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1、三角函数三角恒等变换解三解形第1页，本讲稿共29页 (5)(5)终边与终边与 终边关于原点对称终边关于原点对称 =+2 =+2k k(k kZ Z).).(6)(6)终边在终边在x x轴上的角可表示为轴上的角可表示为=k k,k kZ Z;终边终边 在在y y轴上的角可表示为轴上的角可表示为 k kZ Z;终边在终边在 坐标轴上的角可表示为坐标轴上的角可表示为 k kZ Z.2.2.与与 的终边关系：由的终边关系：由“两等分各象限、一二三两等分各象限、一二三 四四”确定确定.如若如若 的第二象限角，则的第二象限角，则 是第是第 象限角象限角.3.3.弧长公式：弧长公式：l l=|=|R R，扇
2、形面积公式：，扇形面积公式：1 1弧度（弧度（1 rad1 rad）57.3.57.3.如已知扇形如已知扇形AOBAOB的周长的周长 是是6 cm6 cm，该扇形的中心角是，该扇形的中心角是1 1弧度，则该扇形的面弧度，则该扇形的面 积积 .一、三一、三 2 cm2 cm2 2第2页，本讲稿共29页4.4.任意角的三角函数的定义：设任意角的三角函数的定义：设 是任是任 意一个角，意一个角，P P（x x,y y）是）是 的终边上的的终边上的 任意一点（异于原点），它与原点任意一点（异于原点），它与原点 的距离是的距离是 那么那么sin =cos sin =cos tan =(tan =(x x
3、0),0),三角函数值只与角的大小三角函数值只与角的大小 有关，而与终边上点有关，而与终边上点P P的位置无关的位置无关.如（如（1 1）已知角）已知角 的终边经过点的终边经过点P P（5 5，-12-12），则），则sin +cos sin +cos 的的 值为值为 .(2)(2)设设 是第三、四象限角，是第三、四象限角，sin =sin =则则m m的取值范围是的取值范围是 .(3)(3)若若 则则cot(sin )tan(cos )cot(sin )tan(cos )的符号是的符号是 （用（用“正正”、“负负”填空）填空）.负负第3页，本讲稿共29页5.5.三角函数线的特征：正弦线三角函
4、数线的特征：正弦线MPMP“站在站在x x轴上（起点轴上（起点 在在x x轴上）轴上）”、余弦线、余弦线OMOM“躺在躺在x x轴上（起点是原轴上（起点是原 点）点）”、正切线、正切线ATAT“站在点站在点A A（1 1，0 0）处（起点是）处（起点是 A A）”.”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值三角函数线的重要应用是比较三角函数值 的大小和解三角不等式的大小和解三角不等式.如（如（1 1）若）若 0 0，则，则 sin ,cos ,tan sin ,cos ,tan 的大小关系为的大小关系为 .(2)(2)若若 为锐角，则为锐角，则 ,sin ,tan ,sin ,tan 的大小关系
5、为的大小关系为 .(3)(3)函数函数 的定义的定义 域是域是 .第4页，本讲稿共29页6.6.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 （1 1）平方关系：）平方关系：sinsin2 2 +cos +cos2 2 =1.=1.(2)(2)商数关系：商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知 一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和 三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便三角函数的取值，尽可能地压缩角的
6、范围，以便 进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用 同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范 围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形 求出此三角形函数值的绝对值求出此三角形函数值的绝对值.第5页，本讲稿共29页 如若如若0202x x2 2 ，则使，则使 成立的成立的x x的的 取值范围是取值范围是 .7.7.三角函数诱导公式三角函数诱导公式 的本质是的本质是:奇变偶不奇变偶不 变（对变（对k k而言，指而言，指k k取奇数或偶数），符号看象限取奇数或偶数），
7、符号看象限 （看原函数，同时可把（看原函数，同时可把 看成是锐角）看成是锐角）.诱导公式诱导公式 的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1 1）负角变正角，再写成）负角变正角，再写成2 2k k+,0 2 ;(2)+,0 0,0,0,0,的图象如图所示，则的图象如图所示，则f f(x x)=)=.(2)(2)函数函数y y=A Asin(sin(x x+)+)图象的画法：图象的画法：五点法五点法 设设X X=x x+,+,令令X X=0=0，求出相应的求出相应的x x值，值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
8、图象图象 变换法，它是作函数简图常用方法变换法，它是作函数简图常用方法.（3 3）函数）函数y y=A Asin(sin(x x+)+)+k k的图象与的图象与y y=sin=sin x x图象图象 间的关系：间的关系：函数函数y y=sin=sin x x的图象纵坐标不变，横的图象纵坐标不变，横f f(x x)=)=A Asin(sin(x x+)+)第14页，本讲稿共29页 坐标向左（坐标向左（0 0）或向右）或向右(0)(0)0)或向下或向下(k k0)0,+)(0,0 ),0 ),且此函数的图象如图且此函数的图象如图 所示，则点（所示，则点（,）的坐标是）的坐标是 ()()A.A.B.
9、B.C.C.D.D.解析解析 结合图形提供的信息分别确定结合图形提供的信息分别确定 ,的值，的值，由图知函数的周期由图知函数的周期 故故(,)(,)的坐标为的坐标为 因此选因此选C.C.C第21页，本讲稿共29页4.4.（20092009四川文，四川文，4 4）已知函数）已知函数f f(x x)=sin )=sin (x xR R)，下面结论错误的是，下面结论错误的是 （）A.A.函数函数f f(x x)的最小正周期为的最小正周期为2 2 B.B.函数函数f f(x x)在区间在区间 上是增函数上是增函数 C.C.函数函数f f(x x)的图象关于直线的图象关于直线x x=0=0对称对称 D.
10、D.函数函数f f(x x)是奇函数是奇函数 解析解析 A A正确正确;y y=cos=cos x x在在 上是减函数，上是减函数，y y=-cos=-cos x x在在 上是增函数，上是增函数，B B正确；正确；由图象知由图象知y y=-cos=-cos x x关于直线关于直线x x=0=0对称，对称，C C正确正确.y y=-cos=-cos x x是偶函数，是偶函数，D D错误错误.D第22页，本讲稿共29页5.5.已知已知 那么那么 的值是的值是 ()()A.A.B.B.C.2 C.2 D.-2D.-2 解析解析 从而由已知从而由已知 得得A第23页，本讲稿共29页6.6.如图，为了测
11、定河的宽度如图，为了测定河的宽度,在一岸边选定两点在一岸边选定两点A A、B B，望对岸标记物，望对岸标记物C C,测得测得CABCAB=30=30，ABAB=120=120米，则河的宽度是米，则河的宽度是()()A.40 A.40米米 B.50 B.50米米 C.60 C.60米米 D.70 D.70米米 解析解析 作作CDCDABAB，河宽为，河宽为CDCD.则则 得得CDCD=60(=60(米米).).CBACBA=75,=75,C第24页，本讲稿共29页7.7.在在ABCABC中，中，a a、b b分别为角分别为角A A、B B的对边，若的对边，若 B B=60=60，C C=75=7
12、5，a a=8=8，则边，则边b b=.解析解析 易得易得A A=45=45，由正弦定理，由正弦定理，得得8.8.（20092009上海理，上海理，6 6）函数）函数y y=2cos=2cos2 2x x+sin 2+sin 2x x的最小的最小 值是值是 .解析解析 y y=2cos=2cos2 2x x+sin 2+sin 2x x=1+cos 2=1+cos 2x x+sin 2+sin 2x x 第25页，本讲稿共29页9.9.给出下列命题：给出下列命题：存在实数存在实数x x，使，使sin sin x x+cos+cos x x=若若 是第一象限角，且是第一象限角，且 ,则则 函数函
13、数 是偶函数；是偶函数；若若 则则 y y=sin 2=sin 2x x的图象向左平移的图象向左平移 个单位，得到函数个单位，得到函数 y y=sin(2=sin(2x x+)+)的图象；的图象；若若 是三角形的内角，是三角形的内角，有最大有最大 值，但无最小值值，但无最小值.其中正确命题的序号为其中正确命题的序号为 .第26页，本讲稿共29页 解析解析 逐一判定：逐一判定：中，中，最大值最大值 是假命题是假命题.中，令中，令 则则 与与 “则则 ”矛盾，矛盾，是假命题是假命题.中，函数中，函数 是偶函数，是偶函数，是真命题是真命题.中，中，由由 或或 且且 或或 其中其中 m m,n nZ
14、Z.(k kZ Z).).第27页，本讲稿共29页 是真命题是真命题.中，中，y y=sin 2=sin 2x x向左移向左移 个单位长个单位长 度为度为 是假命题是假命题.中中,可有最大值，可有最大值，即即 时，但无最小值，故时，但无最小值，故是真命题是真命题.答案答案 10.10.设函数设函数f f(x x)=2cos)=2cos2 2x x+2 sin+2 sin x xcos cos x x+m m(x xR R).).(1)(1)化简函数化简函数f f(x x)的表达式，并求函数的表达式，并求函数f f(x x)的最小的最小 正周期；正周期；（2 2）若）若 是否存在实数是否存在实数m m，使函数，使函数f f(x x)的值的值 域恰为域恰为 .若存在，请求出若存在，请求出m m的取值范围；若的取值范围；若 不存在，请说明理由不存在，请说明理由.第28页，本讲稿共29页 解解 （1 1）f f(x x)=2cos)=2cos2 2x x+函数函数f f(x x)的最小正周期的最小正周期T T=.=.（2 2）假设存在实数）假设存在实数m m符合题意符合题意.则则 又又 存在实数存在实数 使函数使函数f f(x x)的值域恰为的值域恰为返回第29页，本讲稿共29页