1ty一脉冲，我们来讨论12ttyy、的响应。由于102010,uu、由（1521），在0t 时，于是有，1,02,010yy、；将上述结果再代入（1

30、521），在1t 时，于是有，(1)(1)1,12,121yaya11、；再将上述结果代入（1521），在2时，于是有，(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)(1)1,21211212,22111222121(,yaaaayaaaaa211)如此下去，可求得结果1,01,11,21,3,.yyyy，称此结果为由1y的冲脉冲引起的1ty的响应函数；所求得的2,02,12,22,3,.yyyy，称为由1y的冲脉冲引起的2ty的响应函数。反过来，也可求得在0t 时，给定扰动项102001,uu、并且其后120,(1,2,.)ttuut，即在 0t 给定2ty一脉冲时，由2y的冲脉冲引起的1

31、ty、2ty的响应函数。VAR模型的脉冲响应函数模型的脉冲响应函数 假设有VAR(p)模型 1122.tttptptyA yA yA yu，1,2,.,tT （1522）引入滞后算子B，表示成(),1,2,.,ttA L yutT （15.2.3）其中:212().pkpA LIALA LA L,为滞后算子多项式.在满足特征方程 212det().0pkpA LIALA LA L的根全在单位园外条件下，则 VAR(p)是可逆的，即可将ty表示成白噪声tu滑动和形式 ()ttyC L u （15.2.4）其中：120120()().,(kC LA LCC LC LCIk阶单位阵）（15.2.4）

32、中第i方程为 (0)(1)(2)121(.),1,2,.kitijjtijjtijjtjycucucutT （15.2.5）当2k 时,(15.2.4)为 (0)(0)(1)(1)(2)(2)111112111211121112(0)(0)(1)(1)(2)(2)222122212221222122.ttttttttyuuuccccccyuuucccccc 1,2,.,tT （1526）现在假定在基期给1y一个单位脉冲,即 11,00,0ttut 而 20,0,1,2,.tut 则可求得由1y的脉冲引起2y的响应函数为：(0)2021(1)2121(2)22210,1,2,tyctyctyc

33、由此可看出，对于（15.2.4）式的一般情形，由jy的脉冲引起iy的响应函数为：(0)0(1)1(2)20,1,2,iijiijiijtyctyctyc 由jy的脉冲引起iy的累积响应函数为：()0qijqc 由（15.2.4）式,其中的qC 中的第i行、第j列元素可表示为 ()/,0,1,2,.;1,2,.,qijit qjtcyuqtT （15.2.7）作为q的函数，它描述了在时期t，其他变量和早期变量不变的情况下，it qy对jty的一个冲击的反应，称 为脉冲响应函数。用矩阵可表示为 qC=/t qtyu （15.2.8）即qC 中的第i行、第j列元素等于时期t的第j变量扰动项增加一个单

34、位，其它时期扰动项为常数时，对 时期tq的第i个变量值的影响。方差分解方差分解 VAR模型的脉冲响应函数是用来描述VAR模型中一个内生变量的冲击给其它内生变量所带来的影响的，它是随时间的推移，观察模型中各变量对于冲击是如何反应的。而方差分解是要通过分析每一结构冲击对内生变量变化（通常用方差来度量）的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性的，与脉冲响应函数相 比，方差分解是一种比较粗糙的把握变量间关系的方法，它给出的是对VAR模型中的变量产生影响的每个扰动项的相对重要信息。方差分解的基本思想是：由（15.2.5）式 (0)(1)(2)121(.),1,2,.,;1,2,.kitijjtijjti

35、jjtjycucucuik tT （15.2.9）可知，左边括号内为是第j扰动项ju从过去无限远至现在时点对第i内生变量iy影响的总和。在()0jE u，ju无序列相关的假设下，对其求方差，可得 (0)(1)(2)2()2120(.)(),1,2,.,qijjtijjtijjtijjjqE cucucuci jk （15.2.10）它是把第j扰动项ju从过去无限远至现在时点对第i内生变量iy影响总和，用方差加以评价的结果。如果ov()()tttCuE uu为对角阵，则ity的方差为 ()210()(),1,2,.,;1,2,.,kqitijjjjqVar ycjktT （15.2.11）由此可

36、知，ity的方差可分解成k个不相关的()20()qijjjqc（1,2,.,jk）的影响。由此，可测定出各个扰动项对ity方差的相对方差贡献率为 ()2()200()210()()()()()qqijjjijjjqqkjiqitijjjjqccRVCVar yc （15.2.12）,1,2,.,i jk 在实际应用计算中，不可能从过去无限远的()qijc来评价。在模型满足平稳性条件下，由于()qijc随着q的增大是按几何级数衰减的，故只要取前s有限项计算即可。其近似相对方差贡献率为 1()201()210()()()sqijjjqksjiqijjjjqcRVCsc，,1,2,.,i jk （1

37、5.2.13）()JIRVCs有如下性质：0()1jiRVCs （15.2.14）1()1,1,2,.,kjijRVCsik （15.2.15）如果()JIRVCs大，则意味着第j变量（第j扰动项）对第i变量iy影响大，反之，则相反。SVAR(p)模型模型 SVAR模型的识别模型的识别与约束条件与约束条件 如果12(.)tttktyyyy中的每一分量受其它分量当期影响,无d维外生的时间序列12(.)tttdtxx xx影响（限制）,则由（1518）式，结构式非限制性SVAR（p）模型为 01122.tttptptA yA yA yA yu，1,2,.,tT （1531）或利用滞后算子表示成()

38、,1,2,.,ttA L yutT （15.3.2）其中：(0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121.1.1kkkkaaaaAaa,这时的2012().ppA LAALA LA L 此时称该模型为结构式结构式非限制性SVAR模型。结构式结构式非限制性SVAR模型，即使在扰动项满足白噪声条件下也不能采用普通最小二乘法估计模型参数来建立模型，因为每一方程含有同期相关的变量。如果0A可逆，既逆阵10A存在，则结构式非限制性SVAR模型可化为简化式非限制性VAR模型 111101102200.tttptptyAA yAA yAA yAu，1,2,.,tT （1533）或利用滞后算子表示成

39、 10(),1,2,.,ttA L yAutT （15.3.4）这时，其中的112101020().ppA LIAALAA LAA L 若记 111101102200,.,ppttAAD AADAADAuv （1535）则（15.3.4）可写成 1122.tttptptyD yD yD yv，1,2,.,tT （1536）简化式非限制性模型VAR所含需要估计参数个数为 22()/2k pkk （1537）其中，2()/2kk为扰动项tu的方差协方差阵ov()()tttCuE uu所含未知待估计参数个数。在扰动项满足白噪声条件下，（1536）式可采用普通最小二乘法估计上述模型参数，来建立其简化式

40、非限制性VAR模型。我们知道，结构式结构式非限制性SVAR模型（1531），即使在扰动项满足白噪声条件下也不能采用普通最小二乘法估计模型参数来建立模型，因为每一方程含有同期相关的变量。既然其简化式非限制性VAR模型（1536）模型参数可以通过普通最小二乘法估计，那么，可否根据上述简化式非限制性VAR模型的模型参数与结构式结构式非限制性SVAR模型的模型参数之间的关系式（1535），通过已估计的简化式非限制性VAR模型参数，得到相应的结构式非限制性SVAR模型参数建立模型？这就涉及到结构式结构式非限制性SVAR模型（1531）的识别性（关于识别性及其方法，可见14章联立方程内容），或者说取决于对

41、结结构式构式非限制性SVAR模型所施加的约束条件。因为，由结构式结构式非限制性SVAR模型（1531）可知，其需要估计的模型参数个数共 22k pk （1538）22k pk22()/2k pkk，所以，如果不对结构式非限制性SVAR模型（1531）施加限制条件，其模型参数不可估计。那么，对结构式非限制性SVAR模型（1531）需要施加多少限制或约束条件？需要施加的约束条件数恰好为 22k pk22()/2k pkk(1)/2k k （1539）即只要施加(1)/2k k 个约束条件，则结构式结构式非限制性SVAR模型（1531）的模型参数就可估计。所施加的约束条件既可以是短期（同期）的，也可

42、以是长期的。1、短期约束 结构式结构式非限制性SVAR模型（1531）式 01122.tttptptA yA yA yA yu，1,2,.,tT 其中：(0)(0)121(0)(0)2120(0)(0)121.1.1kkkkaaaaAaa 在0A可逆，既逆阵10A存在时，可化成简化式非限制性VAR模型（1536）1122.tttptptyD yD yD yv，1,2,.,tT 进一步，在满足特征方程 212det().0pkpD LID LD LD L的根全在单位园外条件下，则VAR(p)可逆，从而又可将ty表示成白噪声tv滑动和形式 ()ttyC L v 01122.tttC vC vC v

43、，其中，100CA （15.3.10）根据Cholesky分解基本思想，短期约束可直接施加在矩阵0A上，只要使0A成为主对角线上元素为1的下三角形矩阵，即(0)210(0)(0)1210.01.0.1kkaAaa 则结构式非限制性SVAR模型（1531）式就可变成一递归形式的结构式非限制性SVAR模型，从而为恰好识别，可直接采用OLS从第1方程开始估计该结构式模型的模型参数，建立模型。在实际中，对结构式非限制性SVAR模型（1531）式施加短期约束，0A也可以不呈下三角形，只要施加约束条件数(1)/2k k，即可。例如，如果我们要建立一个以1y（GDP）、2y（税收）、3y（政府支出）为变量的

44、3k 的结构式非限制性SVAR模型，则只需施加(1)/23k k 个约束条件：(0)230a，当期1y（GDP）影响当期2y（税收），不影响当期3y（G政府支出）；(0)120a，当期2y（税收）影响当期3y（G政府支出）；(0)131.71a，根据以往研究已得知，税收关于产出弹性为1.71,则所建结构式非限制性SVAR模型即可识别,从而可估计。2、长期约束 所谓长期约束,通常是指施加在（15310）式12,.C C上的约束,也可是单独施加在某一(1,2,.)iC i 上的约束而言。比较简单的是一般都施加在1C上，与短期约束类似，也可将长期约束直接施加在1A上来进行。SVAR模型的三种类型模型

45、的三种类型 SVAR模型根据模型特点主要有三种类型：K型、C型和AB型。其中最常用的是AB型，K型和C型可视为是AB型的特殊形式。1、：K型SVAR模型 设12(.)tttktyyyy为一k维随机时间序列，p为滞后阶数，12(.)tttktuu uu为一k维随机扰动的时间序列，且其VAR模型结构关系为 即 1122.tttptptyA yA yA yu，1,2,.,tT （15311）或写成滞后算子形式(),1,2,.,ttA L yutT （15.3.12）其中:212().pkpA LIALA LA L,为滞后算子多项式.设K为一个kk阶可逆阵，左乘（15.3.12），则 (),1,2,.

46、,ttKA L yKutT （15.3.13）如果,()0,()()ttttttKuvE vCov vE vvI且，则称满足上述条件的（15.3.13）为K型SVAR模型。由于 ,()()0,()()()(),ttttttttttKuv E KuE vCov KuE Ku u KK KCov vE vvIK KI 而从而有 在已知下，这意味着对K已施加了k(k+1)/2个非线性约束条件，K中还余下(1)/2k k 个自由参数，因此，只需给出(1)/2k k 个短期约束条件即可。3、C型SVAR模型 对于VAR模型（15311）1122.tttptptyA yA yA yu，1,2,.,tT 或

47、写成滞后算子形式(),1,2,.,ttA L yutT （15.3.14）设C为一个kk阶可逆阵，如果ttuCv，且()0,()()ttttE vCov vE vvI，则称满足上述条件的（15.3.14）模型为C型SVAR模型。由于()()()()ttttttCov uE uuCov CvE CvvCCC ，在已知下，这意味着对C已施加了k(k+1)/2个非线性约束条件，C中还余下(1)/2k k 个自由参数。3、AB型SVAR模型 设AB、为kk阶可逆阵，左乘（15.3.12），则 (),1,2,.,ttAA L yAutT （15.3.15）且满足条件：,0,()()ttttttAuBv

48、EvCov vE vvI，则称（15.3.15）为AB型SVAR模型。显然，当A为单位阵时，AB型SVAR模型就化为C型SVAR模型；当B为单位阵时，AB型SVAR模型就化为K型SVAR模型。由 ()()()()ttttttCov AuE Auu AE Bvv BCov Bv 可知 A ABB 在已知下，它是对AB、施加了k(k+1)/2个非线性约束条件，余下了22(1)/2kk k个自由参数。SVAR模型的脉冲响应函数模型的脉冲响应函数 设有VAR(p)模型（参见1522）1122.tttptptyA yA yA yu，1,2,.,tT 写成滞后算子形式为(),1,2,.,ttA L yut

49、T 其中:212().pkpA LIALA LA L,为滞后算子多项式.在满足特征方程 212det().0pkpA LIALA LA L的根全在单位园外条件下，则 VAR(p)是可逆的，即可将ty表示成白噪声tu滑动和形式 ()ttyC L u 其中：120120()().,(kC LA LCC LC LCIk阶单位阵）由于()0tE u、ov()()tttCuE uuI（称为非正交化），故需要进行正交化变换。因是正定对称阵，故可以将其分解成 GQG 其中，G是一下三角阵，Q是唯一的一个主对角线上元素大于零的对角阵。利用G对tu作变换，1ttG uv，即 ttuGv 则 ov()()tttC

50、vE vvQ（为正交）这时有，()()tttyC L uC L Gv()tD B v 于是与（15.2.7）、（15.2.8）同理，可导出一个正交的脉冲响应函数为 ()/,0,1,2,.;1,2,.,qijit qjtdyvqtT （15.3.16）由jy的脉冲引起iy的累积响应函数为：()0qijqd （15.3.17）其中，()qijd是qD的第i行、第j列元素（(0,1,2,.)q。用矩阵可表示为 qD=/t qtyv （15.3.18）即qD 中的第i行、第j列元素等于时期t的第j变量扰动项增加一个单位，其它时期扰动项为常数时，对 时期tq的第i个变量值的影响。对于SVAR模型（153