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1、20162016 届高三年级第二次模拟考试(一)数学本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，共计 7070 分1.已知集合 Ax|x1，xR R，则 AB_z2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 43i，则复数 z 的模为_i3.一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为_x2y24.在平面直角坐标系 xOy 中，已知方程1 表示双曲线，则实数 m 的取4m2m值范围为_5.为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2 天进行紧急疏散演练，则选择的 2 天恰好为连续 2
2、 天的概率是_6.执行如图所示的程序框图，输出的x 值为_(第 6 6 题图)(第 7 7 题图)7.7.如图，正方体 ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为 1 1，P P 是棱 BBBB1 1的中点，则四棱锥 PAAPAA1 1C C1 1C C的体积为_8.8.设数列a an n是首项为 1 1，公差不为零的等差数列，S Sn n为其前 n n 项和，若 S S1 1，S S2 2，S Sn n成等比数列，则数列a an n的公差为_x x2 24 49.9.在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设 MM 是函数 f f(x x)(x0 x0)的图象上任意一
3、点，过 MMx x点向直线 y yx x 和 y y 轴作垂线，垂足分别是A A，B B，则MAMAMBMB_10.10.若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为 mm，则实数 mm 的取值范围是_11.11.在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知过原点 O O 的动直线 l l 与圆 C C：x x2 2y y2 26x6x5 50 0相交于不同的两点A A，B B，若点 A A 恰为线段 OBOB 的中点，则圆心 C C 到直线 l l 的距离为_2 2x x 4x4x，0 0 x4x4，12.12.已知函数 f f(x x)若存在 x x1 1，x x2 2R R，当
4、0 x1OB.OAOB.现设计师在支架 OBOB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 MM，且 MM 与 OBOB 长成正比，比例系数为 k k(k k 为正常数)；在AOCAOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 N N，且 N N 与AOCAOC 的面积成正比，比例系数为 4 4 3k.3k.设 OAOAx x，OBOBy.y.(1 1)求 y y 关于 x x 的函数解析式，并写出x x 的取值范围；(2 2)求 N NMM 的最大值及相应的 x x 的值(第 1717 题图)18.18.(本小题满分 1616 分)3 3x x2 2y y2 21 11 1，离心率为.在平
5、面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C C：2 22 21 1(ab0ab0)过点 P P 2 2 a ab b2 2(1 1)求椭圆 C C 的方程；(2 2)设直线 l l 与椭圆 C C 交于 A A，B B 两点若直线 l l 过椭圆 C C 的右焦点，记ABPABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t t，求t t 的最大值；若直线 l l 的斜率为3 3，试探究 OAOA2 2OBOB2 2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若2 2不是定值，请说明理由19.19.(本小题满分 1616 分)设函数 f f(x x)x x2 2e ex xk k(x x2lnx2lnx)(k k
6、 为实常数，e e2.718 282.718 28是自然对数的底数)(1 1)当 k k1 1 时，求函数 f f(x x)的最小值；(2 2)若函数 f f(x x)在区间(0 0，4 4)内至在三个极值点，求k k 的取值范围20.20.(本小题满分 1616 分)5 52 22 2*已知首项为 1 1 的正项数列a an n满足 a an n1 1a an n a an n1 1a an n，n nN N.2 23(1)若 a2，a3x，a44，求 x 的取值范围；21(2)设数列an是公比为 q 的等比数列，Sn为数列an的前 n 项和若 SnSn1a 成立，求实数 a的取值范围【必做
7、题】第2222 题，第2323 题，每题1010 分，共计2020 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分 10 分)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2AD2，E 为 AB 的中点，F 为 D1E上的一点，D1F2FE.(1)证明：平面 DFC平面 D1EC；(2)求二面角 ADFC 的大小(第 2222 题图)23.23.(本小题满分 1010 分)在杨辉三角形中，从第 3 3 行开始，除 1 1 以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示(1 1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3 34 4
8、5 5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；r r1 1r r2 2(2 2)已知 n n，r r 为正整数，且 n nr r3.3.求证：任何四个相邻的组合数 C Cr rn n，C Cn n，C Cn n，3 3C Cr rn n不能构成等差数列(第 2222 题图)20162016 届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)数学参考答案一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，共计 7070 分21.1.(1，3)2.2.53.3.3204.4.(2，4)5.5.6.6.657.7.25613 63，13.13.(，8.8.29.9.210.10.(2，)1
9、1.11.12.12.27341，14.14.224二、解答题：本大题共6 6 小题，共计9090 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤215.15.解：(1)由题意知，f(x)3sin2xcos(2x)2sin2x，(4 分)333所以 f(x)的最小正周期为 T2.(6 分)22当2k2x2k(kZ Z)时，f(x)单调递增，2327解得 xk，k(kZ Z)，1212所以 f(x)的单调递增区间为7k，k(kZ Z)(8 分)121224(2)因为 x，所以2x，(10 分)333632当 2x，即 x时，f(x)取得最大值 2，(12 分)321224当 2x，即 x时，f(x)
10、取得最小值 3.(14 分)323116.16.证明：(1)取 PB 中点 E，连 EA，EN，PBC 中，ENBC 且 EN BC，又 AM21 AD，ADBC，ADBC，(3 分)2得 ENAM，ENAM，四边形 ENMA 是平行四边形，(5 分)得 MNAE，MN平面 PAB，AE平面 PAB，MN平面 PAB(7分)(2)过点 A 作 PM 的垂线，垂足为 H，平面 PMC平面 PAD，平面 PMC平面 PADPM，AHPM，AH平面 PAD，AH平面 PMC，AHCM.(10 分)PA平面 ABCD，CM平面 ABCD，PACM.(12 分)PAAHA，PA，AH平面 PAD，CM平
11、面 PAD，AD平面 PAD，CMAD.(14 分)17.17.解：(1)因为 OAx，OBx，ABy1，由余弦定理，x2y22xycos120(y1)2，x21解得 y，(3 分)2xx211 3由 x0，y0 得 1xy，得 x，解得 1x0，(5 分)431，所以 y1y26m9，y y，1 23m243m24y133y222所以 kAPkBPx11x2133y222my1my2y139y1y2（y1y2）2412my1y213 ，(7 分)m4132913所以 tkABkAPkBP2m8，(9 分)m4m6489所以当 m 时，t 有最大值.(10 分)364设直线 l 的方程为 y3
12、xn，直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，2y23xn，得 3x 2xy431，2223nx2n260，(2 3n)243(2n26)0，即 6n0)，x（x2）（exx2）可得 f(x)(2 分)x3因为当 x0 时，exx2.理由如下：要使 x0 时，exx2，只要 x2lnx，2x2设(x)x2lnx，(x)1，xx于是当 0 x2 时，(x)2 时，(x)0.即(x)x2lnx 在 x2 处取得最小值(2)22ln20，即 x0 时，x2lnx，所以 exx20，(5 分)于是当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0.所以函数 f(x)在(0，2)上
13、为减函数，(2，)上为增函数(6 分)e2所以 f(x)在 x2 处取得最小值 f(2)22ln2.(7 分)4(2)因为 f(x)e2k（x2）x2x（x2）（e kx）x3xx，ex当 k0 时，2k0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，(2，4)上单调递增，不存在三个极x值点，所以 k0.(8 分)又 f(x)e2k（x2）x2x（x2）（e kx）x3xx，e2（x2）ex令 g(x)2，得 g(x)，xx3易知 g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在 x2 处取得极小值，e2e4得 g(2)，且 g(4)，(10 分)416e2e4ex于是可得 yk 与 g(x)
14、2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k4，16.(12 分)xex设 yk 与 g(x)2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，则有 0 x12x24，x下面列表分析导函数 f(x)及原函数 f(x)：xx2exkx2f(x)f(x)(0，x1)递减x100极小值(x1，2)递增20e2k40极大值(2，x2)递减x200极小值(x2，4)递增42e4k16可知 f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增，所以 f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点(15 分)ee即函数 f(x)在(0，4)内存在三个极值
15、点的 k 的取值范围是4，16.(16 分)120.20.解：(1)由题意得，anan12an，(2 分)23x所以 x3，42x，解得 x(2，3)(4 分)421(2)由题意得，anan10，q1n1n2qq 2qn 1，2qn 1（q2）0，1 q2，2.(6 分)1又SnSn12Sn，而当 q1 时，S22S1不满足题意(7 分)21qn11qn1qn 1当 q1 时，1，q（q2）1，n（2q1）1，q1（2q1）1q241解得 q2，1；(9 分)当 q(1，2)时，n1q（q2）1，q（q2）1，q1（2q1）1，1 q2，1.(11 分)1(3)anan12an，且数列 a1，
16、a2，ak成等差数列，a11，211(n1)d1nd1，1，1，(13 分)dkd（2n）a 成立，等价于 f(x)g(x)的最大值大于 a，(2 分)因为 f(x)g(x)3x6 14x 3 x21 14x，(4 分)由柯西不等式：(3 x21 14x)2(31)(x214x)64，(7 分)所以 f(x)g(x)3x6 14x8，当且仅当 x10 时取“”，(9 分)故常数 a 的取值范围是(，8)(10 分)【必做题】第 2222 题，第 2323 题，每题 1010 分，共计 2020 分22.22.解：(1)以 D 为原点，分别以 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴
17、建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)E 为 AB 的中点，E 点坐标为 E(1，1，0)，D1F2FE，22422 D1F D1E(1，1，2)(，)，33333224，DFDD1D1F(0，0，2)3332223，3，3.(2 分)222DF0，n n3x3y3z0，设 n n(x，y，z)是平面 DFC 的法向量，则DC0，n n2y0，取 x1 得平面 FDC 的一个法向量 n n(1，0，1)，(3 分)D1F0，p p设 p p(x，y，z)是平面 ED1C 的法向量，则D1C0，p p2243x3y3z0，2y2z0
18、，取 y1 得平面 D1EC 的一个法向量 p p(1，1，1)，(4 分)nnp p(1，0，1)(1，1，1)0，平面 DFC平面 D1EC.(5 分)(2)设 q q(x，y，z)是平面 ADF 的法向量，则q qDF0，q qDA0，2223x3y3z0，取 y1 得平面 ADF 的一个法向量 q q(0，1，1)，(7 分)x0，设二面角 A-DF-C 的平面角为，由题中条件可知，2001nnq q1则 cos，(9 分)|q q|n n|22 2 二面角 A-DF-C 的大小为 120.(10 分)23.23.解：(1)杨辉三角形的第 n 行由二项式系数 Ckn，k0，1，2，n
19、组成1Ckk14k3Cknn如果第 n 行中有k，k1，Cnnk14Cnnk5即么 3n7k3，4n9k5，(2 分)解这个联立方程组，得 k27，n62.(3 分)26，C27，C28的比为 345.(4 分)即第 62 行有三个相邻的数 C626262r 1r2r3(2)若有 n，r(nr3)，使得 Crn，Cn，Cn，Cn成等差数列，r1CrCr2，2Cr2Cr1Cr3，则 2Cnnnnnn即2n！n！（r1）！（nr1）！r！（nr）！n！，（r2）！（nr2）！2n！n！n！.(6（r2）！（nr2）！（r1）！（nr1）！（r3）！（nr3）！分)所以有21（r1）（nr1）（nr1）（nr）1，（r1）（r2）21（r2）（nr2）（nr2）（nr1）1，（r2）（r3）经整理得到 n2(4r5)n4r(r2)20，n2(4r9)n4(r1)(r3)20.两式相减可得 n2r3，rr 1r 2r 3于是 C2r3，C2r3，C2r3，C2r3成等差数列，(8 分)r3r1r2而由二项式系的性质可知Cr2r3C2r3C2r3C2r3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立(10 分)