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1、.一、一、H H控制器的设计控制器的设计（一）（一）H H状态反馈控制器设计思路状态反馈控制器设计思路图 2-1 广义系统针对如上图所示的广义系统，P P(s)是一个线性时不变系统，其状态方程可以用下面的式子描述:Ax B11 B12uxz C1x D11 D12u2-1y C2x D21 D22u其中：xR Rn是状态向量，uR Rm是控制输入，yR Rp是测量输出，zR Rr是被调输出，R Rq是外部扰动。这里考虑在外部扰动不确定但能量有限的情况下，设计一个控制器u(s)K(s)y(s)，使得闭环系统满足：（1）闭环系统内部稳定；（2）从扰动到被调输出的传递函数满足下面的关系：Twz(s)
2、12-2满足这样性质的控制器称为系统的一个H控制器。通过将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个适当的常数，可以使得闭环系统具有给定的H性能，即使得Twz(s)的H控制问题转化为使得Twz(s)1的标准H控制问题。称具有给定H性能的H控制器为系统P P(s)的-次优H.控制器。进一步可以通过对的搜索，可以求取使得闭环系统的扰动抑制度最小化的控制器。对于上面给出的系统，令 D21、D22为零矩阵，C2为单位阵，那么就形成了一个状态反馈控制系统。对于这个系统，如果可以设计一个静态反馈控制器u(s)K(s)x(s)，使得系统闭环稳定，并且满足从扰动到被调输出的传递函数为：Twz(s)(C1 D12K)sI
3、(A B12)1B11 D1112-3那么，我们称这样的反馈控制器为系统P P(s)的一个状态反馈H控制律。定理定理对于系统P P(s)，存在一个状态反馈H控制器，当且仅当存在一个对称正定矩阵 X 和 W，使得以下矩阵不等式成立：AX B12W(AX B12W)TTB11C1X D12WB11 ID11(C1X D12W)TTD11 02-4 I成立，而且，如果上面的矩阵不等式存在一个可行解W*、X*，则有K W*(X*)1为系统的状态反馈H控制矩阵。对于次优控制问题，通产可以进行一下变换：-1Twz(s)Twz(s)12-5将原模型中的C1、D11、D12替换为1C1、1D11、1D12，则
4、得到新的状态反馈次优控制器对应的矩阵不等式：AX B12W(AX B12W)TTB11-1C1X D12WB11 I-1D11-1(C1X D12W)TT-1D11 02-6 I为了计算方便，在上式的左右两边分别乘以diagI,I,I，则得到如下式子：AX B12W(AX B12W)TTB11C1X D12WB11 ID11(C1X D12W)TTD11 02-72I求解该不等式即可得到系统状态反馈-次优H控制器 求解该不等式，即可得到系统状态反馈-次优H控制器。.这样，-次优H控制器存在的条件下（LMI 可解），通过建立和求解以下优化问题即可得到-次优H控制器:minAX B12W(AX B
5、12W)TTB11C1X D12WX 0B11ID11(C1X D12W)TTD11 02I下面利用状态反馈进行-次优H控制器的设计。（二）系统矩阵（二）系统矩阵下面给出系统的各个矩阵：00A 001001000110201 001180,B11,B1213 01202111323411421231122414C1,D1114,D1231244253C2 I,D21 0 0,D22 0 0（三）（三）仿真结果仿真结果仿真条件设置：系统的状态初值设置为：X00 0 0 0,时间间隔设置为0.01s，共仿真 10s，在 0.2 秒处施加一个2 1的扰动。设置 mincx 函数的解算精度为 1e-5
6、，计算得到系统的反馈控制矩阵：TT.在上面的仿真结果中，flag 同 EVP 问题中的 flag 一样，都是 X，W 是否是系统的解得标志。仿真结果中 flag 负定，说明 X,W 是系统的解。这样就求得了系统的状态反馈控制矩阵。下面给出闭环系统的仿真结果：0.060.050.040.030.020.010-0.01-0.020 x1x2x3x412345t/s678910图 2-2 0.2 秒处加入脉冲干扰后的系统状态变量的响应曲线当取sin(nT)cos(2nT)(T 0.01,20 n 50)时，仿真结果如下：T.0.50.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.50123456789x1x2x3x410图 2-3 0.2-0.5 秒加入正弦干扰后的系统状态变量的响应曲线当取=wgn(2,1,1)，即功率为 1 的白噪声时，仿真结果如下：0.3x1x2x3x40.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4012345678910图 2-4 在 0.2-0.5 秒加入高斯白噪声后的仿真结果从上面的仿真结果可以看出，对于不同的干扰信号，系统都可以回到稳定状态，证明系统是闭环稳定的。.