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1、.-初二数学最短路径问题初二数学最短路径问题【问题概述】【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题-求图中所有的最短路径【问题原型】【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出
2、题背景】【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题十二个基本问题】【问题【问题 1 1】AlB作法作法连AB，与l交点即为PA图形图形原理原理PBl两点之间线段最短PA+PB最小值为AB在直线l上求一点P，使PA+PB值最小【问题【问题 2 2】“将军饮马”“将军饮马”ABl作法作法A作B关于l的对称点B 连图形图形原理原理BPBl两点之间线段最短A B，与l交点即为PPA+PB最小值为A B 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小【问题【问题 3 3】l1
3、作法作法P分别作点P关于两直线的图形图形l1原理原理Pl2对称点P和P，连PP ，与两直线交点即为M，NMPNPl2两点之间线段最短在直线l1、l2上分别求点PM+MN+PN的最小值为线段PP 的长M、N，使PMN的周长最小【问题【问题 4 4】l1QPl2作法作法Q图形图形l1QPNPl2原理原理分别作点Q、P关于直线l1、l2的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，NM两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP 的长在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小【问题【问题 5 5】“造桥选址”“造桥选址”作法作法图形图形原理原理-可修编.-AMNBmnA将点A向
4、下平移MN的长度单位得A，连AB，交n于点N，过N作NMm于MAMNB两点之间线段最短mn直线mn，在m、n，上分别求点M、N，使MNm，且AM+MN+BN的值最小AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题【问题 6 6】AB作法作法l图形图形A原理原理AB将点A向右平移a个长度单位得A，作A 关于l的对称点A，连AB，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得MMANMaNl两点之间线段最短在直线l上求两点M、N（M在左），使MN a，并使AM+MN+NB的值最小AM+MN+BN的最小值为A B+MN【问题【问题 7 7】l1Pl2作法作法P图形图形l1Pl2原理原理作点P关于l1的对称点点到
5、直线，垂线段最短P，作PBl2于B，交l2于AAB在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小PA+AB的最小值为线段PB的长【问题【问题 8 8】l1NAl2MBA为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上 求 点N，使AM+MN+NB的值最小作法作法图形图形B原理原理作点A关于l2的对称点l1ANMABl2A，作点B关于l1的对称点B，连AB 交l2于M，交l1于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长【问题【问题 9 9】ABl作法作法A图形图形原理原理垂直平分上的点到线段两B连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为PP端点的距离相等l在直线l上求一
6、点P，使PA PB的值最小最小PA PB0-可修编.-【问题【问题 1010】ABl作法作法A图形图形原理原理三角形任意两边之差小于作直线AB，与直线l的交点即为PB第三边PA PBABPl在直线l上求一点P，使PA PB的最大值ABPA PB的值最大最大【问题【问题 1111】AlB作法作法A图形图形原理原理三角形任意两边之差小于Bl作B关于l的对称点B 作直线A B，与l交点即为第三边PA PBAB PA PB最大值AB在直线l上求一点P，使PBPPA PB的值最大最大【问题【问题 1212】“费马点”“费马点”A作法作法所求点为“费马点”，即满足APBBPCD图形图形原理原理ABCABC
7、中每一内角都小于 120，在ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小APC120 以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求E两点之间线段最短PBCPA+PB+PC最小值CD【精品练习精品练习】1如图所示，正方形ABCD的面积为 12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）ADA2 3B2 6C3D6PEBC2 如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，ABC60，若将ACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC、CD交于点E、F，则CEF的周长的最小值为（）A2B2 3D4C23-可修编.-3四
8、边形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN的周长最小时，AMN+ANM的度数为（）A120B130C110D140BMCNAD4如图，在锐角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是5如图，RtABC中，C90，B30，AB6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且EDAE，则线段AE的取值 X 围是AEANBMDCCDB6如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中两
9、直角边的平方和等于斜边的平方，即RtABC中，C90，则有AC2 BC2 AB2）7如图，三角形ABC中，OABAOB15，点B在x轴的正半轴，坐标为B(6 3，0)OC平分AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MAMN的最小值是_-可修编.-8已知A（2，4）、B（4，2）C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，此时C、D两点的坐标分别为9已知A（1，1）、B（4，2）（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；（2）P为x轴上一动点，求PAPB的值最大时P点的坐标；OAyOAyyABOxBxBx（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD
10、1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；10点C为AOB内一点yBAOCDx（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE周长的最小值和此时DCE的度数ACOB-可修编.-11（1）如图，ABD和ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CFCD；（2）在ABC中，ABC30，AB6，BC8，A，C 均小于 120，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由AEFB图DABC图C12荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？-可修编.-可修编.