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1、专题专题 2828 新定义与阅读理解创新型问题【共新定义与阅读理解创新型问题【共 5050 道】道】一选择题（共一选择题（共 4 4 小题）小题）1（2020荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数 a，b，都有 a*b（a+b）（ab）1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3（4+3）（43）1716若 x*kx（k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（）A有一个实数根C有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根D没有实数根【分析】利用新定义得到（x+k）（xk）1x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用0 可判断方程根的情况【解析】x*kx（k 为实数）是关于
2、x 的方程，（x+k）（xk）1x，整理得 x2xk210，（1）24（k21）4k2+50，方程有两个不相等的实数根故选：C2（2020枣庄）对于实数 a、b，定义一种新运算“”为：ab=如：13=Ax412，这里等式右边是实数运算例1122=8则方程 x（2）=41 的解是（）13Bx5Cx6Dx7【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可【解析】根据题意，得14=241，去分母得：12（x4），解得：x5，经检验 x5 是分式方程的解故选：B3（2020潍坊）若定义一种新运算：ab=(2)，例如：31312；545+463 则+6(2)函数 y（x+2）（x1）的图象大致是（）第1
3、 1页/共8484页页ABCD (2)【分析】根据 ab=，可得当 x+22（x1）时，x4，分两种情况：当 x4 时和+6(2)当 x4 时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论【解析】当 x+22（x1）时，x4，当 x4 时，（x+2）（x1）（x+2）（x1）x+2x+13，即：y3，当 x4 时，（x+2）（x1）（x+2）+（x1）6x+2+x162x5，即：y2x5，k20，当 x4 时，y2x5，函数图象向上，y 随 x 的增大而增大，综上所述，A 选项符合题意故选：A4（2020长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其
4、中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间 t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：pat2+bt+c（a0，a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）第2 2页/共8484页页A3.50 分钟B4.05 分钟C3.75 分钟D4.25 分钟【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系 pat2+bt+c 中，可得函数关系式为：p0.2t2+1.5t1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，
5、求出即可得结论【解析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系 pat2+bt+c 中，9+3+=0.816+4+=0.9，25+5+=0.6=0.2解得 =1.5，=1.9所以函数关系式为：p0.2t2+1.5t1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=2=2(0.2)=3.75，则当 t3.75 分钟时，可以得到最佳时间故选：C二填空题（共二填空题（共 1111小题）小题）5（2020临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线
6、外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以 1 为半径的圆的距离为5 11.5第3 3页/共8484页页【分析】连接 AO 交O 于 B，则线段 AB 的长度即为点 A（2，1）到以原点为圆心，以1 为半径的圆的距离，根据勾股定理即可得到结论【解析】连接 AO 交O 于 B，则线段 AB 的长度即为点 A（2，1）到以原点为圆心，以 1 为半径的圆的距离，点 A（2，1），OA=22+12=5，OB1，AB=5 1，即点 A（2，1）到以
7、原点为圆心，以1 为半径的圆的距离为5 1，故答案为：5 16（2020十堰）对于实数 m，n，定义运算 m*n（m+2）22n若 2*a4*（3），则 a13【分析】根据给出的新定义分别求出2*a 与 4*（3）的值，根据 2*a4*（3）得出关于 a 的一元一次方程，求解即可【解析】m*n（m+2）22n，2*a（2+2）22a162a，4*（3）（4+2）22（3）42，2*a4*（3），162a42，解得 a13，故答案为：13第4 4页/共8484页页+7（2020青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：ab=那么 1242【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计
8、算即可【解析】124=故答案为：212+4124，如：32=3+232=5，=28（2020湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式纵式横式|123456789表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空示例如图：，则表示的数是9167【分析】根据算筹计数法来计数即可【解析】根据算筹计数法，故答案为：91679（2020长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌
9、数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A 同学拿出二张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学请你确定，最终 B 同学手中剩余的扑克牌的张数为7【分析】本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x 张，解答时依题意列出算式，求出答案【解析】设每人有牌 x 张，B 同学从 A 同学处拿来二张扑克牌，又从C 同学处拿来三张扑克牌后，则 B 同学有（x+2+3）张牌，A 同学有（x2）张牌，第5 5页/共8484页页表示的数是：9167那么给 A 同学后 B 同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3
10、（x2）x+5x+27故答案为：710（2020常德）阅读理解：对于x3（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3（n2+1）x+nx3n2xx+nx（x2n2）（xn）x（xn）（x+n）（xn）（xn）（x2+nx1）理解运用：如果 x3（n2+1）x+n0，那么（xn）（x2+nx1）0，即有 xn0 或 x2+nx10，因此，方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是方程 x3（n2+1）x+n0 的解解决问题：求方程 x35x+20 的解为x2 或 x1+2或 x12【分析】将原方程左边变形为x34xx+20，再进一步因式分解得（x2）x（x+2）10，据
11、此得到两个关于 x 的方程求解可得【解析】x35x+20，x34xx+20，x（x24）（x2）0，x（x+2）（x2）（x2）0，则（x2）x（x+2）10，即（x2）（x2+2x1）0，x20 或 x2+2x10，解得 x2 或 x12，故答案为：x2 或 x1+2或 x1211（2020衢州）定义 aba（b+1），例如 232（3+1）248则（x1）x 的结果为x21【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可【解析】根据题意得：（x1）x（x1）（x+1）x21故答案为：x2112（2020枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它
12、的面积 S 可用公式 Sa+b1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S612第6 6页/共8484页页【分析】分别统计出多边形内部的格点数a 和边界上的格点数 b，再代入公式Sa+2b1，即可得出格点多边形的面积【解析】a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积，a4，b6，该五边形的面积 S4+616，故答案为：613（2020荆州）我们约定：（a，b，c）为函数 yax2+bx+c 的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交
13、点”若关联数为（m，m2，2）的函数图象与 x 轴有两个整交点（m 为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）或（0，2）【分析】根据题意令 y0，将关联数（m，m2，2）代入函数 yax2+bx+c，则有 mx2+（m2）x+20，利用求根公式可得 m，将 m 代入可得函数图象与 x 轴的交点坐标；令 x0，可得 yc2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）【解析】根据题意，令y0，将关联数（m，m2，2）代入函数yax2+bx+c，则有mx2+（m2）x+20，（m2）242m（m2）20，mx2+（m2）x+20 有两个根，+2(2)8由求根公式可得 x=221
14、12x=+2|2|2+2+(2)=1，此时 m 为不等于 0 的任意数，不合题意；2+2+24=，当 m1 或 2 时符合题意；x22 或 1；22+2+24=，当 m1 或 2 时符合题意；x32 或 1；22+22+=1，此时 m 为不等于 0 的任意数，不合题意；2x1=x2=x3=x4=所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；第7 7页/共8484页页令 x0，可得 yc2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）14（2020乐山）我们用符号x表示不大
15、于 x 的最大整数例如：1.51，1.52那么：（1）当1x2 时，x 的取值范围是0 x3；（2）当1x2 时，函数yx22ax+3 的图象始终在函数 yx+3 的图象下方则实数a 的范围是 1或【分析】（1）根据x表示不大于 x 的最大整数，解决问题即可（2）由题意，构建不等式即可解决问题【解析】（1）由题意1x2，0 x3，故答案为 0 x3（2）由题意：当1x2 时，函数 yx22ax+3 的图象始终在函数 yx+3 的图象下方，则有 x1 时，1+2a+31+3，解得 a1，或 x2 时，42a+31+3，解得 a，故答案为 a1 或 a215（2020泰州）以水平数轴的原点O 为圆
16、心，过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转 30、60、90、330得到 11 条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B 的坐标分别表示为（5，0）、（4，300），则点 C 的坐标表示为（3，240）33232【分析】直接利用坐标的意义进而表示出点C 的坐标【解析】如图所示：点C 的坐标表示为（3，240）第8 8页/共8484页页故答案为：（3，240）三解答题（共三解答题（共 3535 小题）小题）16（2020湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心（1）特例感知：如图（一），已知边长为 2 的等边ABC 的重心为点 O，求OBC
17、与ABC 的面积（2）性质探究：如图（二），已知ABC 的重心为点 O，请判断别求出这两个定值；如果不是，请说明理由（3）性质应用：如图（三），在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，连接 BE 交对角线 AC 于点 M若正方形 ABCD 的边长为 4，求 EM 的长度；若 SCME1，求正方形 ABCD 的面积【分析】（1）连接 DE，利用相似三角形证明式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）证明CMEABM，得、是否都为定值？如果是，分=，运用勾股定理求出 AD 的长，运用三角形面积公21=，再运用勾股定理求出BE 的长即可解决问题；21分别求出 SBMC和 SABM即可
18、求得正方形 ABCD 的面积【解析】（1）连接 DE，如图，点 O 是ABC 的重心，AD，BE 是 BC，AC 边上的中线，D，E 为 BC，AC 边上的中点，DE 为ABC 的中位线，DEAB，DE=2AB，ODEOAB，1=，21第9 9页/共8484页页AB 2，BD 1，ADB 90，AD=3，OD=33，=332=223=3，=2=232=3；（2）由（1）可知，1=2，是定值；点 O 到 BC 的距离和点 A 到 BC 的距离之比为 1：3，则OBC 和ABC 的面积之比等于点O 到 BC 的距离和点 A 到 BC 的距离之比，故1=3，是定值；（3）四边形 ABCD是正方形，C
19、D AB，AB BC CD 4，CME AMB，=，E 为 CD 的中点，=12=2，=2+2=2 5，=12，=13，即=23 5；SCME1，且=12，SBMC2，=12，=(1)2=4，SAMB4，SABCSBMC+SABM2+46，又 SADCSABC，SADC6，第1010页/共8484页页正方形 ABCD 的面积为：6+61217（2020徐州）我们知道：如图，点B 把线段 AC 分成两部分，如果的黄金分割点它们的比值为512=，那么称点B 为线段 AC（1）在图中，若 AC20cm，则 AB 的长为（10510）cm；（2）如图，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正
20、方形ABCD 得折痕 EF，连接CE，将CB 折叠到 CE 上，点 B 对应点 H，得折痕 CG试说明：G 是 AB 的黄金分割点；（3）如图，小明进一步探究：在边长为 a 的正方形 ABCD 的边 AD 上任取点 E（AEDE），连接 BE，作 CFBE，交 AB 于点 F，延长 EF、CB 交于点 P他发现当 PB 与 BC 满足某种关系时，E、F 恰好分别是 AD、AB 的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由【分析】（1）由黄金分割点的概念可得出答案；（2）延长 EA，CG 交于点 M，由折叠的性质可知，ECMBCG，得出EMCECM，则 EMEC，根据勾股定理求出 CE 的长，由锐角
21、三角函数的定义可出tanBCG=得出答案；（3）证明ABEBCF（ASA），由全等三角形的性质得出BFAE，证明AEFBPF，得出则可得出答案【解析】（1）点 B 为线段 AC 的黄金分割点，AC20cm，AB=5151，即=251，则可2=，220（10510）cm第1111页/共8484页页故答案为：（105 10）（2）延长 EA，CG 交于点 M，四边形 ABCD 为正方形，DMBC，EMCBCG，由折叠的性质可知，ECMBCG，EMCECM，EMEC，DE10，DC20，EC=2+2=102+202=105，EM105，DM105+10，tanDMC=20=105+10=25+1=5
22、12tanBCG=512，即=512，=512，G 是 AB 的黄金分割点；（3）当 BPBC 时，满足题意理由如下：四边形 ABCD 是正方形，ABBC，BAECBF90，BECF，ABE+CBF90，又BCF+BFC90，第1212页/共8484页页BCFABE，ABEBCF（ASA），BFAE，ADCP，AEFBPF，=，当 E、F 恰好分别是 AD、AB 的黄金分割点时，AEDE，=，BFAE，ABBC，=，BPBC18（2020株洲）如图所示，OAB 的顶点 A 在反比例函数 y=（k0）的图象上，直线 AB 交 y 轴于点C，且点 C 的纵坐标为 5，过点 A、B 分别作 y 轴的
23、垂线 AE、BF，垂足分别为点 E、F，且 AE1（1）若点 E 为线段 OC 的中点，求 k 的值；（2）若OAB 为等腰直角三角形，AOB90，其面积小于 3求证：OAEBOF；把|x1x2|+|y1y2|称为 M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ 距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值第1313页/共8484页页【分析】（1）由点 E 为线段 OC 的中点，可得 E 点坐标为(0，2)，进而可知 A 点坐标为：(1，2)，代入解析式即可求出 k；（2）由OAB 为等腰直角三角形，可得 AOOB，再根据同角的余角相等可证AOEFBO，由AAS 即可证明OAE
24、BOF；由“ZJ 距离”的定义可知d（M，N）为MN 两点的水平离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）BF+CF，即只需求出B 点坐标即可，设点A（1，m），由OAEBOF 可得 B（m，1），进而代入直线 AB 解析式求出 k 值即可解答【解析】（1）点 E 为线段 OC 的中点，OC5，=2=2，即：E 点坐标为(0，2)，又AEy 轴，AE1，(1，)，=1 2=2（2）在OAB 为等腰直角三角形中，AOOB，AOB90，AOE+FOB90，又BFy 轴，FBO+FOB90，AOEFBO，在OAE 和BOF 中，555215555第1414页/共8484页页=90，OAEBOF（
25、AAS），解：设点 A 坐标为（1，m），OAEBOF，BFOEm，OFAE1，B（m，1），设直线 AB 解析式为：lAB：ykx+5，将 AB 两点代入得：+5=则+5=1=32=2解得1，1=22=3当 m2 时，OE2，=5，=23，符合；d（A，C）+d（A，B）AE+CE+（BFAE）+（OE+OF）1+CE+OE1+OE+11+CE+2OE1+CO+OE1+5+28，当 m3 时，OE3，=10，SAOB53，不符，舍去；综上所述：d（A，C）+d（A，B）819（2020宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角
26、（1）如图 1，E 是ABC 中A 的遥望角，若A，请用含 的代数式表示E=，四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连（2）如图 2，四边形 ABCD 内接于O，结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E求证：BEC 是ABC 中BAC 的遥望角（3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径求AED 的度数；若 AB8，CD5，求DEF 的面积5第1515页/共8484页页【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出FDC+FBC90，得出FDEFBC，证得ABFFBC，证出ACDDCT，则 CE 是ABC 的外角平分线，
27、可得出结论；（3）连接 CF，由条件得出BFCBAC，则BFC2BEC，得出BECFAD，证明FDEFDA（AAS），由全等三角形的性质得出 DEDA，则AEDDAE，得出ADC90，则可求出答案；过点A作AGBE于点G，过点F作FMCE于点M，证得EGAADC，得出5=，求出=，54设 AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2，解得 x=3，求出 ED，CE 的长，求出 DM，由等腰直角三角形的性质求出 FM，根据三角形的面积公式可得出答案【解析】（1）BE 平分ABC，CE 平分ACD，EECDEBD=2（ACDABC）=2=2，（2）如图 1，延长 BC 到点 T，111四边形
28、 FBCD 内接于O，FDC+FBC180，又FDE+FDC180，FDEFBC，第1616页/共8484页页DF 平分ADE，ADFFDE，ADFABF，ABFFBC，BE 是ABC 的平分线，=，ACDBFD，BFD+BCD180，DCT+BCD180，DCTBFD，ACDDCT，CE 是ABC 的外角平分线，BEC 是ABC 中BAC 的遥望角（3）如图 2，连接 CF，BEC 是ABC 中BAC 的遥望角，BAC2BEC，BFCBAC，BFC2BEC，BFCBEC+FCE，BECFCE，FCEFAD，BECFAD，又FDEFDA，FDFD，FDEFDA（AAS），第1717页/共848
29、4页页DEDA，AEDDAE，AC 是O 的直径，ADC90，AED+DAE90，AEDDAE45，如图 3，过点 A 作 AGBE 于点 G，过点 F 作 FMCE 于点 M，AC 是O 的直径，ABC90，BE 平分ABC，FACEBC=12ABC45，AED45，AEDFAC，FEDFAD，AEDFEDFACFAD，AEGCAD，EGAADC90，EGAADC，=，在 RtABG 中，AG=22=42，在 RtADE 中，AE=2AD，242=5，第1818页/共8484页页=，54在 RtADC 中，AD2+DC2AC2，设 AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2，x=，E
30、DAD=3，CECD+DE=35，32053BECFCE，FCFE，FMCE，EM=CE=1235，65DMDEEM=6，FDM45，FMDM=，SDEF=DEFM=122595620（2020陕西）问题提出（1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，ACB 的平分线交 AB 于点 D过点 D 分别作DEAC，DFBC垂足分别为 E，F，则图 1 中与线段 CE 相等的线段是CF、DE、DF问题探究上一点，且，连接 AP，BPAPB 的平=2（2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB8P 是分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CEAP，CFBP，垂足分别为 E，F，求线
31、段 CF 的长问题解决（3）如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知O 的直径 AB70m，点 C 在O 上，且 CACBP 为 AB 上一点，连接 CP 并延长，交O 于点 D连接 AD，BD过点 P 分别作 PEAD，PFBD，垂足分别为 E，F按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区设AP 的长为 x（m），阴影部分的面积为 y（m2）求 y 与 x 之间的函数关系式；按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 AP 的长度为 30m 时，整体布局比较合理 试求当 AP30m第1919页/共8484页页时室内活动区（四边形PEDF
32、）的面积【分析】（1）证明四边形 CEDF 是正方形，即可得出结果；，=2（2）连接 OP，由 AB 是半圆 O 的直径，得出APB90，AOP60，则ABP30，同（1）得四边形PECF 是正方形，得PFCF，在RtAPB 中，PBABcosABP43，在RtCFB中，BF=3CF，推出 PBCF+BF，即可得出结果；（3）同（1）得四边形 DEPF 是正方形，得出 PEPF，APE+BPF90，PEAPFB90，将APE 绕点 P 逆时针旋转 90，得到APF，PAPA，则 A、F、B 三点共线，APEAPF，证APB90，得出 SPAE+SPBFSPAB=PAPB=x（70 x），在 R
33、tACB 中，ACBC352，SACB=AC21225，由 ySPAB+SACB，即可得出结果；当 AP30 时，AP30，PB40，在RtAPB 中，由勾股定理得AB=2+2=50，由SAPB121212=ABPF=PBAP，求 PF，即可得出结果1212【解析】（1）ACB90，DEAC，DFBC，四边形 CEDF 是矩形，CD 平分ACB，DEAC，DFBC，DEDF，四边形 CEDF 是正方形，CECFDEDF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接 OP，如图 2 所示：，=2AB 是半圆 O 的直径，APB90，AOP=318060，ABP30，第2020页/共8484页页1同（1
34、）得：四边形 PECF 是正方形，PFCF，在 RtAPB 中，PBABcosABP8cos30832=43，在 RtCFB 中，BF=30=3=3CF，3PBPF+BF，PBCF+BF，即：43=CF+3CF，解得：CF623；（3）AB 为O 的直径，ACBADB90，CACB，ADCBDC，同（1）得：四边形 DEPF 是正方形，PEPF，APE+BPF90，PEAPFB90，将APE 绕点 P 逆时针旋转 90，得到APF，PAPA，如图 3 所示：则 A、F、B 三点共线，APEAPF，APF+BPF90，即APB90，S11PAE+SPBFSPAB=2PAPB=2x（70 x），在
35、 RtACB 中，ACBC=22AB=2270352，S1AC2=1ACB=22（352）21225，yS11PAB+SACB=2x（70 x）+1225=2x2+35x+1225；当 AP30 时，AP30，PBABAP703040，在 RtAPB 中，由勾股定理得：AB=2+2=302+402=50，S11APB=2ABPF=2PBAP，150PF=1224030，解得：PF24，S四边形PEDFPF2242576（m2），第2121页/共8484页页当 AP30m 时室内活动区（四边形PEDF）的面积为 576m221（2020咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）
36、若四边形 ABCD 是对余四边形，则A 与C 的度数之和为90或 270；证明：（2）如图 1，MN 是O 的直径，点 A，B，C 在O 上，AM，CN 相交于点 D求证：四边形 ABCD 是对余四边形；探究：（3）如图 2，在对余四边形 ABCD 中，ABBC，ABC60，探究线段 AD，CD 和 BD 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；（2）由圆周角定理得出BAM+BCN90，即BAD+BCD90，即可得出结论；（3）对余四边形的定义得出ADC30，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAF，连接 FD，则BCDBAF，FBD60，
37、得出 BFBD，AFCD，BDCBFA，则BFD 是等边三角形，得出 BFBDDF，易证BFA+ADB30，由FBD+BFA+ADB+AFD+ADF180，得出第2222页/共8484页页AFD+ADF90，则FAD90，由勾股定理即可得出结果【解答】（1）解：四边形 ABCD 是对余四边形，A+C90或A+C36090270，故答案为：90或 270；（2）证明：MN 是O 的直径，点 A，B，C 在O 上，BAM+BCN90，即BAD+BCD90，四边形 ABCD 是对余四边形；（3）解：线段 AD，CD 和 BD 之间数量关系为：AD2+CD2BD2，理由如下：对余四边形 ABCD 中，
38、ABC60，ADC30，ABBC，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAF，连接 FD，如图 3 所示：BCDBAF，FBD60BFBD，AFCD，BDCBFA，BFD 是等边三角形，BFBDDF，ADC30，ADB+BDC30，BFA+ADB30，FBD+BFA+ADB+AFD+ADF180，60+30+AFD+ADF180，AFD+ADF90，FAD90，AD2+AF2DF2，AD2+CD2BD2第2323页/共8484页页22（2020北京）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB1给出如下定义：平移线段AB，得到O 的弦 AB（A，B分别为点 A
39、，B 的对应点），线段AA长度的最小值称为线段 AB 到O 的“平移距离”（1）如图，平移线段AB得到O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2P3P4；在点 P1，P2，P3，P4中，连接点 A 与点P3的线段的长度等于线段AB 到O 的“平移距离”；（2）若点 A，B 都在直线 y=3x+23上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d1，求 d1的最小值；（3）若点 A 的坐标为（2，），记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d2，直接写出 d2的取值范围23【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB 到O 的“平移距离”的定义判断即可（2）如图1 中，作等边OE
40、F，点E 在 x 轴上，OEEFOF1，设直线y=3x+23交 x 轴于 M，交y 轴于 N则 M（2，0），N（0，23），过点 E 作 EHMN 于 H，解直角三角形求出EH 即可判断（3）如图 2 中，以 A 为圆心 1 为半径作A，作直线 OA 交O 于 M，交A 于 N，以 OA，AB 为邻边构造平行四边形 ABDO，以 OD 为边构造等边ODB和等边OBA，则 ABAB，AA的长即为线段 AB 到O 的“平移距离”，点 A与 M 重合时，AA的值最小，当点 B 与 N 重合时，AA的长最大，如图 3 中，过点 A作 AHOA 于 H解直角三角形求出 AA即可第2424页/共8484
41、页页【解析】（1）如图，平移线段 AB 得到O 的长度为 1 的弦 P1P2和 P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2P3P4；在点 P1，P2，P3，P4中，连接点 A 与点 P3的线段的长度等于线段AB 到O 的“平移距离”故答案为：P1P2P3P4，P3（2）如图 1 中，作等边OEF，点 E 在 x 轴上，OEEFOF1，设直线 y=3x+23交 x 轴于 M，交 y 轴于 N则 M（2，0），N（0，23），过点 E 作 EHMN 于 H，OM2，ON23，tanNMO=3，NMO60，EHEMsin60=2，观察图象可知，线段 AB 到O 的“平移距离”为 d1的最小值为323（
42、3）如图 2 中，以 A 为圆心 1 为半径作A，作直线 OA 交O 于 M，交A 于 N，以 OA，AB 为邻边构造平行四边形ABDO，以 OD 为边构造等边ODB，等边OBA，则 ABA第2525页/共8484页页B，AA的长即为线段 AB 到O 的“平移距离”，当点 A与 M 重合时，AA的值最小，最小值OAOM=531=，22当点 B 与 N 重合时，AA的长最大，如图 3 中，过点 A作 AHOA 于 H由题意 AH=2，AH=2+2=3，AA的最大值=(d22223（2020怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）平行四边形
43、；矩形；菱形；正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，ADBC，ACBD，过点D 作 BD 垂线交 BC 的延长线于点 E，且DBC45，证明：四边形ABCD 是垂等四边形（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半应用：在图 2 中，面积为 24 的垂等四边形 ABCD 内接于O 中，BCD60求O 的半径33933152)2+32=392，【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED 是平行四边形，即可得到ACDE，再根据等腰直角三角形的性第2626页/共8484页页质即可得到结果；（3）过点O 作 OE
44、BD，根据面积公式可求得BD 的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到O 的半径【解析】（1）平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：；（2）ACBD，EDBD，ACDE，又ADBC，四边形 ADEC 是平行四边形，ACDE，又DBC45，BDE 是等腰直角三角形，BDDE，BDAC，又BDAC，四边形 ABCD 是垂等四边形；（3）如图，过点 O 作 OEBD，四边形 ABCD 是垂等四边形，ACBD，又垂等四边形的面积是24
45、，12ACBD24，第2727页/共8484页页解得，ACBD43，又BCD60，DOE60，设半径为 r，根据垂径定理可得：在ODE 中，ODr，DE=23，r=60=233=4，2O 的半径为 424（2020常州）如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为H，且交I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之间）我们把点P 称为I 关于直线 a 的“远点“，把PQPH 的值称为I 关于直线 a 的“特征数”（1）如图2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（0，4）半径为 1 的O 与两坐标轴交于点 A、B、C、D过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m，则O
46、 关于直线 m 的“远点”是点D（填“A”“B”、“C”或“D”），O 关于直线 m 的“特征数”为20；若直线 n 的函数表达式为 y=3x+4求O 关于直线 n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 经过点 M（1，4），点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作F若F 与直线 1 相离，点 N（1，0）是F 关于直线 1 的“远点”且F 关于直线 l 的“特征数”是 45，求直线 l 的函数表达式【分析】（1）根据远点，特征数的定义判断即可如图 11 中，过点O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P解直角三角形求出PH，PQ 的长即可解决问题（2）如图 2
47、1 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b分两种情形 k0 或 k0，分别求解即可解决问题第2828页/共8484页页【解析】（1）由题意，点D 是O 关于直线 m 的“远点”，O 关于直线 m 的特征数DBDE2520，故答案为 D，20如图 11 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P设直线 y=3x+4 交 x 轴于 F（433，0），交 y 轴于 E（0，4），OE4，OF=433tanFEO=3=3，FEO30，OH=12OE2，PHOH+OP3，O 关于直线 n 的“特征数”PQPH236（2）如图 21 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b第2929页/共84
48、84页页当 k0 时，过点 F 作 FH直线 l 于 H，交F 于 E，N由题意，EN22，ENNH45，NH=10，N（1，0），M（1，4），MN=22+42=25，HM=2 2=20 10=10，MNH 是等腰直角三角形，MN 的中点 K（0，2），KNHKKM=5，H（2，3），+=4把 H（2，3），M（1，4）代入 ykx+b，则有，2+=3=3，解得11=31直线 l 的解析式为 y=3x+3，当 k0 时，同法可知直线i 经过 H（2，1），可得直线 l 的解析式为 y3x+7综上所述，满足条件的直线l 的解析式为 y=3x+3或 y3x+725（2020连云港）（1）如图 1
49、，点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点，过点 P 作 EFBC，分别交 AB、CD 于点 E、F若 BE2，PF6，AEP 的面积为 S1，CFP 的面积为 S2，则 S1+S212；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在 BD 上），点E、F、G、H 分别为各边的中点设四边形AEPH 的面积为 S1，四边形 PFCG 的面积为 S2（其中 S2S1），求PBD 的面积（用含 S1、S2的代数式表示）；（3）如图 3，点 P 为ABCD 内一点（点 P 不在 BD 上），过点 P 作 EFAD，HGAB，与各边分别相交于点 E、F、G、H设四边形AEPH 的面积为 S1，
50、四边形PGCF 的面积为 S2（其中 S2S1），求PBD的面积（用含 S1、S2的代数式表示）；（4）如图 4，点 A、B、C、D 把O 四等分请你在圆内选一点 P（点 P 不在 AC、BD 上），设 PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为S2，PBD 的面积为 S3，PAC的面积为 S4，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）111111第3030页/共8484页页【分析】（1）如图 1 中，求出PFC 的面积，证明APE 的面积PFC 的面积即可（2）如图 2 中，连接 PA，PC，在APB 中，因为点