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1、第3章量纲分析第1页，本讲稿共16页量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端每一项的量纲必须一致等式两端每一项的量纲必须一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动例：单摆运动lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t,m,l,g 之之间有关系式间有关系式 1,2,3 为待定系数，为待定系数，为无量纲量为无量纲量(1)的量纲表达式的量纲表达式对比对比第2页，本讲稿共16页对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假
2、设这种形式为什么假设这种形式设设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位的量纲单位缩小缩小a,b,c倍倍p=f(x,y,z)的形式为的形式为第3页，本讲稿共16页单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数为待定常数,为无量纲量为无量纲量第4页，本讲稿共16页设设 f(q1,q2,qm)=0 ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价,F未定未定Pi定理定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量纲是基本量纲,n
3、 m,q1,q2,qm 的量纲可表为的量纲可表为量纲矩阵量纲矩阵记作记作线性齐次方程组线性齐次方程组有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且则则第5页，本讲稿共16页量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 ()=0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数基本量纲个数n;选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量
4、未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识第6页，本讲稿共16页l=L,v=LT-1,=L-3M,p=L-1MT-2,=L-1MT-2,g=LT-2量纲分析示例：量纲分析示例：管道内不可压缩粘性流体的压强差管道内不可压缩粘性流体的压强差管道两端管道两端压强差压强差 p管道长管道长l,流速流速v,粘性系数粘性系数,密度密度 重力加速度重力加速度g。m=6,n=3选取物理量选取物理量第7页，本讲稿共16页Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A=3rank A=rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-rm-r 个无量纲量个无量纲量第8
5、页，本讲稿共16页 F(1,2,3)=0与与(l,v,p,g)=0 等价等价为得到差为得到差 p 的显式表达式的显式表达式F=0 未定未定F(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价第9页，本讲稿共16页g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2 量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海海水密度水密度,重力加速度重力加速度g。m=6,n=3第10页，本讲稿共16页Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A=3rank A=rAy
6、=0 有有m-r个基本解个基本解ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-rm-r 个无量纲量个无量纲量第11页，本讲稿共16页 F(1,2,3)=0与与(g,l,v,s,f)=0 等等价价为得到阻力为得到阻力 f 的显式的显式表达式表达式F=0 未定未定F(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价第12页，本讲稿共16页3.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例:航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力
7、已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同第13页，本讲稿共16页 结论：结论：按一定尺寸比例造模型船，量测按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出可算出 f1 物理模拟物理模拟第14页，本讲稿共16页3.3 无量纲化方法无量纲化方法无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可将按量纲齐次原则构成的方程简化为一个与其等价但比它简单的方程。利用无量纲化方法也可以使某些数学问题简单。例：简化非线性参数方程例：简化非线性参数方程5个参数u-v 无量纲化无量纲化范式化范式化第15页，本讲稿共16页卡丹公式（卡丹公式（Cardanos Formula）第16页，本讲稿共16页