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1、隐函数参数方程表示隐函数参数方程表示的函数求导的函数求导第1页，本讲稿共37页第第9讲讲 隐函数及由参数方程所隐函数及由参数方程所 确定的函数确定的函数的导数的导数一、授课时间：一、授课时间：20074173、4节节二、教学目的要求：二、教学目的要求：在复习巩固上节在复习巩固上节显函数显函数 导数运算导数运算法则的基础上，讲述并要求掌握法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数隐函数与与参数方程确参数方程确定的函数定的函数的求导方法。的求导方法。三、教学重点：三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的求导；隐函数与参数方程确定的函数的求导；教学难点：教学难点：对数求导法对数求导法求幂指函数的导数。求幂
2、指函数的导数。四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。五、教学手段：多媒体适当板书。五、教学手段：多媒体适当板书。第2页，本讲稿共37页继续继续【22】课堂练习课堂练习课堂练习：课堂练习：习题习题22）2（14）第3页，本讲稿共37页复习：导数公式与求导法则复习：导数公式与求导法则1、基本导数公式、基本导数公式2、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则第4页，本讲稿共37页1 1、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导
3、数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）第5页，本讲稿共37页2 2、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则第6页，本讲稿共37页(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则注：以上公式与法则是针对注：以上公式与法则是针对 显函数而言的。显函数而言的。第7页，本讲稿共37页易知函数用解析法表示的方法有：【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则）显函数（上节已讲其求导公式与法则）【2】隐函数隐函数【3】用参数方程表示的函数，即用参数方程表示的函数，即问：对问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？表示的函数如何求导？第
4、8页，本讲稿共37页第第9讲讲 隐函数及由参数方程所隐函数及由参数方程所 确确定的函数的导数定的函数的导数【1】23隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所所确定的函数的导数确定的函数的导数【2】总结总结【3】课堂练习课堂练习第9页，本讲稿共37页【1 1】2 23 3隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所所所所确定的函数的导数确定的函数的导数确定的函数的导数确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的二、由参数方程所确定的二、由参数方程所确定的二、由参数方程所确定的 函数的导数函数的导数函数的导数
5、函数的导数第二章导数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分三、对数微分法三、对数微分法三、对数微分法三、对数微分法第10页，本讲稿共37页一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义:隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第11页，本讲稿共37页例例1 1解解解得解得第12页，本讲稿共37页课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习1 1 1 1例例例例2 2 2 2。30303030设方程设方程 x2+y2=R2(R 为常数为
6、常数)确定函数确定函数 y=y(x)，解解 将方将程两边求导，可得将方将程两边求导，可得 当当 y 0 时时或或第13页，本讲稿共37页例例 2 设方程设方程 y+x exy=0 确定了函数确定了函数 y=y(x)，解解 方程两边求导，得方程两边求导，得当当 1-xexy 0 时，解得时，解得即即第14页，本讲稿共37页例例 3 求求曲曲线线 x2+y4=17 在在 x=4 处处对对应应于于曲曲线线上上的的点的切线方程点的切线方程.解解 方程两边求导数，可得方程两边求导数，可得 即即对对应应于于 x=4 有有两两个个纵坐标，这就是说曲线上有两个点纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4,1)和
7、和 P2(4,-1).将将 x=4 代入方程，得代入方程，得 y=1.第15页，本讲稿共37页在在 P1 处的切线斜率处的切线斜率 y|(4,1)=-2，y 1=-2(x-4)即即 y+2x 9=0在点在点 P2 处的切线方程为处的切线方程为y+1=2(x-4)，即，即 y-2x+9=0 在在 P2 处处切切线线的的斜斜率率 y|(4,-1)=2.所以，在点所以，在点 P1 处的切线方程为处的切线方程为第16页，本讲稿共37页【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】设设 y=arcsin x，则，则 x=sin y，两边对，两边对 x 求导，得求
8、导，得cos y 取正号，取正号，第17页，本讲稿共37页二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?第18页，本讲稿共37页由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得第19页，本讲稿共37页例例 4设参数方程设参数方程 (椭圆方程椭圆方程)确确定了函数定了函数 y=y(x)，解解 所以所以第20页，本讲稿共37页例例5 5解解第21页，本讲稿共37页 所求切线方程为所求切线方程为第22页，本讲稿共37页例例 6 设炮弹与地平线成设炮弹与地平线成 a a 角，初速为角，
9、初速为 v0 0 射出，射出，如果不计空气阻力，以发射点为原点，如果不计空气阻力，以发射点为原点，地平线为地平线为 x 轴，轴，过原点垂直过原点垂直 x 轴方向上的直线为轴方向上的直线为 y 轴轴(如图如图).).由物理学知道它的运动方程为由物理学知道它的运动方程为求求(1)炮弹在时刻炮弹在时刻 t 时的速度大小与方向，时的速度大小与方向，(2)如如果果中中弹弹点点 与与 以以 射射 点点 同同 在在 一一 水水 平平 线线 上上，求求 炮炮 弹弹 的的 射射 程程.yOx中弹点中弹点第23页，本讲稿共37页解解 (1)炮弹的水平方向速度为炮弹的水平方向速度为 炮弹的垂直方向速度为炮弹的垂直方
10、向速度为yOx中弹点中弹点VxVy所以，在所以，在 t 时炮弹速度的大小为时炮弹速度的大小为它它的的位位置置是是在在 t 时时所所对对应应的的点点处处的的切切线线上上，且且沿沿炮炮弹弹的的前前进方向，其斜率为进方向，其斜率为第24页，本讲稿共37页(2)令令 y=0，得中弹点所对应的时刻，得中弹点所对应的时刻 第25页，本讲稿共37页三、对数求导法三、对数求导法观察函数观察函数上述函数的求导方法采用上述函数的求导方法采用对数求导法对数求导法：先对方程两边取对数先对方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.适用范围适用范围:第26页，本讲稿共37页例例7
11、7解解等式两边取对数得等式两边取对数得第27页，本讲稿共37页例例8 8解解等式两边取对数得等式两边取对数得第28页，本讲稿共37页一般地一般地第29页，本讲稿共37页课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习2 2 2 2解解两边取对数，得两边取对数，得两边求导，两边求导，例例 9 设设3第30页，本讲稿共37页所以所以第31页，本讲稿共37页【2】总结：导数公式与求导法则总结：导数公式与求导法则1、基本导数公式、基本导数公式2、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4)对数
12、求导法对数求导法(5)隐函数求导法则隐函数求导法则(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则第32页，本讲稿共37页1 1、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）第33页，本讲稿共37页2 2、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则第34页，本讲稿共37页(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出然后利用隐函数的求导方法求出导数导数.适用范围适用范围:第35页，本讲稿共37页(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则第36页，本讲稿共37页【3】课堂练习与课外作业课堂练习与课外作业课堂练习：课堂练习：习题习题23）1（5）、）、3、7（3）课外作业：课外作业：习题习题23）1（2）（）（6）、）、2、4（1）（4）、）、7（1）第37页，本讲稿共37页