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1、第5课时复数的开方一、复数的开方运算（1）乘方z = /（cose + isine）（棣莫弗定理）（2）开方设 z =r（cos。+ i sin。）则收=Vr（cos9 + 22 + isin 及、（攵=0,1,2,八1） nn说明：左右两边直接乘方即可注意我代表z的次方根（个），代表厂的算术次方根（1个）这样我们就可以理解jz,了,结合几何意义7i . . ncosFzsin = cos+ 2kji + Ik/u-bi sin 222 IF 2k 兀F 2k7iV V2 + V6z = 3)2V2(cosy + i sin y) = V2(cos-F/sin-)2万几何意义：（画图理解）首先
2、找到初始的一个，然后不断旋转 n二、1的次方根例如，1的3次方根，和5次方根（画图演示） k 7T0 k TT1的次方根有n个分别是cos+ isin（左= 0,1,2, 1）nn一工根 2. . m2 日 ,.、二、皿性质1： g = cos+ zsin，是1的次方根nnm-2/i、.m2兀证明：co =cos+ zsin= 1nn77r77r举例：cos匕+ isin*是1的几次方根？ 1515性质2：若是1的次方根，则。一定是1的次方根。之,6 ,4都是1的n次方根这说明若是1的次方根，则口,一定是1的次方根2k冗n证明：根据开方定义知：G = COS + zsin ，0kn-l,7 m
3、 ink 2兀.mk-2ji所以=cos+1 sinnn由性质1知它是1的次方根2万2/注意：口,苏,苏,”中不一定是个根，例如g = cos+ zsin是1的10次方根,包02,3,，切10中实际只有5个根，另外5个不在（几何意义解释） 性质3： 1的次方根的乘法除法运算是封闭的性质4： X=l的任意一个虚根。，都满足1 + G + 32+. + 3t =0证明：X一l = (x 1)(71 +X2+. + M +1) = 0上述方程的虚根一定是V +炉一2 + + 1 = 0的根即 l + G+苏-IFGl =0 1、计算(6+ D +(百1)“8(百+ 1) + (6_1)18=2近(遥
4、+四+1遥一行齐8 44=2V2(cosl5 + zsinl5)18 = 227(cos270 + zsin 270) = -z227 2、在复平面内，以方程z6= a-回，的根所对应的点为顶点的多边形面积是解析：首先敲定为正六边形，其次正六边形边长为6次方根模，即2所以面积为27r27r113、（直通车清华2015,第1题）设复数z = cos+ zsin，则 + -331-z 1-z21 3A.O B.1C.D.一2解析：显然z为1的三次方根，11 Z3 1Z2111=1= 1l z1-z2z3-z1-z2z2-l242万z4、(直通车清华 2016,第 5 题)-z = cos+ zsi
5、n，贝Uz3+f=()33z2+z + 21 V3 . n V3 1 .,1 C . V3 1 .A.11 B.1 C.1 D.- - l22222222解析：显然z为1的三次方根，3 Z2 i 21 V3 .Z H = 1 + Z = -Z =1zI + z + 2225、。是%5=1的非实数根,则以G +1)(#+1) =解析:69(69 + 1)(692 + 1) = 69 + 692 + 69 + 69，= 16、设G = cos2 + isin工。则以。，苏。为根的方程是()A. X，+ X，+ 犷 + X +1 = 0B. %4 %3 + X X +1 0C. 九+ X + 1 0
6、D. X，+ X 1 027r27r解析：g = cos + zsin 为1的10次方根 1010M=l,变形为(丁_1)(%5 +1) = 0结合图像知包。3,07心9为_除了 _的另外4个5次方根X5 +1 =(X+ 1)，-x3 +x2 - JC+1) = 0故疗9这四个根为方程/+了2x+ = o的根7、下列各式能否在实数范围内分解因式？(1) X2 +X+1 不行(2) x3 +x2 +x+l 可以(3) ) X，+ X。+ x + X + 1解析：实系数多项式在实数范围内一定可以分解成一次或者二次的乘积 (介绍什么时候一次，什么时候二次)X5 -1 = (x- l)(x4 +X3
7、+ %2 +X+1) = 0因此/ + Y + f + X +1 = 0的四个根是1的5次方根除了 1的四个虚根27r2 万即coszsin55再根据韦达定理4不. 4 coszsin X，+ _|_ jq- + % +1 =(厂 + 2 c os X +1) (12 + 2 C OS X + 1)8、设。是方程z + z-+1 = 0的一个根，0 = a ,求(1)(1)(1)(14)(1优)(/)(2)a2fl+an+l(3)1 1 111/ 。 a 邛解析：（1） z2 + z + l = 0,所以名，是1的两个三次方虚根注意到P二。2因止匕（1_2）（1_）（1_24）（1_8）=（_
8、a）（1_0（1_二）（1_0（1-0）（1-4）（1 。4）（一/）=（ 。一/ +姐）2 =9（2） （3）讲过了，分类讨论即可=0)02 ,则复数口+2 + 口20 _=0)02 ,则复数口+2 + 口20 _9、设有复数例=一工你 =cos网+ isin 22255解析:解析:.2、/24+ ism)(cos 35.2 .82 .+1 sin )=(cosF i sin5158215因此。是1的一个15次方需根 故。+g2 +,.+ 口15 =。，且周期为15因此 69 + Ct)- HF因此 69 + Ct)- HF.16)+，sm1516万= 69 = COS1510、设集合 A
9、= z|*=1,zC, 8 = z|z24 =1,zeC,则集合加=乎2匕 Az2 团中元素的个数为 解析Z = ZK，Z,8 = zz；8 = 1 ,所以M中元素由1的48次方根组成27r27r且取 Z =cosbzsin ,1 161627r . . 27rz9 = cosHsin-2424此时z =17i . . 2 4 c osF z sin ,4848所以z = z：z都是M的元素因此有48个元素_5111、已知方程M+(13x 1严=。有10个复数根小(，=1,2,3,4,5 ),则=-1 ”解析：首先如果有实根，根据题目意思为二重根变形为(正二勺=1,令丁 = 正二L则y=1它的10个复根分别为加(1 = 123,4,5 )所以用所以用13-1A13r-l ,CDi =所以，=13外，1=13加 ri41 =（13 助）（13 -助）=170 13（例 + g）5 1因止匕 二 850-1 ”