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1、三角函数应用举例第1页，本讲稿共19页复习：解斜三角形公式、定理复习：解斜三角形公式、定理正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：三角形边与角的关系：2、大角对大边，小角对小边大角对大边，小角对小边。第2页，本讲稿共19页2.余弦定理的作用余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；（3）判断三角形的形状。）判断三角形的形状。推论推论:第3页，本讲稿共19页复习：斜三角形的解法复习：斜三角形的解法已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法用正弦定理求出另一对角
2、用正弦定理求出另一对角,再由再由A+B+C=180，得出第三角，得出第三角,然后用然后用正弦定理求出第三边。正弦定理求出第三边。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，再用正弦求出另一角，再用正弦定理求出两边。定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由理求出一角，再由A+B+C=180得得出第三角。出第三角。用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一边和两角一边和两角(ASA或或AAS)两边和夹角两边和夹角(SAS)三边三边(SSS)两边
3、和其中一两边和其中一边的对角边的对角(SSA)第4页，本讲稿共19页解斜三角形理论解斜三角形理论在实际问题中的应用在实际问题中的应用第5页，本讲稿共19页实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语1.1.仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。（1 1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2 2）.当视线在水平线下方时，视线与水
4、平线所成角叫当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。俯角。俯角。俯角。（3 3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）这两条视线过被观察物的两端点）这两条视线过被观察物的两端点）这两条视线过被观察物的两端点）水平线水平线水平线水平线视线视线视线视线视线视线视线视线仰角仰角仰角仰角俯角俯角俯角俯角第6页，本讲稿共19页2.2.方向角、方位角。方向
5、角、方位角。方向角、方位角。方向角、方位角。（1 1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于小于小于小于90900 0的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。（2 2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。叫方位角。叫方位角。叫方位角。东东东东西西西西北北北北南南南
6、南60600 030300 045450 020200 0A AB BC CD D点点点点A A在北偏东在北偏东在北偏东在北偏东60600 0，方位角，方位角，方位角，方位角60600 0.点点点点B B在北偏西在北偏西在北偏西在北偏西30300 0，方位角，方位角，方位角，方位角3303300 0.点点点点C C在南偏西在南偏西在南偏西在南偏西45450 0，方位角，方位角，方位角，方位角2252250 0.点点点点D D在南偏东在南偏东在南偏东在南偏东20200 0，方位角，方位角，方位角，方位角1601600 0.第7页，本讲稿共19页3.3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直
7、距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离水平距离水平距离水平距离垂垂垂垂直直直直距距距距离离离离坡面距离坡面距离坡面距离坡面距离坡度（坡度比）坡度（坡度比）坡度（坡度比）坡度（坡度比）i i:垂直距离垂直距离垂直距离垂直距离/水平距离水平距离水平距离水平距离坡角坡角坡角坡角:tan=:tan=垂直距离垂直距离垂直距离垂直距离/水平距离水平距离水平距离水平距离 第8页，本讲稿共19页第9页，本讲稿共19页ACB51o55m75o第10页，本讲稿共19页例例1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在
8、测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC51o，ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形第11页，本讲稿共19页解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。第12页，本讲稿共19页ABCD第13页，本讲稿共19页ABCDa解：如图，测量者可以在解：如图，测量者可以在河岸边选定两点河岸边选定两点C、D，设设CD=a，BCA=，ACD=，CDB=，A
9、DB=分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助的大小，借助于余弦定理可以计算出于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。第14页，本讲稿共19页解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并且并且在在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在在 ADC和和 BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出中，应用余弦定理计算出AB
10、两两点间的距离点间的距离第15页，本讲稿共19页变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河岸选取相距4040米的米的C C、D D两两点，测得点，测得 BCA=BCA=，ACD=ACD=，CDB=CDB=，BDA=BDA=求求A、B两点间距离两点间距离.注：阅读教材注：阅读教材P12P12，了解，了解基线基线的概念的概念第16页，本讲稿共19页练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile/hr的速度向正北的速度向正北航行。在航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的方向，的方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔在船的北偏东处看灯塔在船的北偏东65o的方向
11、，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？方向航行吗？第17页，本讲稿共19页练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支与车厢支点点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m）（1
12、 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB第18页，本讲稿共19页练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m）最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m，夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。CAB第19页，本讲稿共19页