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1、1匀速圆周运动；万有引力定律匀速圆周运动；万有引力定律【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容：匀速圆周运动；万有引力定律 匀速圆周运动 一、描述圆周运动的物理量 1. 线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值。 （1）物理意义：描述质点沿切线方向运动的快慢。 （2）方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向。 （3）大小：v=s/t 说明：线速度是物体做圆周运动的即时速度2. 角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比 值。 （1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢. （2）大小：/t（rads） 3. 周期T，频率f：做圆周运动的物体一
2、周所用的时间叫周期. 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速. 4. v、T、f的关系T1/f，2/T=2f，v2r/T2rf=r. T、f、三个量中任一个确定，其余两个也就确定了. 但v还和半径r有关. 5. 向心加速度 （1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢 （2）大小：a=v2/r=2r=42f2r=42r/T2=v， （3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化. 不论a的大小是否变化，a都是个变加速度。 （4）注意：a与r是成正比还是反比，要看前提条件，若相同，a与r成正比；若v相 同，a与r成反比；若是r相同，a与2成正比，与v2也成正比. 6. 向心力
3、 （1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小. 因此，向心力对做圆周运动的物体不做功. （2）大小： Fmamv2/rm2 r=m42f2r=m42r/T2=mv （3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化. 即向心力是个变力. 说明： 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可 以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定。二、匀速圆周运动1. 特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的 大小也都是恒定不变的。2. 性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方
4、2向时刻变化的变加速曲线运动。3. 加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加 速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。4. 质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。三、变速圆周运动（非匀速圆周运动） 变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向 也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）。 变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果。 1. 半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向。 2. 切线方向的分力：产生切线方向加速
5、度而改变速度大小。 故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值 。四、圆周运动解题思路 1. 灵活、正确地运用公式 Fnman=mv2/rm2rm42r/T2m42fr ； 2. 正确地分析物体的受力情况，找出向心力. 五、典型例题 1. 线速度、角速度、向心加速度大小的比较 在分析传动装置的各物理量时。要抓住不等量和相等量的关系。同轴的各点角速度 和n相等，而线速度vr与半径r成正比。在不考虑皮带打滑的情况下。传动皮带与皮带 连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度v/r与半径r成反比。 例1. 对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是A. A轮带动B
6、轮沿逆时针方向旋转。 B. B轮带动A轮沿逆时针方向旋转。 C. C轮带动D轮沿顺时针方向旋转。 D. D轮带动C轮沿顺时针方向旋转。 答案：答案：BD 2. 圆周运动的临界问题 例2. 如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和 B，它们与盘间的摩擦系数相同，当盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则 两个物体的运动情况是（ ）3A. 两物体均沿切线方向滑动 B. 两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 C. 两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动 D. 物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远 解析：解析：当转
7、速很小时 ，B、A两物只靠自身的静摩擦力即可提供各自所需的向心力，绳子张力为零；随着转速的 不断增加，A物体所需向心力一直大于B物所需的向心力，当A物所受的最大静摩擦力越过自 身所需向心力时，绳子出现张力；当达到A、B整体刚要滑出圆盘时，A、B两物均受到最大 静摩擦力作用。此时对A物，静摩擦力与拉力之和提供向心力对B物，静摩擦力与拉力之差 提供向心力。 当烧断细线时，B物所受静摩擦力因为是被动力而变小，仍在原圆周做圆周运动。A物 所受静摩擦力小于它所需要的向心力，故A做逐步离开圆心的圆周运动。故选（D）。 说明：说明：对静摩擦力（包括最大静摩擦力）分析，一直是力学中的难点，静摩擦力随其 他外力
8、和物体的运动状态变化而变化，一旦外界的要求（如所需的向心力）超过了最大静 摩擦力，物体相对静止状态被破坏，需重新判断物体的受力和运动状态。 离心现象也分两类，一是无力提供向心力，物体沿切线方向飞出，二是向心力的提供 不足，物体做逐渐远离圆心的运动。本题的A物属第二种情况。 3. 求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围 例3. 如图，直杆上O1O2两点间距为L，细线O1A长为3L，O2A长为L，A端小球质量为m，要使两根 细线均被拉直，杆应以多大的角速度转动？解析：解析：当较小时线O1A拉直，O2A松弛，而当太大时O2A拉直， O1A将松弛. 设O2A刚好拉直，但AO2F仍为
9、零时角速度为1，此时O2O1A =30，对小球：在竖直方向AO1Fcos30mg在水平方向：AO1Fsin3030sinL3m2 1由得12 3g L4设O1A由拉紧转到刚被拉直，AO1F变为零时角速度为2对小球：AO2Fcos60=mgAO2Fsin60=m22Lsin60由得22g L，故L/g2L/g2万有引力定律 一、万有引力定律1. 内容：自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力，两物体间的引力的大小，跟它 们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.表达式：F221 rmm其中G2211kg/mN1067. 6，叫万有引力常量，卡文迪许在实验室用扭秤装置，测出了引力常量。2
10、. 适用条件：公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时 ，物体可视为质点.均匀球体可视为质点，r为两球心间的距离. 3. 万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反.二、用万有引力定律分析天体的运动（投影） 1. 基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供，即rvmrMm22rT2242. 估算天体的质量和密度由G2rMmrT224得：232GTr4。即只要测出环绕星体M运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量.由VM，34得：3233 RGTr. R为中心天体的星体半径特殊，当时，即卫星绕天体M表面
11、运行时，23 GT，由此可以测量天体的密度. 3. 卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系（1）由rvmrMm22得：rGM. 5即轨道半径越大，绕行速度越小（2）由2rMm得：3rGM即轨道半径越大，绕行角度越小（3）由G2rMm42Tmr 得：2GMr3即轨道半径越大，绕行周期越大. 4. 三种宇宙速度（投影） （1）第一宇宙速度（环绕速度）：v7.9km/s是人造地球卫星的最小发射速度，最 大绕行速度. （2）第二宇宙速度（脱离速度）：v11.2km/s是物体挣脱地球的引力束缚需要的 最小发射速度. （3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v16.7km/s是物体挣脱太阳的引力束缚需要的 最小
12、发射速度. 5. 地球同步卫星（投影） 所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T24h. 要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h. 由2224 )(TmhRMm（）得：R6 . 5km106 . 3R4GMT43122 表示地球半径三、万有引力复习中应注意的几个问题 1. 不同公式和问题中的r，含义不同 2. 向心加速度与重力加速度 3. 人造地球卫星的运行速度和发射速度四、典型例题 以神六、嫦娥1号为背景是今年最流行的命题方向之一 例4. 我国预计在2007年10月份发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设想嫦娥1号登月飞 船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得
13、其周期为T。飞船在月球上着陆后，自动机器人用测 力计测得质量为m的仪器重力为P。已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有（ ） A. 月球的半径 B. 月球的质量 C. 月球表面的重力加速度 D. 月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度 解析：解析：万有引力提供飞船做圆周运动的向心力，设飞船质量为m，有2224 TRmRmMG，又月球表面万有引力等于重力，月mgPRMmG2，两式联立可以6求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度月g；故A、B、C都正确。答案：答案：ABC。例5. 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98的经线在同一平面内. 若把甘肃省嘉峪关处的经
14、度和纬度近似取为东经98和北纬=40，已知地球半径R、地 球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c. 试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量 的符号表示）。 分析：分析：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，为卫星绕地球转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有2 2mrrMmG式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度与地球自转的角速度相等，有T2，因mgRMmG2，设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理cos222rRRrL所求时间为cLt ，由以上各式得cgTRRRgTRt/cos/)4(2)4(3
15、1222 232222 换轨问题 例6. 发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星 经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地 点为B。在卫星沿椭圆轨道运动经过B点再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道（远地点B 在同步轨道上），如图所示。两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很 短。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求：（1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小； （2）卫星同步轨道距地面的高度。 解析：解析：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，
16、卫星在近地圆轨道运 动接近A点时加速度为aA，根据牛顿第二定律7G2 1)(hRMm =maA可认为物体在地球表面上受到的万有引力等于重力 GmgRMm2解得Aa=ghRR2 12)(（2）设同步轨道距地面高度为h2，根据牛顿第二定律有：G2 2)(hRMm =m)(4 222 hRT由上式解得：h2=RTgR3 2224题后反思：题后反思：本题以地球同步卫星的发射为背景，考查学生应用万有引力定律解决实际 问题的能力。能力要求较高。例7. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行 ，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相
17、切于P点，如 图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度。 D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。错解：错解：因为rVmmrrMmG2 2 2，所以V=rGM，3rGM，即B选项正确，A选项错误。因为卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度，而在Q点轨道的曲率半径1r222rVa ，即C选项正确。8分析纠错：分析纠错：D选项正确，但C选项
18、错误。根据牛顿第二定律可得2rGM mFa，即卫星的加速度a只与卫星到地心的距离r有关，所以C选项错误，D选项正确。 典型错误：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。 例8. 一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现： A. 速度变小； B. 动能增大；C. 角速度变小； D. 半径变大。 错解：错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球，由卫星速度rGMV 可知，V减小则半径R必增大，又因rV，故变小，可见应该选A、C、D。 分析纠错：分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故R减小。由rGMV 可知，V要增大，动能、角速度也要增大。可见只有B选项正确。