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1、第 50 课圆锥曲线的定义在解题中的应用1.了解圆锥曲线的统一定义，能够运用定义求圆锥曲线的标准方程.2.理解圆锥曲线准线的意义，会利用准线进行相关的转化和计算.1.阅读：选修11 第 5253 页(理科阅读选修21 相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲线的统一定义，并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程.x2y2x2y22.解悟：写出圆锥曲线的统一定义，写出椭圆 1(ab0)和双曲线 1(a0，b0)a2b2a2b2的准线方程；椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？3.在教材上的空白处完成选修11 第 54 页练习第2 题(理科完成选修21 相应任务).基础诊断x2y21.点
2、P 在椭圆 1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 到左准259线的距离为253.解析：设椭圆的左，右焦点分别为 F，F，由题意知PF PF 2a10，PF 2PF，所以1202010 x2y24PF31PF，PF .因为椭圆 1 的离心率为e，所以点P 到左准线的距离d21332595e4525.321212x2y22.已知椭圆 1 上一点的横坐标为2，则该点到左焦点的距离是259335.x2y2c4解析：椭圆 1，则 a5，b3，c4，所以离心率e .由焦半径公式可得该点259a5433到左焦点的距离为ae5 2.5593.焦点在轴上，且一个焦点到渐近线的距离为 3，到相
3、应准线的距离为的双曲线的标准方5x2y2程为 1.1691x2y2b解析：设双曲线的方程为 1，焦点为(c，0)，(c，0)，渐近线方程为y，准线a2b2aa2方程为，由题意得焦点到渐近线的距离 dc2bcb3，所以b3.因为焦点到相a2b2c22bcca9，a4，xy9c5解得所以双曲线的标准方程为 1.应准线的距离为，所以有5169c a 9，c5，22x2y2FAF，4.已知椭圆 1(ab0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是F，若12122abF F，F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为12155.解析：设椭圆的半焦距为c，则 AF ac，F F 2c，F Bac.又因为
4、AF，F F，F B1c5为等比数列，所以(ac)(ac)4c2，即a25c2，所以椭圆的离心率e.a51211121范例导航考向用圆锥曲线统一定义求解问题x2y2例 1已知点A(2，1)在椭圆1 内，F 为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点P，使得PA16122PF 最小.1PF解析：如图，直线l 是椭圆的右准线，椭圆的离心率e，由圆锥曲线统一定义可知2PH1e，2所以PH2PF，所以PA2PFPAPH.过点A 作 AHl，垂足为H，交椭圆于点P，由图可知，当点P 在 P处时，PAPH 的值最小，233点 P的纵坐标为1，代入椭圆方程得其横坐标为，3233故所求点P 的坐标为，1.32y21已知点
5、A(3，0)，F(2，0)，在双曲线2 1 上求一点P，使得PA PF 最小.32解析：因为a1，b3，所以c2，离心率e2.PF11设点 P 到与焦点F(2，0)相应的准线的距离为d，则2，所以 PFd，所以PA PFd22PAd.问题转化为在双曲线上求点P，使点P 到定点A 的距离与到相应准线的距离和最小，即直线 PA 垂直于准线时符合题意，此时，点P 的坐标为(1，0).考向用圆锥曲线的统一定义求解简单的综合问题BB F 为等边三角形，12x2y2例 2B，B 是椭圆 1(ab0)的短轴端点，椭圆的右焦点为F，12a2b2点 F 到椭圆右准线l 的距离为1，求椭圆的方程.解析：因为BB
6、F 为正三角形，OFc，OB b，B Fa，12cOF3所以e cos30，aFB22c3，a2所以a2c1，c22a23，解得所以b3.c3，x2y2故所求椭圆方程为 1.123x2y2如图，在平面直角坐标系Oy 中，F、F 分别是椭圆 1(ab0)的左、右焦点，顶12a2b2点 B 的坐标为(0，b)，且 BF F 是边长为2 的等边三角形.12(1)求椭圆的方程；3(2)过右焦点F 的直线 l 与椭圆相交于A，C两点，记ABF，BCF 的面积分别为S，22S.若 S 2S，求直线l 的斜率.22112解析：(1)由题意得a2c2，b2a2c23，所求椭圆的方程为x24y231.(2)设点
7、B 到直线AC 的距离为h，由于S12S2，所以12AF12h22F2Ch，即AF22F2C，所以AF 2F C.22方法一：设A(1，y1)，C(2，y2).又 F(1，0)，则(1，y)2(1，y)，x2132x11222，即y1x2yy2.422221，由（332x）（2y）2 22 21，34解得x74，2y3528，35所以直线l 的斜率857.412方法二：由方法一知1322，设点A(，y)到椭圆x2114y231 右准线4 的距离为d，则所以AF112221，同理CF2222.AF12d2，4112由 AF 2F C，得2 2 x，2221221即 2.2217所以 (以下同方法
8、一).24方法三：椭圆的右准线为直线 4，分别过A，C 作准线的垂线，垂足分别为A，C，过 C 作 CHAA，垂足为H，如图所示.1由于，CCAA222CFAF又 AF 2F C，在RtCAH 中，2AC3F C，AH2F C，所以CH5F C，225所以tanCAH.2225根据椭圆的对称性知，所求直线的斜率为.2自测反馈y2x21.F、F 分别是双曲线 1 的左、右焦点，设P 是双曲线上的一点，且PF 16，1212016则点P 到双曲线右准线的距离为1616 或.3x2y2解析：在双曲线 1 中，因为a216，b220，所以c6，因为P 是双曲线上一点，162016322a2且PF 16
9、，所以点 P 到双曲线左准线的距离为d1.又因为左、右准线之间距离为1e33c2PF16162a2，所以点P 到双曲线右准线的距离为d16或.3c32.如果双曲线的两个焦点分别为F(3，0)，F(3，0)，一条渐近线方程为y2，那么它125的两条准线间的距离是2.a b 9，xya 3，解析：设双曲线的方程为 1(a0，b0)，则 有b解得所以两条准abb 6，a2，222222222a2线间的距离是2.cx2y23.已知点A(，y)在双曲线 1 的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2，则 20000432.x2y2c解析：双曲线 1，则 a2，b42，c6，所以右焦点 F(6，0)，离心率 3，将432a点 A(，y)代入双曲线方程，得y28232，所以AF（x 6）2y2（x 6）28x23202，解得 2.0000000004.若抛物线y24 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到 y 轴的距离是9.解析：由题意得抛物线的准线为 1.因为点 M 到焦点的距离为10，所以点 M 到准线1 的距离为10，所以M 到 y 轴的距离为9.1.在解题中遇到焦点时应主动考虑两种定义.2.要注意左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.3.你还有哪些体悟，写下;：67