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1、专题2 8新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1.(2021湖南永州)定义：若1 O=N,贝 iJx=logu)N,x 称为以10为底的N 的对数，简记为I g N,其满足运算法则：lgM+lgN=lg(M-N)(M 0,N 0).例如：因为 1()2=100,所以2=lgl(X),亦即lglOO=2；Ig4+lg3=l g l 2.根据上述定义和运算法则，计算(Ig2)2+lg2-lg5+lg5的结果为()A.5 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得.【详解】解：原式=lg2.(lg2+lg5)+lg5,=lg21gl0+lg5,=lg2+lg
2、5,=igio,=1,故选：c.【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键.2.(2021湖南张家界)对于实数人定义 运 算 如 下：a b =a b2-a b,例如32=3x2?-3x2=6,则方程1x=2 的根的情况为()A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题根据题目所给新定义将方程b!rx=2 变形为一元二次方程的一般形式，即2+加+C=0 的形式，再根据根的判别式 =/-4a c的值来判断根的情况即可.【详解】解：根据题意由方程1%=2 得：x2-x =2整理得：X1-x-2 =
3、0根据根的判别式 =F-4 x l x（-2）=9 0可知该方程有两个不相等实数根.故选D.【点睛】本题主要考查了根的判别式,根据题目所给的定义对方程进行变形后依据/的值来判断根的情况,注意A 0时有两个不相等的实数根；A =0时有一个实数根或两个相等的实数根：4 4A.x =B.x =一C.X =D.x =5 555【答案】B【解析】【分析】根据新定义，变形方程求解即可【详解】a b =2a +,b.3应=4合2变形为2 3 +=2、4 +1,x 22解得x =（，2经检验x =:是原方程的根，故选3【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键4.（2
4、 0 2 0湖北恩施）在实数范围内定义运算 ：a b=a+b-l,例如：2 3 =2+3-1 =4.如果2加=1,则x的 值 是（）.A.-1 B.1 C.0 D.2【答案】C【解析】【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解.【详解】解：由题意知：2*x =2+x-l=l+x,又 2x=1.l+x =l,二 x=0.故选：C.【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可.5.(2020山东潍坊)若定义一种新运算：,，二例如：3 =31=2；5齿4=5+4 6=3.则ja+b-6(a 2b)函数y=(x+2)(x 1)
5、的图象大致是()【解析】【分析】根据a?/,a h 可得当x+2?2(x 1)时，x 4时，分别求出a+b-6(av 2b)一次函数的关系式，然后判断即可.【详解】解：当 x+2?2(x 1)时，x4H寸，(x+2)?(x 1)=(x+2)+(x-I)-6=x+2+x-1-6=2x-5,即：y=2x 5,k=20,，当x 4时，y =2 x-5,函数图像向上，N随x的增大而增大,综上所述，A选项符合题意，故选：A.【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键6.（2 0 2 0河南）定义运算：m i n-i r ur -m n-.!?lJ n：4 2 =4 x 2
6、2-4 x 2-1 =7 .则方程h x =0 的根的情况 为（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.只有一个实数根【答案】A【解析】【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：根据定义得：1 x =f-x-l =o,：a =,b=-,c =-,.A =Z 2-4 a c =（-l）2-4 x l x（-l）=5 0,原方程有两个不相等的实数根，故选A【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键.7.（2 0 2 1.河北）如图，等腰108中，顶角N A O
7、8 =4 0。，用尺规按到的步骤操作：以。为圆心，为半径画圆；在。上任取一点P （不与点A,B重合），连接AP；作A 8的垂直平分线与。交于M,N ；作”的垂直平分线与。交于E,F .结 论I：顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形；结论I I ：。上只有唯一的点P 使得S扇 形OFM=$匐 形.对于结论I和n,下列判断正确的是（）A.I 和 II都对c.i 不对n 对B.i 和 n 都不对D.i 对 n 不对【答案】D【解析】【分析】I、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状;II、在确定点尸的过程中，看/M 0 尸=40。是否唯一即可.【详解】解：I、如图所示.MN是 A
8、 8的垂直平分线，尸是AP的垂直平分线，.MN和 EF都经过圆心O,线段和EF是。的直径.Z.OM=ON,OE=OF./.四边形MEN尸是平行四边形.线段MN是。的直径，二 NMEN=9Q.二平行四边形MENF是矩形.二结论I 正确；II、如图2,当点P在直线M N左侧且AP=AB时,二 AB=AP-MN LAB,EFLAP,：.AE=-APfAN =-AB.2 2，AE=AN.：.ZAOE=ZAON=-ZAOB=20:.2:.NEON=40.J /MOF=N EON =4（Y.扇形OFM与扇形0A8的半径、圆心角度数都分别相等,S扇形0FM=SjaigOAZ）如图，当点P在直线MN右侧且BP
9、=AB时，同理可证：S扇WM=.结论n错误.故选：D【点睛】本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键.二、填空题8.（2022.湖北荆州）规定：两个函数斗，为的图象关于V轴对称，则称这两个函数互为“y函数.例如:函数X=2x+2 与%=-2x+2 的图象关于），轴对称，则这两个函数互为“y 函数”.若函数y=+2（Z-l）x+Z-3（火为常数）的“y 函数”图象与x 轴只有一个交点，则其“丫 函数”的 解 析 式 为.【答案】y=2x_3或,=_/+4 犬_ 4【解析】【分析】分两种情况，根据关于y 轴对称的图形的对称点的
10、坐标特点，即可求得.【详解】解：.函数y=2+2（Z-l）x+3 （k 为常数）的“y 函数”图象与X轴只有一个交点，函数y=&+2（Z l）x+Z 3（k 为常数）的图象与x 轴也只有一个交点，当 人）时，函数解析为y=-2X-3,它的“y 函数”解析式为y=2 x-3,它们的图象与x 轴只有一个交点，当�时，此函数是二次函数，它们的图象与x 轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x 轴上，.仅3）一 2（1）上0 得 红 I：。，4k k故无+1=0,解得仁4,故原函数的解析式为y=-2-4 x-4,故它的“丫函数”解析式为y=-V +4x-4,故答案为：y=2 x-3 或 丫 =-/+4
11、 了-4.【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x 轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键.9.（2021广西贵港）我们规定：若4=（%,%）.%=（巧,2），则。力=中 2 +必必.例 如 =（1，3）,8=（2,4），则b=Ix2+3x4=2+12=14 已知 a=（x+l,x 1）,6=（x 3,4），且一 2双!k 3,则 a 的取大值是-【答案】8【解析】【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于X的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可.【详解】解:根据题意知：a-f c=(x +l)(x-3)+4(
12、x-l)=(x+l)2-8.因为-2 4 x 4 3,所以当X=3时，a-b =(3+l)2-8 =8.即 的 最 大 值 是8.故答案是：8.【点睛】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值.10.(20 21山东荷泽)定义：。泊,。为二次函数 =以2+法+。(”/0)的特征数，下面给出特征数为 加,1-7,2-租 的二次函数的一些结论：当机=1时，函数图象的对称轴是y轴；当帆=2时，函数图象过原点；当机 0时，函数有最小值；如果加g时，y随*的增大而减小，其中所有正确结论 的 序 号 是.【答案】.【解析】【分析】利用二次函数的性质根据特征数 机1-九2-a ,以及加
13、的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案.【详解】解：当加=1时，把7 2 7 =1代入团1-相,2-向，可得特征数为口，0,1 a=,b=U,c=i 函数解析式为y =f+i,函数图象的对称轴是y轴，故正确；当m=2时，把2 =2代入 团,1-6,2-问，可得特征数为 2,7,0 a =2,/?=-1,c=(),函 数 解析式为y =2x?-x,当x =0时，y=o,函数图象过原点，故正确；函数 y =如2 4-(1 -/H)X +(2-/7 7)当 初0时，函 数y =/n?+(l-m)x+(2-*图 像 开 口 向 上,有 最 小 值，故正确；当以0时,函 数y =，n?+
14、(l-，”)x +(2-m)图像开口向下,对称轴为：-=2m 2m 2 2m 2时，X可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故错误；综上所述，正确的是，故答案是：.【点 睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二 次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键.I I.(20 22.四 川 内 江)对于非零 实 数a,b,规定若(2 x7)2=1,则x的值为 _ _ _ _ _.a b【答 案】IO【解 析】【分 析】根据题意列出方程，解方程即可求解.【详 解】解：由题意得：2 1 2等式两边同时乘以2(2x-l)得，2-2x+l =2(2x 7),解 得：
15、户O经检 验，X=f是原方程的根，O.5 x=，6故答案为：金.6【点 睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键.12.（20 21内蒙古呼和浩特）若把第个位置上的数记为Z,则称演，鼻，乙有限个有序放置的数为一个数列A.定义数列A的“伴生数列B是：y?以其中y”是这个数列中第个位置上的数，f 0 X =X =1,2,且y =一 并 规 定/=%，4+|=%.如果数列A只有四个数，且演，巧，工，Z依次为3,1,2,1,则其“伴生数列”8是.【答案】0,1,0,I【解析】【分析】根据定义先确定x o=X 4=l与X 5=X/=3,可得X 0,巧，X2,x3,x4,X 5依次为1
16、,3,1,2,1,3,根据定义其“伴生数列“8是 ,”，刈%;依次为0,1,0,1即可.【详解】解：,/%）,巧，当，依次为3,1,2,1,C.X（f=X 4=,X 5=X/=3,.x o,X 1,X2,xi,x4,乃依次为 1，3,1,2,1,3,：x（f=x2=,y/=0；X j X 3,p=l；X2=X4=1,y j=0；X 3/X 5,/=1：.其，伴生数列“8是V，”，然，万；依次为0,1,0,1.故答案为：0,1,0,1.【点睛】本题考查新定义数列与伴生数列，仔细阅读题目，理解定义，抓住“伴生数列 中力与数列A中当T，X.T关系是解题关键.三、解答题1 3.（2 0 2 2甘肃兰州
17、）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和6=两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数（1）求点尸（6,2）的“倾斜系数Z 的值；若点P（a,。）的“倾斜系数”&=2,请写出。和 b 的数量关系，并说明理由；若点P（a,。）的“倾斜系数乜=2,且“+6 =3,求 0P的长；（3）如图，边长为2的正方形A B C O 沿直线A C：y =x 运动，/凡。）是正方形A 8 C O 上任意一点，且点P的“倾斜系数 G，请直接写出。的取值范围.【答案】（1）3a-2 Z?或 b=2a，0 P=旧（3）G+l a 3+G【解析】【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；（2）山点P（a,。
18、）的“倾斜系数”4 =2,由=2 或2=2 求解即可；b a由a=2 匕或3=2。，又因。+6=3,求出a、6 值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；（3）当点P与点。重合时，且/:=有 时，“有最小临界值，此时、2 =石，则 空 2 =6,求得=百+1；aa当点P与 8点重合，旦；右 时，。有最大临界值，此时，7 =73,则一 工=6,求得：a=3+7 3：即可求b a-2得&1 3，点尸(6,2)的“倾斜系数*=3；(2)解：4=2。或 h=2a,丁点P(a,b)的“倾斜系数”=2,当g=2时，则 o=2b；b当2=2 时，则 方 二 2，aa=2h 或 b=2a；：。卜，力)的“倾斜
19、系数 次=2,当 =2时，则a=2bb：a+h =3,/.2b+b=3,/.h=1,/.4=2,:.P Q,1),*,O P-,2?+=V5；当2 =2时，则b=2a,a。+Z?=3,+2=3,/-a=l,/.b=2,AP(I,2),8=4+2 2=石；综上，0 P=6解：由题意知，当点/,与点。重合时，且 上 6 时，。有最小临界值，如图，连接。，延长A交 x 轴于E,解得：。=6 +1;经检验符合题意；当点户与8 点重合，且时，”有最大临界值，如图，连接0 8,延长CB交x 轴于尸,解得：。=3+石，经检验符合题意，综上，若 P的“倾斜系数”百，则 上+k a 3+6.【点睛】本题考查新定
20、义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：(1)(2)问理解新定义，(3)问求临界值.1 4.(2 0 2 2.内蒙古赤峰)阅读下列材料定义运算：m i n|o,/?|，当a N 匕时,m n a,h =b；当“3 时,m i n|a,i|=a.例如：m i n|-l,3|=-l；m i n|-l,-2|=-2.完成下列任务 m i n (-3),，=；m i n 卜 挑,-4 卜(2)如图，已知反比例函数乂=4和一次函数%=-2 x+A 的图像交于A、8 两 点.当-2 V x 0 时,Xkm i n -,-2x+h=(x+l)(x-3)-x2.求这两个函数的解析式.【答案】(1)1;
21、T2(2)y,=,y2=-2 x-3x【解析】【分析】(1)根据材料中的定义进行计算，即可求出答案；b k(2)由函数图像可知当一2 V x 0 时，-2 x+b 4,min|-/14,-41=-4；故答案为：I;T;(2)k解：由函数图像可知当 2 v x 0 时，-2x+b =/(幻满足：对于自变量X取值范围内的任意巧，巧，(1)若石 巧,都有了(%)/。2)，则称若“)是增函数;(2)若丁),则称/a)是减函数.例题：证明函数/(x)=x x 0)是增函数.证明：任取士0，%。则/(斗)一 f(x2)=X；_*=(占 +x2)(x,-x2)X)0,JC2 0X+工 2 0,X,-x2 0
22、/.(X,+%2)(%)-x2)0,即/(%)-/()0,/(%1)0)是增函数.根据以上材料解答下列问题：(1)函数/(x)=L x 0),/=:=1,/(2)=(，/(3)=_,/(4)=_x 1 2(2)猜想/(x)=L(x 0)是函数(填 增 或 减”)，并证明你的猜想.X【答案】(1)：，1；(2)减，证明见解析【解析】【分析】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题；(2)根据题目中例子的证明方法可以证明(1)中的猜想成立.【详解】解：(1)/(3)=p /(4)=i(2)猜想：/(x)=L(x 0)是减函数；X证明：任取玉0,x2 09则/(X,)-/(X2)=-=LX X2 X
23、yX2玉 0，42 0/.x2-Xj 0,xxx2 0.三 二L 0,即二函数/(x)=(x 0)是减函数.X【点本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答.16.(2021四川凉山)阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔(J.Np/er,15501617年)是对数的创始人,他发明对数是在指数书写方式之前，直 到18世纪瑞士数学家欧拉(EWer.17071783年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地.若“、=N(0且1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log,N，比如指数式24=16可以转化为对数
24、式4=log21 6,对数式2=log,9可以转化为指数式32=9.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：logfl(Af-N)=log M+log N(a 0,a*1,Af 0,N 0),理由如下:设 log,M=w,log N=n,则 M=a,N=a.:.M-N =am-an=am+.由对数的定义得?+=log.(M N)又.+=logu M+log,N.log”(M-N)=log,M +log“N.根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(1)填空：log2 32=；log?27=,log7l=；M(2)求 证:loga =logf lM -log N(a 0,a l,M 0,N
25、 0)；N(3)拓展运用：计算logs 125+logs6-logs 30.【答案】(1)5,3,0；(2)见解析；(3)2【解析】【分析】(1)直接根据定义计算即可；(2)结合题干中的过程，同理根据同底数幕的除法即可证明；根据公式：loga(MN)=logaM+logaN和log“=logaAf-logaN的逆用，将所求式子表示为：log5,计算可得结论.【详解】解：(1)；2=32,；log?32=5,V 33=27,/.log,27=3,；log7 1 =0;(2)设 logaM=m,ogaN=n,：.a=M,a=N ,M：.am-a=a-=,N.M log,=-,Mlog“R =log
26、.-log“N;(3)log,125+log,6-log,30=log5 25=2.【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.17.(2021.重庆)对于任意一个四位数如若干位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2 倍，则称这个四位数，”为“共生数”例如：m=3 5 0 7,因为3+7=2x(5+0),所以3507是“共生数”:加=4 1 3 5,因为4+5 x 2 x(l+3),所以4135不是“共生数”；(1)判断5313,6437是否为“共生数”？并说明理由；(2)对于“共
27、生数”小 当十位上的数字是千位上的数字的2 倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记尸()=1.求满足尸()各数位上的数字之和是偶数的所有【答案】(1)5313是“共生数”，6437不是“共生数”.(2)n=2 1 4 8=3069.【解析】【分析】（I）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；（2）设“共生数”的千位上的数字为。，则十位上的数字为2外 设百位上的数字 为 九 个 位 上 的 数 字 为 可得：l a 5,0 9,0 c 9,目4仇c为整数，再由“共生数”的定义可得：c=3a+2b,而由题意可得：b+c=9或6+。=1 8,再结合方程的正整数解分类讨论可得答案
28、.【详解】解：（1）,.5+3=2x（l+3）=8,二5313是“共生数”,.6+7=13*2x（4+3）=14,.6437不是“共生数”.（2）设“共生数”的千位上的数字为。，则十位上的数字为2 a,设百位上的数字为4个位上的数字为c,.-.15,0 *9,0 c 9,且a,a c为整数,所以：=1000a+1006+20a+c=1020a+100人+c,由“共生数”的定义可得：a+c =2（2a+b）,c =3a +2b,.,.77=1023+102/?,/.F（n）=-=341+34/7,百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，.6+=0或8+。=9或人+。=18,当b+c=0,则人=
29、。=0,则。=0,不合题意，舍去，当8+c=9时,则3a+3匕=9,:.a +b=3,当 =1 时，b=2,c =7,此时：n =122717979尸（小=詈=4 0 9,而4+0+9=13不为偶数，舍去，当=2 时，/?=1,c=8,2148此时：=2 1 4 8,尸（）=_=7 1 6,而7+1+6=14为偶数，当 a=3 时，/?=0,c=9,此时：“=3 0 6 9,尸（）=等=1 0 2 3,而 1+0+2+3=6为偶数，当 b+c=1 8 时,则 b=c=9,而3 a+3 A =1 8，则。=3 不合题意，舍去，综上：满足尸()各数位卜一的数字之和是偶数的”=2 1 4 8 或=3
30、 0 6 9,【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键.1 8.(2 0 2 1.重庆)如果一个自然数M 的个位数字不为0,且 能 分 解 成 其 中 A与B都是两位数，A 与B的十位数字相同，个位数字之和为1 0,则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M=Ax3的过程，称为“合分解”.例如.6 0 9 =2 1*2 9,2 1 和2 9 的十位数字相同，个位数字之和为1 0,二6 0 9 是“合和数”.又如.2 3 4 =1 8 x 1 3,1 8 和1 3 的十位数相同，但个位数字之和不
31、等于1 0,2 3 4 不是“合和数”.(1)判断1 6 8,6 2 1 是否是“合和数”？并说明理由;(2)把一个四位“合和数”M 进行“合分解，即=4 x 8.A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P(M);A的各个数位数字之和与8的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M).令P(M)G(M)=g 涡，当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的【答案】(1)1 6 8 不是“合和数”,6 2 1 是“合和数，理由见解析;(2)M 有1 2 2 4,1 2 2 1,5 6 2 4 ,5 6 1 6.【解析】【分析】(1)首先根据题目内容，理解 合和数 的定义：如果一个自然数M 的
32、个位数字不为0,且能分解成A x B,其中A与B都是两位数，A与5的十位数字相同，个位数字之和为1 0,则称数”为“合和数”，再判断1 6 8,6 2 1 是否是“合和数”；(2)首先根据题目内容，理解“合分解”的定义.引进未知数来表示A个位及十位上的数，同时也可以用来表示B.然后整理出：G(M)=1湍，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的【详解】解：1 6 8 不是“合和数”，6 2 1 是“合和数”.,-168=12x14,2+4W10,.7 6 8 不是“合和数”,v 621=2 3 x 2 7,十位数字相同,且个位数字3+7=10,.621是“合和数工(2)设A 的十位数
33、字为加，个位数字为(阳，为自然数，且1W W 9),则 A=10m +n,B =l 0m +10 n./.P(M)=m+n+m+1 0-n =2m+l 0,Q(M)=(m+n)-(m+10-n)=2n-l C.P(M)2/W +10 m +5.G(M)=-=：-r=-r=4k(左是整数)l 7 Q(M)|2/2-10|n-5(人山.我 九 ,3 7?7 9,/.8 777+5 9-2 6-3 ,所以3x6是 18的最佳分解，所以/(18)=-=1.v 7 6 2(1)填空：6)=;/(9)=；(2)一个两位正整数f(f=10“+从a,b 为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减
34、去原数所得的差为5 4,求出所有的两位正整数；并求/的最大值；(3)填空：/(22X3X5X7)=；f(23x3x5x7)=；/(24X3X5X7)=；/(25x 3x5x7)=【答案】(1)1；I：(2)t 为 39,28,17；/(f)的最大值：；(3)IT TT IT TT【解析】【分析】(1)6=1X6=2X3,由已知可求 6)=；9=lx9=3x3,由己知可求/(9)=1：(2)由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b+aT0a-b=9(b-a)=5 4,得到b-a=6,可求t 的值，故可得到了的最大值；(3)根据 x)=的 定义即可依次求解.n【详解】(1)6=Ix6=2
35、x3,V 6-1 3-2,(6)=|；9=1X9=3X3,V 9-1 3-3,9)=1,故答案为：；1 ：(2)由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为:10b+a-10a-b=9（b-a）=54,/.b-a=6,V lab9,，b=9,a=3 或 b=8,a=2 或b=7,a=l,为 39,28,17；739=1x39=3x13,“（39）=右28=1x28=2x14=4x7,（28）417=1x17,“（后；/O）的最大值g.（3）；22x3x5x7=20 x21“（22x3x5x7）=弟 23x3x5x7=28x30“（23x3x5x7）嗡唱：24x3x5x7=40 x42一（24X3
36、X5X7）W2021V 25X3X5X7=56X60二 件3x5”嚼点,20 14 20 14故答案为：五 宣 五6【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键.20.（2020重庆）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数,现在我们利用整数的除法运算来研究一种数“差一数定 义：对于一个自然数，如 果 这 个 数 除 以5余 数 为4,且 除 以3余 数 为2,则称这个数为“差一数例 如:1 4+5 =2 4,1 4+3 =4 2,所 以 1 4 是“差一数”；1 9+5 =3.4,但 1 9+3
37、 =6 1,所 以 1 9 不是“差一数”.(1)判断4 9 和 7 4 是否为“差一数”?请说明理由;(2)求大于3 0 0 且小于4 0 0 的所有“差一数”.【答案】(1)4 9 不是“差一数”,7 4 是“差一数”,理 由 见 解 析;(2)3 1 4、3 2 9、3 4 4、3 5 9、3 7 4、3 8 9【解析】【分析】(1)直接根据“差一数”的定义计算判断即可；(2)解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或 9,被 3除余2的数各位数字之和被 3除余2,由此可依次求得大于3 0 0 且小于4 0 0 的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1 能被
38、1 5 整除，据此可先求出大于3 0 0 且小于4 0 0 的能被1 5 整除的数，进一步即得结果.【详解】解：(1 )；4 9+5=9 4；4 9+3 =1 6.1,二4 9 不是“差一数”，：7 4+5 =1 4 4；7 4+3 =2 4.2,二7 4 是“差一数”；(2)解法一：“差一数”这个数除以5余数为4,“差一数”这个数的个位数字为4或 9,二大于 3 0 0 且小于 4 0 0 的符合要求的数为 3 0 4、3 0 9、3 1 4、3 1 9、3 2 4、3 2 9、3 3 4、3 3 9、3 4 4、3 4 9、3 5 4、3 5 9、3 6 4、3 6 9、3 7 4、3 7
39、 9、3 8 4、3 8 9、3 9 4、3 9 9,.差一数 这个数除以3余数为2,.”差一数,，这个数的各位数字之和被3除余2,大于 3 0 0 且小于 4 0 0 的所有“差一数”为 3 1 4、3 2 9、3 4 4、3 5 9、3 7 4、3 8 9.解法二：.“差一数”这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,二这个数加I 能 被 1 5 整除,大于3 0 0 且小于4 0 0 的能被1 5 整除的数为3 1 5、3 3 0、3 4 5、3 6 0、3 7 5、3 9 0,大于 3 0 0 且小于 4 0 0 的所有“差一数”为 3 1 4、3 2 9、3 4 4、3 5 9、3 7
40、 4、3 8 9.【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，第(2)题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1 能 被 1 5 整除，明确方法是关键.2 1.(2 0 2 2.山东潍坊)为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图像经过点(-L T),且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式.观察发现请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图像.思考交流小亮说：“满足条件的函数图像的对称轴一定在y轴的左侧.”小莹说：“满足条件的函数图像一定在x轴的下方.”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明.概括表达小博士认为这个作业的答案太多，
41、老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=a/+法+c的图像与系数”,6,c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法.请你探究这个方法，写出探究过程.X【答案】观察发现y=-v,图像见解析；|思考交流不认同他们的说法，举例见解析；概括表达1探究过程见解析【解析】【分析】根据题意举例分析y=-f的图像即可求解，根据经过点(-L-1),且不经过第一象限，得出a 0,a-A+c =0,进而求得瓦C的范围，即可求解.【详解】解：观察发现 根据题意，得：抛物线丫=-炉经过点(-1,-1),且不经过第一象限，画出图像，如下:思考交流 不认同他们的说法，举例如下：抛物线J=-x2的对称轴为），轴，故小亮的说法不
42、正确，抛物线y=图像经过X轴，故小莹的说法不正确；概括表达设过点（T 1）的抛物线解析式 为 尸 （+1）2+机（犬+1）-1,y=a（x+l）=泼 +（2a +m）x+a+m-,Q y=a x1+bx+c ,：.b=2a +m,c =a +m-,经过（T T）,:.a-b+c =-l,根据题意，抛物线丁 =以2+法+。不经过第一象限，r.a0 c 0,:.a+m-Q,a+m 1,：.b=2a +m =a +a +m a +l:.b综上所述：0,Z?l,c 0和两种情况进行分析：（1）时，抛物线开口向上.4ac-b2 八9,-0 时，有4。一“0,顶点纵坐标 4。顶点在x 轴的下方，抛物线与x
43、 轴有两个交点（如 图 1）.4ac-b2 八9、-=U当 A=Zr 4ac=0 时，有4ac-/r=0.a 0,.顶点纵坐标 4a.二顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个 交 点（如图2）.一元二次方程以2+6x+c=（aH。）有两个相等的实数根.当 A=一4C=。时，（2）时，抛物线开口向下.任务：(1)上面小论文中的分析过程，主 要 运 用 的 数 学 思 想 是(从 下 面 选 项 中 选 出 两 个 即 可)；A.数形结合B.统计思想C.分类讨论.D.转化思想(2)请参照小论文中当a 0 时的分析过程，写出中当a (),0 时.，抛物线开口向上.当 二 尼 一 4ac0.S 0,二顶
44、点纵坐标4 04.顶点在X轴的上方，抛物线与X轴无交点（如图）:，一元二次方程 加+云+。=0（存0）无实数根.（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解.（答案不唯一.又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x 轴的交点个数确定一元：次方程根的情况是本题的关键.23.（2022湖北武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A 处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处.黑球 白球9 o小聪测量黑球减速后的运动速度V （单
45、位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间f（单位：s）变化的数据，整理得下表.运动时间S01234运动速度v/c m/s1 09.598.58运动距离y/c m09.751 9 2 7.753 6小聪探究发现，黑球的运动速度v 与运动时间，之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间f 之间成二次函数关系.（1）直接写出-关于，的函数解析式和y关于，的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当黑球减速后运动距离为6 4 c m 时，求它此时的运动速度；（3）若白球:罩以2 c m/s 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由.【答案】（1）v =/，+1 0，y
46、 =-a产+1 0/（2）6 c m/s（3）黑、白两球的最小距离为6 c m,大于0,黑球不会碰到白球【解析】【分析】（D根据黑球的运动速度v 与运动时间f 之间成一次函数关系，设表达式为丫=公+4代入两组数值求解即可；根据运动距离y与运动时间r 之间成二次函数关系，设表达式为y =2+从+c,代入三组数值求解即可;（2）当黑球减速后运动距离为6 4 c m 时，代 入（1）式中y关于f的函数解析式求出时间3 再将r 代入v 关于f的函数解析式，求得速度v 即可；（3）设黑白两球的距离为wcm,得到卬=7 0+2，-），=!尸-8，+7 0,化简即可求出最小值，于是得到结论.根据黑球的运动速
47、度u 与运动时间/之间成一次函数关系，设表达式为mK+A代 入（0,1 0）,（I,9.5）得,1 0=力95=k+b,解得k=b=2,1 0/.v =/+1 0,2根据运动距离y与运动时间f之间成二次函数关系，设表达式为y =产+初+C,代 入（0,0）,（1,9.7 5）,(2,1 9)得1 9.7 5=a +b,解得 J 6=10,19=4。+25 c=0；y 1+1 Of;4（2）依题意，得一1 产+10/=64,4二产一407+256=0,解得，6=8,与=32；当4=8 时，丫 =6；当&=32时，口 =-6（舍）；答：黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s.（3）设黑白两球的
48、距离为wcm,卬=70+21-y=:一一 8/+70=-（/-1 6）2+6,4.当，=16时，w的值最小为6,4黑、白两球的最小距离为6 c m,大于0,黑球不会碰到白球.【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式.24.（2022湖北随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会古祥物“冰墩墩 深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空.该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应机个（m 为正整数）经过连续15天的
49、销售统计，得到第x 天（1 4 x 4 1 5,且 x 为正整数）的 供 应 量%（单位：个）和需求 量 为（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量力与x 满足某二次函数关系.（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第 X天1261115供应量%(个)1 501 50+机1 50+5 加1 50+1 0m1 50+1 4 m需求量必(个)22022924 52201 6 4(1)直接写出以与x 和 K 与 x的函数关系式；(不要求写出x的取值范围)(2)已知从第1 0天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到(即前9 天的总需求量超过总供应量，前 1 0天的总需求
50、量不超过总供应量)，求，的值；(参考数据：前 9 天的总需求量为21 3 6 个)(3)在 第(2)问 I取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为1 0 0 元，求第4天与第1 2 天的销售额.【答案】(1)%=皿+1 5 0-机，y2=-(X-6)2+24 5加的值为2 0 或 2 1(3)第 4天的销售额为2 1 0 0 0 元，第 1 2 天的销售额为2 0 9 0 0 元【解析】【分析】(1)根据题意“从第二天起，每天比前一天多供应个(根为正整数)经过连续1 5 天的销售统计，得到笫x 天(1 4 x 4 1 5,且 x 为正整数)的供应量%“得到M 与 x的函数关系式：%与 x 满足