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1、3不等式第1课时 不等式的性质课前篇自主梳理知识【主题】不等式的性质1 .实数大小的比较关于实数。，b大小的比较，有以下基本事实：；a=b 妗；/?.2 .不等式的性质性质1如果cob,且bc,那么ac.性质2如果ab,那么a+cb+c.性质3如果ab, c0,那么ac be；如果 ab, cb, cd,那么a + ch+d.性质 5 如果 ab09 cd0,那么 ac bd.如果 ab0, c0时，优，其中N+, 22.答案：1. ab0 ab=0 ab b,则。/花.()(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.()(5)设 ，bR,且贝lj ，分()(6)若 a+cO+d,则。，cd.(
2、)答案：(1)解析：若x1W0,则无儿。=，。”三种关系 中的一种，没有其他大小关系.(3)解析：由不等式的性质，acrb(rab;反之，c=0时，abD =la/be.abQ,(4)解析：相乘需要看是否满足，八 而相加与正、负和零 caOf均无关系.(5)J解析：符合不等式的可乘方性.(6)解析：取。=4, c=5, b=6, c/=2,满足。+c/?+d,但不 满足ab,故此说法错误.2 .设“4, dbdB. acbdC. a+c/?+c/D. adhc答案：C3 .已知x40,则一定成立的不等式是()A.3。2aXcrC. x1aca2ax答案：B4 .已知xvl,则f+2与3x的大小
3、关系为.答案：+23x课堂篇.重难要点突破研习1作差法比较大小典例1比较下列各式的大小：(1)当xWl时，比较3V与3fx+1的大小；(2)当 x, y, zR 时，比较 5f+y?+z2 与 2iy+4x+2z2 的大小.解：(1)3炉一(3a2x+1) =(3如一3马+(工一1)= 3/(x- l)+(x- 1) =(3+ l)(x 1).因为xWl,所以x1W0, 而 3f+l0.所以(3f+1)(尢一1)0, 所以 332x+1.(2)因为 5+,2+z2(2xy+4x+2z2) =4f-4x+1 +x22xy+y2+z22z+1 = (2x Ip+ (%+(z 1 )220, 所以
4、5x2+)2+z2$:2xy+4x+2z2f当且仅当x=y=J,且z=l时，等号成立.解题探究本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与 数学运算的核心素养.延伸探究本例(1)中，若把条件“xWl”去掉，试比较所给两 式的大小.解：去掉条件。W1”后需对差的符号进行讨论， 显然3f+l0,所以当 xl 时，(3x2+l)(x-l)0, 所以 3/l 时，(3x2+l)(x-l)0, 所以3/3/一工+1.作差法比较大小的步骤2练习 1已知无)eR, P=2x1-xy+, Q=2x-,试比较 P,。的大小.+炉一21+1x-2)2+(x-l)20,所以 P2Q.解：因为 PQ=2x1xy+ 1
5、 I 2.rl=x2Ay研习2利用不等式的性质判断命题真假典例2下列命题中一定正确的是()A.A.若ab,存0,则41若 ah,且 a+ch + d,贝lj cd 若 ab 且 acbd,则 cd答案：A运用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意 捏造性质.(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意 取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便 于验证计算.练习2若心则下列不等式成立的是()A. ;B.bcC. acbcD. acbc答案：B研习3利用不等式的性质证明不等式角度1基本性质法典例 3已知cd0, e
6、0,求证:e e；.a-c b-d解题探究本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑 推理的核心素养.证明：（证法一）因为cd一#0,因为。所以ac/?一法0,所以0 a-Ie e：；,又因为e-b-（la-c b-d（证法二）右b-（la-c b-d（证法二）右（证法二）右（证法二）右ee(Z?一乃一伍一c)a) + (c的bd(ac)(bcl)ac)(bd)为 /?(), cf/一冷()，所以 ac(), bd3 /?6Z0,cdQf 又 e/?(), cf/一冷()，所以 ac(), bd3 /?6Z0,cdQf 又 e0,所以cdQf 又 e0,所以cdQf 又 e0,所以a=7cb
7、Z：d延伸探究题目中条件不变，求证改为1%；产Q，请证明.（acy答案：略角度2作差法浮典例 4若 40, /?0, =+不，q=a+b.求证：pMq.证明：pq=+-cibb-a2 , a2-.口=+丁=0j2七一力（.一 2）（ _ ）（ _ ）2S +。）abab因为 v0, b0,所以+/?0.若 a=b,则 pq=0,故=q;若 a于b,则 pqvO,故 pq.综上，p&q.（1）利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等 式进行变形，变形要等价，再者利用性质时要注意性质适用的前提条 件.（2）用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样， 变形后判断符号时要注意充分
8、利用题目中的条件.练习 3已知 ，b, cR,求证：cr+b2+(rab+bc+ca.答案：略研习4 利用不等式的性质求取值范围|典例 5已知一 14,23.(1)求xy的取值范围；(2)求31+2)，的取值范围.解：(1)因为一 144,2y3,所以一3v2,所以一4xy2.由一 144,2v)3,得33x 12,42y6,所以 131+2y18.解题探究本题主要考查不等式的性质，突出考查数学运算与 逻辑推理的核心素养.延伸探究若将本例条件改为一lr+y4,24y3,求3x+2y 的取值范围.解：设 3x+ 2y=m(x+y)+(xy),f _5m+n=3f m=T 则J所以Jtmn=2fI
9、n=2即 3x+2y=|(x+y)+；(Ly), 又因为一lr+y4,2x-y3,3 5123所以 一a+y)+(x-y)E，323即一 53叶2)，行，(3 23所以3x+2y的取值范围为一,爹利用不等式的性质求取值范围的策略（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一 次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价 变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范 围.练习4已知12605。36,求。一与和勺取值范围.解：因为 15/?36,所以-36/?15,所以 1236v一6015,即一24。一从45
10、.因为15Vb36,所以白：白，已乙,12 a 60 n 1 a所以石记，即铲Z）尸C.某变量x至少是。可表示为D.某变量y不超过。可表示为物2”答案：C2 .设。= 3fx+1, b=2x1+x,则（ ）A. ahB. a0, bhhaB. ababC. abbaD. abab答案：c4 .若 ab0, cd一jB. 一一jB. 一b+c, a+cbacB. bcdaC. dbcaD. cadb答案：A6 .若则。一的取值范围为.答案：-1,6易错误区由不等式的性质判断命题真假典例(2020.济宁高一检测)对于任意实数m h, c, d,以下四 个命题：(1)若 ah, cd,贝!J a+c
11、h+d；(2)若 a(rb(r,则 ab；(3)若公也则另;(4)若 ab, cd,则 achd.其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3C. 3C. 3D. 4解析对于(1),若/?, ccl,则+c+d,命题正确;对于(2),若(?/7c2,则4泌，命题正确；对于(3),若公也则不正确，如。=1, /?=2;对于(4),若ab, cd,则acbd不正确, 4口。=1, /?=-2, c=3, cl=-4.综上可得，正确的个数是2个.答案IB防范措施(1)同向不等式可以相加，不能相减: ab, cda+cb+d；ab, cdachd.(2)同向不等式可以相乘，不能相除：ab0, cdQacbd；abQ, cdO=A.