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1、排列组合问题经典题型与通用方法1. 相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60 种 B、48 种 C 、36 种 D 、24 种2. 相离问题插空排: 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种3. 定序问题缩倍法: 在排列问
2、题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻） 那么不同的排法有 （）A、24 种 B 、60 种 C、90 种 D 、120 种4. 标号排位问题分步法: 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例 4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A 、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种5. 有序分配问题逐分法: 有序分配问题指把元素分成
3、若干组，可用逐步下量分组法. 例 5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6. 全员分配问题分组法: 例 6. （1）4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5
4、 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480 种 B、240 种 C、120 种 D 、96 种7. 名额分配问题隔板法: 例 7：10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8. 限制条件的分配问题分类法: 例 8. 某高校从某系的10 名优秀毕业生中选4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例 9（1）由数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其
5、中个位数字小于十位数字的共有（）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D 、600 种（2）从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从 1，2，3， 100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有多少种？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 10. 交 叉 问 题 集 合 法 ： 某 些 排
6、列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集 ， 可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式()( )( )()n ABn An Bn AB例 10. 从 6 名运动员中选出4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11. 现 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12. 多排问题单排法: 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 12. （1）6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个
7、元素，那么不同的排法种数是（）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D 、1440 种（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排4 个元素，其中某2 个元素要排在前排，某1 个元素排在后排，有多少种不同排法？13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例 13. 从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（） A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种14. 选排问题先取后排: 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例 14. （1）四个不同球放入编号为1，2，3，4 的四个
8、盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9 名乒乓球运动员，其中男5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？15. 部分合条件问题排除法: 在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 例 15. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种（2）四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取4 个不共面的点，不同的取法共有（）A、150 种 B 、147 种 C 、144 种 D、141 种16. 圆排问题单排法: 把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的
9、排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：12323411,;,;,nnnna a aa a a aaa aaLLLL在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有!nn种 . 因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n元素全排列 . 例 16. 有 5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？17. 可重复的排列求幂法: 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法
10、. 例 17. 把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 18. 复杂排列组合问题构造模型法: 例 18. 马路上有编号为1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 19. 设有编号为1，2，3，4，5 的五个球和编号为1，2，3，
11、4，5 的盒子现将这5 个球投入5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 20. （1）30030 能被多少个不同偶数整除？（2）正方体8 个顶点可连成多少队异面直线？21. 利用对应思想转化法: 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理 . 例 21. （1）圆周上有10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？（2）某城市的街区有12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到 B的最短路径有多少种？22. 全错位排列问题公式法: 全错位排列问
12、题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用 A、 B、 C 表示写着n 位友人名字的信封， a、 b、 c表示 n 份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n) 。假设把 a 错装进 B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b 装入 A 里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b 无关，应有f(n-2) 种错装法。（2）b 装入 A、B 之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的）份信纸 b、c 装入（除 B 以外的） n1 个信封 A、C ，显然这时装错的方法有f(n-1) 种。总之在 a 装入 B 的错误之下，共有错装法f(n
13、-2)+f(n-1) 种。 a 装入 C，装入 D 的 n2 种错误之下，同样都有 f(n-2)+f(n-1) 种错装法，因此: 得到一个递推公式：f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2)，分别带入n=2 、3、4 等可推得结果。也可用迭代法推导出一般公式：)!1) 1(! 31!21! 111( !)(nnnfn排列组合问题经典题型与通用方法解析版名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 1. 相邻问题捆绑法:
14、题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1., ,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4 人的全排列，4424A种，答案：D. 2. 相离问题插空排: 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440 种B、3600 种C、4820 种D、4800 种解析：
15、除甲乙外， 其余 5 个排列数为55A种，再用甲乙去插6 个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A种，选B. 3. 定序问题缩倍法: 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻） 那么不同的排法有 （）A、24 种B、60 种C、90 种D、120 种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即551602A种，选B. 4. 标号排位问题分步法: 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此
16、继续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种解析：先把1 填入方格中，符合条件的有3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9 种填法，选B. 5. 有序分配问题逐分法: 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260
17、 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种解析：先从10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的7 人中选1 人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C种，选C. （2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种B、44412843C C C种C、4431283C C A种D、444128433C C CA种答案：A. 6. 全员分配问题分组法: 例 6.（1） 4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少
18、种？解析：把四名学生分成3 组有24C种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A种，故共有234336C A种方法 . 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480 种B、240 种C、120 种D、96 种答案：B. 7. 名额分配问题隔板法: 例 7： 10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
19、- - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解析： 10 个名额分到7 个班级，就是把10 个名额看成10 个相同的小球分成7 堆，每堆至少一个，可以在10 个小球的 9 个空位中插入6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种. 8. 限制条件的分配问题分类法: 例 8.某高校从某系的10 名优秀毕业生中选4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加， 则有派遣方案48A种；若甲参加而乙不参加，
20、先安排甲有3 种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；若乙参加而甲不参加同理也有383A种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7 种方法，然 后 再 安 排 其 余8人 到 另 外 两 个 城 市 有28A种 ， 共 有287A方 法 . 所 以 共 有 不 同 的 派 遣 方 法 总 数 为433288883374088AAAA种. 9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例 9（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210 种B、300 种C、464 种D
21、、600 种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有55A个，1131131131343333323333,A A AA A AA A AA A 个，合并总计300 个, 选B. （2）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析： 被取的两个数中至少有一个能被7 整除时， 他们的乘积就能被7 整除， 将这 100 个数组成的集合视为全集I, 能被7 整除的数的集合记做7,14,21,98AL共有14 个元素 , 不能被7 整除的数组成的集合记做1,2,3,4,100AL共有 86
22、个元素；由此可知， 从A中任取 2 个元素的取法有214C，从A中任取一个， 又从A中任取一个共有111486C C，两种情形共符合要求的取法有2111414861295CC C种. （3）从 1，2，3， 100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将1,2,3,100IL分成四个不相交的子集，能被4整除的数集4,8,12,100AL；能被 4 除余 1 的数集1,5,9,97BL，能被 4 除余 2 的数集2,6,98CL，能被 4 除余 3 的数集3,7,11,99DL，易见这四个集合中每一个有25 个元素；从A中任取两个数符合要；从,B D
23、中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525CC CC种. 10. 交 叉 问 题 集 合 法 ： 某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集 ， 可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式()( )( )()n ABn An Bn AB例 10.从 6 名运动员中选出4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6 人中任取 4 人参赛的排列 ，A=甲跑第一棒的排列 ，B=乙跑第四棒的排列 ，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
24、( )( )( )()n In An Bn AB43326554252AAAA种. 11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.现 1 名老师和4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4 名同学在其余4个位置上有44A种方法；所以共有143472A A种。. 12. 多排问题单排法: 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是（）A、36 种B、120 种C、720 种D、1
25、440 种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6 个不同的元素排成一排，共66720A种，选C. （2）8 个不同的元素排成前后两排，每排4 个元素，其中某2 个元素要排在前排，某1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2 个元素在前半段四个位置中选排2 个，有24A种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余5 个元素任排5 个位置上有55A种，故共有1254455760A A A种排法 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
26、 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例 13.从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140 种B、80 种C、70 种D、35 种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种, 选.C解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1 台乙型 2 台；甲型2 台乙型 1 台；故不同的取法有2112545470C CC C台, 选C. 14. 选排问题先取后排: 从几类元素中
27、取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例 14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C种，再排：在四个盒中每次排3 个有34A种，故共有2344144C A种. （2）9 名乒乓球运动员，其中男5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2 名，有2254C C种，这四名运动员混和双打练习有22A中排法， 故共有222542120C C A种. 15. 部分合条件问题排除法: 在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数
28、中减去不符合条件数，即为所求. 例 15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70 种B、64 种C、58 种D、52 种解析：正方体8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C四面体，但6 个表面和6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C个. （2）四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取4 个不共面的点，不同的取法共有（）A、150 种B、147 种C、144 种D、141 种解析： 10 个点中任取4 个点共有410C种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C，四个面共有464C个；过空间四边形各边中点的
29、平行四边形共3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6 个. 所以四点不共面的情况的种数是44106436141CC种. 16. 圆排问题单排法: 把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：12323411,;,;,nnnna a aa a a aaa aaLLLL在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有!nn种. 因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n元素全排列 . 例 16.有 5 对姐妹站
30、成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5 位姐姐站成一圈，属圆排列有44A种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有 2 种方式，故不同的安排方式5242768种不同站法 . 说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAm种不同排法 . 17. 可重复的排列求幂法: 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法 . 例 17.把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，
31、第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案 . 18. 复杂排列组合问题构造模型法: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 18.马路上有编号为1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入3 盏不亮的灯35C种方法
32、, 所以满足条件的关灯方案有 10 种. 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决. 19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 19.设有编号为1，2，3，4，5 的五个球和编号为1，2，3，4，5 的盒子现将这5 个球投入5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从5 个球中取出2 个与盒子对号有25C种，还剩下3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下 3， 4，5 号球与 3，4，5 号盒子时， 3 号球不能装入3 号盒子，当3 号球装入4
33、号盒子时， 4，5 号球只有1 种装法， 3 号球装入5 号盒子时， 4，5 号球也只有1 种装法，所以剩下三球只有2 种装法，因此总共装法数为25220C种. 20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 20.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030 分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数2 必取， 3，5，7，11，13这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为01234555555532CCCCCC个. （2）正方体8 个顶点可连成多少队异面直线？解析： 因为四面体中仅有3 对异面直线， 可将问题分解成正方体的8 个顶点可构成
34、多少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C个，所以8 个顶点可连成的异面直线有358=174 对. 21. 利用对应思想转化法: 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理 . 例 21.（1）圆周上有10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C个，所以圆周上有10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410C个. （2）某城市的街区有12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7 小段，其中：向东4 段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有47C种. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -