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1、数列求和方法总结1 1 直接求和直接求和适用于等差数列或等比数列的求和（指前n项和）问题,在四个量a1,d（或q）,n,an中,已知三个量时,可以求出Sn来,我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.等 差 数 列 前n项 和 公 式：已 知a1,n,an时,利 用 公 式Snna1 an求和；2已知a1,d,n时,利用公式Sn na1nn 1d求和.2等 比 数 列 前n项 和 公 式：已 知a1,n,q时,利 用 公 式a11qnSn(q 1)求和；1q已知a1,q,an时,利用公式Sna1 anq(q 1)求和.1 q1111例例 1 11n1.2482n1此式
2、可看为一个等比数列的前n项和,且此等比数列首项为1,公 比 为1,故 可 直 接 运 用 等 比 数 列 前n项 和 公 式2a1(1qn)Sn(q 1)求和.1q(1)n1n2(1)n21n.解解Sn13212例例 2 2 一个等差数列的前n项和等于m,前m项和等于n（其中 m n）,试求这个数列的前mn项和.根据等差数列前n项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项a1与公差d,然后运用Sn na1nn 1d求和.2解解 设这个数列的首项为a,公差为d,根据已知条件,有n(n1)na d m(1)2ma m(m1)d n(2)2mnd(n 1)(m1)=m2 n2.22(m n)因为n m,
3、所以d .mn1m2n得m2 mn n2 m n由此得a，mn于是,这个数列的前mn项和为Smnm na m nm n 1d2m2 mn n2mnn m1 2m nm nmn2mn m n.2 2 转化求和转化求和适用于不是等差数列或等比数列,不便直接求其前n项和的数列.倒序相加法倒序相加法将Sna1 a2 an与Snan an1 a1两式相加,如果得到一个常数列,其和为A,那么Sn例例时3 3,A.2已 知fx满 足x1,x2R,当x1 x21fx1 fx212,若1 2 n1Snf0 f f f f1,n N,求Sn.nnn由fx1 fx21知只要自变量x1 x21即成立,又知20111n
4、 11,则易求Sn.nn1 2 n1解解 因为Snf0 f f f f1,nnn n1所以Sn f1 f n1f f0.n+,得 1n12Snf0 f1f f f1 f0nn n1个 11111n1.所以Sn(n 1).42222错项相减法错项相减法如果数列anbn中的an和bn分别是等差数列和等比数列且等比数列公比为q(q 1),那么Sna1b1 a2b2 anbn与qSn a1b2 a2b3 anbn1两式“错项相减”可以求出Sn.例例 4 4 求和：12n 22n132n2 n2n 11.数列2n,2n1,2n2,2,1与1,2,3,n,n1分别是等比数列（q 和.解解令Sn12n 22
5、n132n2 n2n 11则11Sn 12n1 22n2(n 1)2 n1n 12211-,得Sn 2n 2n1 2n2 21n 1221 20 21 2n1 2nn 122n11n 12121）与等差数列（d 1）,可考虑用“错项相减法”求22n1则Sn2n2n 3.n3.223 3 裂项求和裂项求和将数列的每一项分裂成两项之差,如果求数列的前n项和时,除首尾若干项外,其余各项可以交叉相消.n个5 例例 6 6 求Sn 5555555555n个5n个9 5 5此数列an 5555(9999)(10n1)故知拆项后是一99个等比数列.n个5n个9 5 5解解 因为an 5555(9999)(10n1),99555(101)(1021)(10n1)9995(1010210n n)9所以Sn5 10(10n1)n910150(10n1)5n.819例例 7 7 求证1111131!42!53!102100!2此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此,需将数列的第k项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差.因为1k 111（k 1,2,100）(k 2)k!(k 2)!(k 1)!(k 2)!111131!42!53!102100!11111111)()()()(2!3!3!4!4!5!101!102!111.2!102!2所以