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1、排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列例i.，五人并排站成一排，如果，必须相邻且 B B 在 A A 的右边，则不同的排法有（ABCDEAB）A、60种答案：D.B、48种C、36种D、24种解析：把 A,BA,B 视为一人，且 B B 固定在 A A 的右边，则本题相当于4人的全排列，A：=24种，2.相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种
2、B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A2种，不同的排法种数是A5A2=3600种，选B B.3.定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法BCD例3.A，E五人并排站成一排，如果 B B 必须站在 A A 的右边（，可以不相邻）那么不同的排法有（）ABA、24种B、60种C、90种D、120种解析：B B 在 A A 的右边与 B B 在 A A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即1 15 5,_A_A=60=60 种，选 B B.2 24.标号排位问题分步法：
3、把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X 1=9种填法，选 B B.5.有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担
4、这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的中选1人承担丙项任务，不同的选法共有选 C C.C C120C C8C C=2520=2520 种，17人（2）C12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，）3c若每个路口4人，则不同的分配方案有（A、12c8C4种B、12c8C4种C、C142c84A种D、答案：A.6.全员分配问题分组法例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种?解析：把四名学生分成3组有 C C
5、2种方法，再把三组学生分配到三所学校有法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配)屋种，故共有 C C2A A33=36=36 种方(2)5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(A、480种B、240种C、120种答案：B.7.名额分配问题隔板法：D、96种例7:10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，种.故共有不同的分配方案为C；=848.限制
6、条件的分配问题分类法：例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案其中甲同学8种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A83方法，所以共有3A3；若乙参加而甲不参加同理也有有7种方法，然后再安排其余为A84+3A3+3履+7M=4088种.3A3种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，8人到另外两个城市有 解种，共有 7A7A2方法.所以共有不同的派遣方法总数9.多元问题分类法：元素多，取出的情况
7、也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，数字小于十位数字的共有(其中个位)A、210种B、300种C、464种解析：按题意，个位数字只可能是个，合并总计300个,选 B B.D、600种0,1,2,3,4共5种情况，分别有 A A5个，A4AA A3,A,A3A A3A A3,A,A2AA A3,AA,AA37整除，这两个数的取法(不7整除时，他们的乘积就能被7整除，将(2)从1,2,3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被计顺序)共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被这100个数组成的集
8、合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A=7,14,21,|”98共有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记 做A=1,2,3,4,|,100共有86个元素；由此可知，从 A A 中任取2个元素的取法有 C C，从 A A 中任取一个，又从 A A 中任取一个共有 CLCCLC86,两种情形共符合要求的取法有C C；4+C1C14C C86=12951295 种.(3)从1,2,3,，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？解析：将I=1,2,3 111,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A=4,8,12,|中00；能被4除余1的数集B=1，5,
9、9”97,能被4除余2的数集C=2,6,|,98,能被4除余3的数集D=3,7,11,|99,易见这四个集合中每一个有25个元素；从 A A 中任取两个数符合要；从 B,DB,D 中各取一个数也符合要求；从 C C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 C C25+C+C；5C C；5+C+C25种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A.B)=n(A n(B)-n(A-B)例10.从6名运动员中选出4人参加4X 100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种 不同的参赛方案？解析：设全集=6人中任
10、取4人参赛的排列,A=甲跑第一棒的排列,B=乙跑第四棒的排列,根据求 集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)-n(A)-n(B)n(A-B)=An(I)-n(A)-n(B)n(A-B)=A一尾一一尾一A5A=252中.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有种。.A A3种，4名同学在其余4个位置上有 A A4种方法；所以共有 封 4=724=7212.多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例
11、12.(1)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是(6个不同的元素排成一排，共)A A6=720=720 种，选 C C.A、36种B、120种C、720种D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排(2)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，2个，有A2种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 A A：种，其余5个元素任排5个位置上有 A A5种，故共有 A A4A A2A A5=57605760 种排法.13.“至少”“至多”问题用
12、间接排除法或分类法：例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙共有()型电视机各一台，则不同的取法A、140种B、80种C、70种D、35种解析1:逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C；-C：-C；=70种,选.C C解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同 的取法有C；C：+C5c2=70台，选C.14.选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有故共有C：A：=144种.再安排到一定的位置上，可用先取
13、后排法.例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？C C2种，再排：在四个盒中每次排3个有 A A3种,(2)9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有C5C：种，这四名运动员混和双打练习有 A A2中排法，故共有 C C；2C C42A A；=120=120 种.15.部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为 所求.例15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有()A、70种B、64种C、58种面都不能构成四面体，所以四面
14、体实际共有D、52种C；四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共C C；-12=58-12=58 个.)解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成(2)四面体的顶点和各棱中点共A、150种B、147种C、144种10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有(D、141种解析：10个点中任取4个点共有C140种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C4,四个面共有4c4个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是C C140-4C(-4C(4-3-6=141-3-6=141 种.16.圆排问
15、题单排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：自)|an；a,a3,a4,|n,an,|；an,a,|,an在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n!n!个元素的圆排列数有 上种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的 n-1n-1 元素全排列.n n例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有nA4种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和
16、右边，有2种方式，故不同的安排方式 2424 M M25=76825=768 种不同站法.说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有Anm种不同排法.m m17.可重复的排列求哥法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有 m mn种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7种不同方案，第二步：将第二名实习7 76种不同方案.18.复杂排列组合问题构造模型法：例
17、18.马路上有编号为1,2,3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.6盏亮货T的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；种方法，所以满足条件19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：例19.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从
18、5个球中取出2个与盒子对号有C2种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3,4,5号球与3,4,5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4,5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4,5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C；=20种.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：例20.(1)30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2X3X 5X 7X 11 X 13;依题意偶因数2必取，3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为C5C5 C C2C
19、；-C；C C5=32=32 个.(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有C C：-12=58-12=58 个，所以8个顶点可连成的异面直线有3X 58=174X.21.利用对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.(1)圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有c40个，所A A解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A A 到 B B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段;而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有C；种.