复变函数测试题及答案.pdf

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1、第一章第一章复复一、一、选择题选择题数数与与复复变变函函数数1 1当当z z 1 1 i i时，时，z z100100 z z7575 z z5050的值等于（的值等于（）1 1 i i（A A）i i（B B）i i（C C）1 1（D D）1 12 2设复数设复数z z满足满足arcarc(z z 2 2)3 3，arcarc(z z 2 2)5 5，那么，那么z z （）6 6（A A）1 1 3 3i i（B B）3 3 i i（C C）1 13 33 31 1 i i（D D）i i2 22 22 22 2 3 3复数复数z z tantan i i()的三角表示式是（的三角表示式是

2、（）2 2 3 3 3 3（A A）secsec cos(cos()i isin(sin()（B B）secsec cos(cos()i isin(sin()2 22 22 22 23 3 3 3 )i isin(sin()（D D）secsec cos(cos()i isin(sin()2 22 22 22 2（C C）secsec cos(cos(4 4若若z z为非零复数，则为非零复数，则z z2 2 z z2 2与与2 2z zz z的关系是（的关系是（）（A A）z z2 2 z z2 2 2 2z zz z（B B）z z2 2 z z2 2 2 2z zz z（C C）z z2

3、2 z z2 2 2 2z zz z（D D）不能比较大小）不能比较大小 设设x x,y y为实数，为实数，z z1 1 x x 1111 yi yi,z z2 2 x x 1111 yi yi且有且有z z1 1 z z2 2 1212，则动点则动点(x x,y y)的的轨迹是（轨迹是（）（A A）圆）圆（B B）椭圆）椭圆（C C）双曲线）双曲线（D D）抛物线）抛物线一个向量顺时针旋转一个向量顺时针旋转，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为3 31 1 3 3i i，则原向量对应的复数是（，则原向量对应的复数是（）（A A）2 2

4、（B B）1 1 3 3i i（C C）3 3 i i（D D）3 3 i i2 2使得使得z z2 2 z z成立的复数成立的复数z z是（是（）（A A）不存在的）不存在的（B B）唯一的）唯一的（C C）纯虚数）纯虚数（D D）实数）实数设设z z为复数，则方程为复数，则方程z z z z 2 2 i i的解是（的解是（）（A A）3 33 33 33 3 i i（B B）i i（C C）i i（D D）i i4 44 44 44 4满足不等式满足不等式z z i i 2 2的所有点的所有点z z构成的集合是（构成的集合是（）z z i i（A A）有界区域）有界区域（B B）无界区域）

5、无界区域（C C）有界闭区域）有界闭区域（D D）无界闭区域）无界闭区域1010方程方程z z 2 2 3 3i i 2 2所代表的曲线是（所代表的曲线是（）（A A）中心为）中心为2 2 3 3i i，半径为，半径为2 2的圆周的圆周（B B）中心为）中心为 2 2 3 3i i，半径为的圆周，半径为的圆周（C C）中心为）中心为 2 2 3 3i i，半径为，半径为2 2的圆周的圆周（D D）中心为）中心为2 2 3 3i i，半径为的圆周，半径为的圆周1111下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A A）z z 1 1 2 2（B B）z z 3

6、 3 z z 3 3 4 4z z 2 2（C C）z z a a 1 1(a a 1 1)（D D）z zz z a az z a az z a aa a c c 0 0(c c 0 0)1 1 azaz1212设设f f(z z)1 1 z z,z z1 1 2 2 3 3i i,z z2 2 5 5 i i,，则，则f f(z z1 1 z z2 2)（）（A A）4 4 4 4i i（B B）4 4 4 4i i（C C）4 4 4 4i i（D D）4 4 4 4i i1313limlimIm(Im(z z)Im(Im(z z0 0)（）x xx x0 0z z z z0 0（A A

7、）等于）等于i i（B B）等于）等于 i i（C C）等于）等于0 0（D D）不存在）不存在1414函数函数f f(z z)u u(x x,y y)iv iv(x x,y y)在点在点z z0 0 x x0 0 iy iy0 0处连续的充要条件是（处连续的充要条件是（）（A A）u u(x x,y y)在在(x x0 0,y y0 0)处连续处连续（B B）v v(x x,y y)在在(x x0 0,y y0 0)处连续处连续（C C）u u(x x,y y)和和v v(x x,y y)在在(x x0 0,y y0 0)处连续（处连续（D D）u u(x x,y y)v v(x x,y y

8、)在在(x x0 0,y y0 0)处连续处连续z z2 2 z z 1 11515设设z z C C且且z z 1 1，则函数，则函数f f(z z)的最小值为（的最小值为（）z z（A A）3 3（B B）2 2（C C）1 1（D D）1 1二、填空题二、填空题1 1设设z z (1 1 i i)()(2 2 i i)()(3 3 i i)，则，则z z (3 3 i i)()(2 2 i i)2 2设设z z (2 2 3 3i i)()(2 2 i i)，则，则argargz z 3 3设设z z 5 5,arg(arg(z z i i)3 3，则，则z z 4 4(cos(cos5

9、 5 i isinsin5 5)2 24 4复数复数的指数表示式为的指数表示式为2 2(cos(cos3 3 i isinsin3 3)5 5以方程以方程z z6 6 7 7 1515i i的根的对应点为顶点的多边形的面积为的根的对应点为顶点的多边形的面积为不等式不等式z z 2 2 z z 2 2 5 5所表示的区域是曲线所表示的区域是曲线的内部的内部方程方程2 2z z 1 1 i i 1 1所表示曲线的直角坐标方程为所表示曲线的直角坐标方程为2 2(1 1 i i)z z方程方程z z 1 1 2 2i i z z 2 2 i i所表示的曲线是连续点所表示的曲线是连续点和和的线的线段的垂

10、直平分线段的垂直平分线对于映射对于映射 i i，圆周，圆周x x2 2 (y y 1 1)2 2 1 1的像曲线为的像曲线为z z1010limlim(1 1 z z2 2 2 2z z4 4)z z1 1 i i三、若复数三、若复数z z满足满足z zz z (1 1 2 2i i)z z (1 1 2 2i i)z z 3 3 0 0，试求，试求z z 2 2的取值范围的取值范围四、设四、设a a 0 0，在复数集，在复数集C C中解方程中解方程z z2 2 2 2 z z a a.五、设复数五、设复数z z i i，试证，试证z z是实数的充要条件为是实数的充要条件为z z 1 1或或I

11、MIM(z z)0 0.1 1 z z2 2六、对于映射六、对于映射 1 11 1(z z )，求出圆周，求出圆周z z 4 4的像的像.2 2z z七、试证七、试证.z z1 1 0 0(z z2 2 0 0)的充要条件为的充要条件为z z1 1 z z2 2 z z1 1 z z2 2；z z2 2z z1 1 0 0(z zj j 0 0,k k j j,k k,j j 1 1,2 2,n n)的充要条件为的充要条件为z z2 2.z z1 1 z z2 2 z zn n z z1 1 z z2 2 z zn n.八、若八、若limlimf f(z z)A A 0 0，则存在，则存在 0

12、 0，使得当，使得当0 0 z z z z0 0 时有时有f f(z z)x xx x0 01 1A A.2 2九、设九、设z z x x iy iy，试证，试证x x y y2 2 z z x x y y.十、设十、设z z x x iy iy，试讨论下列函数的连续性：，试讨论下列函数的连续性：2 2xyxy,z z 0 0 1.1.f f(z z)x x2 2 y y2 2 0 0,z z 0 0 x x3 3y y,z z 0 02.2.f f(z z)x x2 2 y y2 2 0 0,z z 0 0 第二章第二章解析函数解析函数一、选择题：一、选择题：1 1函数函数f f(z z)3

13、 3z z在点在点z z 0 0处是处是()（A A）解析的）解析的（B B）可导的）可导的（C C）不可导的）不可导的（D D）既不解析也不可导）既不解析也不可导2 2函数函数f f(z z)在点在点z z可导是可导是f f(z z)在点在点z z解析的解析的()（A A）充分不必要条件）充分不必要条件（B B）必要不充分条件）必要不充分条件（C C）充分必要条件）充分必要条件（D D）既非充分条件也非必要条件）既非充分条件也非必要条件2 23 3下列命题中，正确的是下列命题中，正确的是()（A A）设）设x x,y y为实数，则为实数，则cos(cos(x x iy iy)1 1（B B）

14、若）若z z0 0是函数是函数f f(z z)的奇点，则的奇点，则f f(z z)在点在点z z0 0不可导不可导（C C）若）若u u,v v在区域在区域D D内满足柯西内满足柯西-黎曼方程，则黎曼方程，则f f(z z)u u iv iv在在D D内解析内解析（D D）若）若f f(z z)在区域在区域D D内解析，则内解析，则if if(z z)在在D D内也解析内也解析4 4下列函数中，为解析函数的是下列函数中，为解析函数的是()（A A）x x2 2 y y2 2 2 2xyixyi（B B）x x2 2 xyixyi（C C）2 2(x x 1 1)y y i i(y y2 2 x

15、 x2 2 2 2x x)（D D）x x3 3 iy iy3 3z z 0 05 5函数函数f f(z z)z z2 2Im(Im(z z)在在处的导数处的导数()（A A）等于）等于 0 0（B B）等于）等于 1 1（C C）等于）等于 1 1（D D）不存在）不存在6 6若函数若函数f f(z z)x x2 2 2 2xyxy y y2 2 i i(y y2 2 axyaxy x x2 2)在复平面内处处解析，那么实常在复平面内处处解析，那么实常数数a a ()（A A）0 0（B B）1 1（C C）2 2（D D）2 27 7如果如果f f (z z)在单位圆在单位圆z z 1 1

16、内处处为零，且内处处为零，且f f(0 0)1 1，那么在，那么在z z 1 1内内f f(z z)()（A A）0 0（B B）1 1（C C）1 1（D D）任意常数）任意常数8 8设函数设函数f f(z z)在区域在区域D D内有定义，则下列命题中，正确的是内有定义，则下列命题中，正确的是（A A）若）若f f(z z)在在D D内是一常数，则内是一常数，则f f(z z)在在D D内是一常数内是一常数（B B）若）若Re(Re(f f(z z)在在D D内是一常数，则内是一常数，则f f(z z)在在D D内是一常数内是一常数（C C）若）若f f(z z)与与f f(z z)在在D

17、D内解析，则内解析，则f f(z z)在在D D内是一常数内是一常数（D D）若）若argarg f f(z z)在在D D内是一常数，则内是一常数，则f f(z z)在在D D内是一常数内是一常数9 9设设f f(z z)x x2 2 iy iy2 2，则，则f f (1 1 i i)()（A A）2 2（B B）2 2i i（C C）1 1 i i（D D）2 2 2 2i i1010i ii i的主值为的主值为()2 2（A A）0 0（B B）1 1（C C）e e（D D）e e1111e ez z在复平面上在复平面上()2 2（A A）无可导点）无可导点（B B）有可导点，但不解析

18、）有可导点，但不解析（C C）有可导点，且在可导点集上解析）有可导点，且在可导点集上解析（D D）处处解析）处处解析1212设设f f(z z)sinsinz z，则下列命题中，不正确的是，则下列命题中，不正确的是()（A A）f f(z z)在复平面上处处解析在复平面上处处解析（B B）f f(z z)以以2 2 为周期为周期e eiz iz e e iz iz（C C）f f(z z)（D D）f f(z z)是无界的是无界的2 21313设设 为任意实数，则为任意实数，则1 1()（A A）无定义）无定义（B B）等于）等于 1 1（C C）是复数，其实部等于）是复数，其实部等于 1 1

19、（D D）是复数，其模等于）是复数，其模等于 1 11414下列数中，为实数的是下列数中，为实数的是()（A A）(1 1 i i)（B B）coscosi i（C C）lnlni i（D D）e e3 33 3 i i2 21515设设 是复数，则是复数，则()（A A）z z 在复平面上处处解析在复平面上处处解析（B B）z z 的模为的模为z z（C C）z z 一般是多值函数一般是多值函数（D D）z z 的辐角为的辐角为z z的辐角的的辐角的 倍倍二、填空题二、填空题1 1设设f f(0 0)1 1,f f (0 0)1 1 i i，则，则limlimz z0 0f f(z z)1

20、1 z z2 2设设f f(z z)u u iv iv在区域在区域D D内是解析的，如果内是解析的，如果u u v v是实常数，那么是实常数，那么f f(z z)在在D D内是内是3 3导函数导函数f f (z z)u u v v i i在区域在区域D D内解析的充要条件为内解析的充要条件为 x x x x4 4设设f f(z z)x x3 3 y y3 3 ix ix2 2y y2 2，则，则f f (3 33 3 i i)2 22 25 5若解析函数若解析函数f f(z z)u u iv iv的实部的实部u u x x2 2 y y2 2，那么，那么f f(z z)6 6函数函数f f(z

21、 z)z zIm(Im(z z)Re(Re(z z)仅在点仅在点z z 处可导处可导7 7设设f f(z z)1 15 5z z(1 1 i i)z z，则方程，则方程f f (z z)0 0的所有根为的所有根为5 58 8复数复数i ii i的模为的模为9 9Imln(Imln(3 3 4 4i i)1010方程方程1 1 e e z z 0 0的全部解为的全部解为三三、设设w w(z z,z z)u u(f f(z z)u u(x x,y y)iv iv(x x,y y)为为z z x x iy iy的的解解析析函函数数，若若记记 w wz z z z z z z zz z z z z z

22、 z z 0 0,)iv iv(,)，则，则 z z2 22 2i i2 22 2i i四、试证下列函数在四、试证下列函数在z z平面上解析，并分别求出其导数平面上解析，并分别求出其导数1 1f f(z z)coscos x xcoshcosh y y i isinsin x xsinhsinh y y;2 2f f(z z)e ex x(x xcoscos y y y ysinsin y y)ie iex x(y ycoscos y y ix ixsinsin y y););dwdw d d2 2w w,2 2.五、设五、设w w 2 2zwzw e e 0 0，求，求dzdzdzdz3 3

23、z z xyxy2 2(x x iy iy),z z 0 0六、设六、设f f(z z)x x2 2 y y4 4试证试证f f(z z)在原点满足柯西在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导黎曼方程，但却不可导.0 0,z z 0 0 七、已知七、已知u u v v x x2 2 y y2 2，试确定解析函数，试确定解析函数f f(z z)u u iv iv.八、设八、设s s和和n n为平面向量，将为平面向量，将s s按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转即得即得n n.如果如果f f(z z)u u iv iv为解析函数，为解析函数，2 2则有则有 u u v v u u v v,（与与分别表示沿

24、分别表示沿s s,n n的方向导数）的方向导数）.s s n n s s n n n n s s九、若函数九、若函数f f(z z)在上半平面内解析，试证函数在上半平面内解析，试证函数f f(z z)在下半平面内解析在下半平面内解析.十、解方程十、解方程sinsinz z i icoscosz z 4 4i i.第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分一、选择题：一、选择题：1 1设设c c为从原点沿为从原点沿y y2 2 x x至至1 1 i i的弧段，则的弧段，则(x x iy iy2 2)dzdz()c c1 15 51 15 51 15 51 15 5（A A）i i（B B）i i（

25、C C）i i（D D）i i6 66 66 66 66 66 66 66 6z zdzdz为为()2 2(z z 1 1)()(z z 1 1)2 2设设c c为不经过点为不经过点1 1与与 1 1的正向简单闭曲线，则的正向简单闭曲线，则 c c（A A）i i i i（B B）（C C）0 0（D D）(A)(B)(C)(A)(B)(C)都有可能都有可能2 22 2sinsinz zdzdz ()2 2z zc c c c1 1 c c2 23 3设设c c1 1:z z 1 1为负向，为负向，c c2 2:z z 3 3正向，则正向，则（A A）2 2 i i（B B）0 0（C C）2

26、 2 i i（D D）4 4 i i4 4设设c c为正向圆周为正向圆周z z 2 2，则，则 c ccoscosz zdzdz()2 2(1 1 z z)（A A）sinsin1 1（B B）sinsin1 1（C C）2 2 i isinsin1 1（D D）2 2 i isinsin1 15 5设设c c为正向圆周为正向圆周z z 1 1，则，则 2 2c cz z3 3coscos1 1z z 2 2dzdz ()(1 1 z z)2 2（A A）2 2 i i(3 3coscos1 1 sinsin1 1)（B B）0 0（C C）6 6 i icoscos1 1（D D）2 2 i

27、 isinsin1 1e e 6 6设设f f(z z)d d，其中，其中z z 4 4，则，则f f (i i）()4 4 z z（A A）2 2 i i（B B）1 1（C C）2 2 i i（D D）1 17 7设设f f(z z)在单连通域在单连通域B B内处处解析且不为零，内处处解析且不为零，c c为为B B内任何一条简单闭曲线，则积分内任何一条简单闭曲线，则积分 c cf f (z z)2 2 f f (z z)f f(z z)dzdz()f f(z z)（A A）于）于2 2 i i（B B）等于）等于 2 2 i i（C C）等于）等于0 0（D D）不能确定）不能确定8 8设

28、设c c是从是从0 0到到1 1 2 2i i的直线段，则积分的直线段，则积分 zezez zdzdz （）c c（A A）1 1 e e2 2(B)(B)1 1 e e2 2(C)(C)1 1 e e2 2i i(D)(D)1 1 e e2 2i i9 9设设c c为正向圆周为正向圆周x x y y 2 2x x 0 0，则，则 2 22 2sin(sin(c cz z)4 4dzdz ()z z2 2 1 1（A A）2 22 2 i i i i（B B）2 2 i i（C C）0 0（D D）2 22 21010设设c c为正向圆周为正向圆周z z i i 1 1,a a i i，则，则

29、 c cz zcoscosz zdzdz()(a a i i)2 2（A A）2 2 ie ie（B B）2 2 i i（C C）0 0（D D）i icoscosi ie e1111设设f f(z z)在区域在区域D D内解析，内解析，c c为为D D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D D如如果果f f(z z)在在c c上的值为上的值为 2 2，那么对，那么对c c内任一点内任一点z z0 0,f f(z z0 0)()（A A）等于）等于 0 0（B B）等于）等于 1 1（C C）等于）等于 2 2（D D）不能确定）不能确定1212下列命题

30、中，不正确的是下列命题中，不正确的是()（A A）积分）积分z z a a r r 1 1dzdz的值与半径的值与半径r r(r r 0 0)的大小无关的大小无关z z a a（B B）(x x2 2 iy iy2 2)dzdz 2 2,其中其中c c为连接为连接 i i到到i i的线段的线段c c（C C）若在区域）若在区域D D内有内有f f (z z)g g(z z)，则在，则在D D内内g g(z z)存在且解析存在且解析（D D）若）若f f(z z)在在0 0 z z 1 1内解析，且沿任何圆周内解析，且沿任何圆周c c:z z r r(0 0 r r 1 1)的积分等于零，则的积

31、分等于零，则f f(z z)在在z z 0 0处解析处解析1313设设c c为任意实常数，那么由调和函数为任意实常数，那么由调和函数u u x x2 2 y y2 2确定的解析函数确定的解析函数f f(z z)u u iv iv是是()(A)(A)iz iz2 2 c c（B B）iz iz2 2 ic ic（C C）z z2 2 c c（D D）z z2 2 ic ic1414下列命题中，正确的是下列命题中，正确的是()（A A）设）设v v1 1,v v2 2在区域在区域D D内均为内均为u u的共轭调和函数，则必有的共轭调和函数，则必有v v1 1 v v2 2（B B）解析函数的实部是

32、虚部的共轭调和函数）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C C）若）若f f(z z)u u iv iv在区域在区域D D内解析，则内解析，则 u u为为D D内的调和函数内的调和函数 x x（D D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数1515设设v v(x x,y y)在区域在区域D D内为内为u u(x x,y y)的共轭调和函数，则下列函数中为的共轭调和函数，则下列函数中为D D内解析函数的是内解析函数的是()（A A）v v(x x,y y)iuiu(x x,y y)（B B）v v(x x,y y)iuiu(x x,y y)（C C）u u

33、(x x,y y)iv iv(x x,y y)（D D）u u v v i i x x x x二、填空题二、填空题1 1设设c c为沿原点为沿原点z z 0 0到点到点z z 1 1 i i的直线段，则的直线段，则 2 2z zdzdz c cz z2 2 3 3z z 2 22 2设设c c为正向圆周为正向圆周z z 4 4 1 1，则，则 dzdz c c(z z 4 4)2 2sin(sin()2 2d d,其中其中z z 2 2，则，则f f (3 3)3 3设设f f(z z)2 2 z z 4 4设设c c为正向圆周为正向圆周z z 3 3，则，则 c cz z z zdzdz z

34、 ze ez z5 5设设c c为负向圆周为负向圆周z z 4 4，则，则 dzdz 5 5c c(z z i i)6 6解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7 7设设f f(z z)在单连通域在单连通域B B内连续，且对于内连续，且对于B B内任何一条简单闭曲线内任何一条简单闭曲线c c都有都有 f f(z z)dzdz 0 0，c c那么那么f f(z z)在在B B内内8 8调和函数调和函数(x x,y y)xyxy的共轭调和函数为的共轭调和函数为9 9若函数若函数u u(x x,y y)x x3 3 axyaxy2 2为某一解析函数的虚部，则常数为某

35、一解析函数的虚部，则常数a a 1010设设u u(x x,y y)的共轭调和函数为的共轭调和函数为v v(x x,y y)，那么，那么v v(x x,y y)的共轭调和函数为的共轭调和函数为三、计算积分三、计算积分1.1.6 6z zdzdz,其中其中R R 0 0,R R 1 1且且R R 2 2;2 2z z R R(z z 1 1)()(z z 2 2)dzdz 4 42 2z z 2 2z z 2 2z z 2 22.2.四、设四、设f f(z z)在单连通域在单连通域B B内解析，且满足内解析，且满足1 1 f f(z z)1 1(x x B B).试证试证在在B B内处处有内处处

36、有f f(z z)0 0；对于对于B B内任意一条闭曲线内任意一条闭曲线c c，都有，都有 c cf f (z z)dzdz 0 0f f(z z)五、设五、设f f(z z)在圆域在圆域z z a a R R内解析，若内解析，若maxmax f f(z z)MM(r r)(0 0 r r R R)，z z a a r r则则f f(n n)(a a)n n!MM(r r)(n n 1 1,2 2,).n nr r e ez zdzdz，从而证明，从而证明 e ecoscos cos(sincos(sin)d d .六、求积分六、求积分 0 0z zz z 1 1七、设七、设f f(z z)在

37、复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a a,b b，试求极限，试求极限f f(z z)dzdz并由此推证并由此推证f f(a a)f f(b b)（刘维尔（刘维尔 LiouvilleLiouville 定理）定理）.R R(z z a a)()(z z b b)z z R Rlimlim八、设八、设f f(z z)在在z z R R(R R 1 1)内解析，且内解析，且f f(0 0)1 1,f f (0 0)2 2，试计算积分，试计算积分z z 1 1(z z 1 1)2 2f f(z z)dzdz2 2z z并由此得出并由此得出 c

38、oscos2 20 02 2 2 2f f(e ei i)d d 之值之值.九、设九、设f f(z z)u u iv iv是是z z的解析函数，证明的解析函数，证明 2 2ln(ln(1 1 f f(z z)x x2 22 2 2 2ln(ln(1 1 f f(z z)y y2 22 2 4 4 f f (z z)2 22 22 2(1 1 f f(z z).十、若十、若u u u u(x x2 2 y y2 2)，试求解析函数，试求解析函数f f(z z)u u iv iv.第四章第四章级级数数一、选择题：一、选择题：(1 1)n n nini(n n 1 1,2 2,)，则，则limlim

39、a an n()1 1设设a an n n n n n 4 4（A A）等于）等于0 0（B B）等于）等于1 1（C C）等于）等于i i（D D）不存在）不存在2 2下列级数中，条件收敛的级数为下列级数中，条件收敛的级数为()(3 3 4 4i i)n n1 1 3 3i in n)（B B）（A A）(n n!2 2n n 1 1n n 1 1 (1 1)n n i ii in n（C C）（D D）n nn n 1 1n n 1 1n n 1 1 3 3下列级数中，绝对收敛的级数为下列级数中，绝对收敛的级数为()(1 1)n ni i1 1i i n n（B B）(1 1)（B B）n

40、 nn n2 2n n 1 1n n 1 1n n (1 1)n ni in ni in n(C)(C)（D D）n n2 2n n 1 1n n 2 2lnlnn n 4 4若幂级数若幂级数 c cn nz zn n在在z z 1 1 2 2i i处收敛，那么该级数在处收敛，那么该级数在z z 2 2处的敛散性为处的敛散性为()n n 0 0（A A）绝对收敛）绝对收敛（B B）条件收敛）条件收敛（C C）发散）发散（D D）不能确定）不能确定5 5 设幂级数设幂级数 c cn nz z,ncncn nz zn nn n 0 0n n 0 0 n n 1 1和和 c cn nn n 1 1z

41、 z的收敛半径分别为的收敛半径分别为R R1 1,R R2 2,R R3 3，则则R R1 1,R R2 2,R R3 3n n 0 0n n 1 1 之间的关系是之间的关系是()（A A）R R1 1 R R2 2 R R3 3（B B）R R1 1 R R2 2 R R3 3（C C）R R1 1 R R2 2 R R3 3（D D）R R1 1 R R2 2 R R3 36 6设设0 0 q q 1 1，则幂级数，则幂级数 q qn nz zn n的收敛半径的收敛半径R R ()n n 0 0 2 2（A A）q q（B B）1 1（C C）0 0（D D）q q7 7幂级数幂级数 n

42、n 1 1 sinsinn n 2 2(z z)n n的收敛半径的收敛半径R R ()n n2 2（A A）1 1（B B）2 2（C C）2 2（D D）(1 1)n nn n 1 1z z在在z z 1 1内的和函数为内的和函数为8 8幂级数幂级数 n n 1 1n n 0 0（A A）ln(ln(1 1 z z)（B B）ln(ln(1 1 z z)（D D）lnln1 11 1(D)(D)lnln1 1 z z1 1 z z e ez zn n9 9设函数设函数的泰勒展开式为的泰勒展开式为 c cn nz z，那么幂级数，那么幂级数 c cn nz zn n的收敛半径的收敛半径R R

43、()coscosz zn n 0 0n n 0 0（A A）（B B）1 1（C C）（D D）2 21010级数级数1 11 12 2 1 1 z z z z 的收敛域是的收敛域是()2 2z zz z（A A）z z 1 1（B B）0 0 z z 1 1（C C）1 1 z z （D D）不存在的）不存在的1111函数函数1 1在在z z 1 1处的泰勒展开式为处的泰勒展开式为()2 2z z（A A）(1 1)n n(z z 1 1)n nn n 1 1 n n 1 1(z z 1 1 1 1)（B B）(1 1)n n 1 1n n(z z 1 1)n n 1 1n n 1 1(z

44、z 1 1 1 1)（C C）n n(z z 1 1)n n 1 1 n n 1 1(z z 1 1 1 1)（D D）n n(z z 1 1)n n 1 1n n 1 1(z z 1 1 1 1)1212函数函数sinsinz z，在，在z z 2 2处的泰勒展开式为处的泰勒展开式为()(1 1)n n(z z )2 2n n 1 1（A A）2 2n n 0 0(2 2n n 1 1)!)!(z z 2 2 )(1 1)n n(z z )2 2n n（B B）2 2n n 0 0(2 2n n)!)!(z z 2 2 )(1 1)n n 1 1(z z )2 2n n 1 1（C C）2

45、2n n 0 0(2 2n n 1 1)!)!(z z 2 2 )(1 1)n n 1 1(z z )2 2n n（D D）2 2n n 0 0(2 2n n)!)!(z z 2 2 )1313设设f f(z z)在圆环域在圆环域H H:R R1 1 z z z z0 0 R R2 2内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为f f(z z)dzdz ()c c(z z z z)2 20 0n n c c n n(z z z z)，c c为为H H内绕内绕n n0 0z z0 0的任一条正向简单闭曲线，那么的任一条正向简单闭曲线，那么(A)(A)2 2 ic ic 1 1（B B）2 2 ic ic1

46、1（C C）2 2 ic ic2 2（D D）2 2 i if f (z z0 0)3 3n n (1 1)n n,n n 0 0,1 1,2 2,n nc c z z1414若若c cn n ，则双边幂级数，则双边幂级数的收敛域为的收敛域为()n nn n4 4,n n 1 1,2 2,n n （A A）1 11 1 z z （B B）3 3 z z 4 44 43 3（C C）1 11 1 z z （D D）z z 4 43 31515设函数设函数f f(z z)m m ()1 1在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m m个，那么个，那么z z(z z

47、1 1)()(z z 4 4)（A A）1 1（B B）2 2（C C）3 3（D D）4 4二、填空题二、填空题1 1 若若 幂幂 级级 数数 c cn n 0 0 n n(z z i i)n n在在z z i i处处 发发 散散，那那 么么 该该 级级 数数 在在z z 2 2处处 的的 收收 敛敛 性性为为2 2设幂级数设幂级数 c cn nz z与与 Re(Re(c cn n)z zn n的收敛半径分别为的收敛半径分别为R R1 1和和R R2 2，那么，那么R R1 1与与R R2 2之间的关之间的关n nn n 0 0n n 0 0 系是系是3 3幂级数幂级数(2 2i i)n n

48、z z2 2n n 1 1的收敛半径的收敛半径R R n n 0 0 4 4设设f f(z z)在区域在区域D D内解析，内解析，z z0 0为内的一点，为内的一点，d d为为z z0 0到到D D的边界上各点的最短距离，那的边界上各点的最短距离，那么当么当z z z z0 0 d d时，时，f f(z z)c cn n(z z z z0 0)n n成立，其中成立，其中c cn n n n 0 0 5 5函数函数arctanarctanz z在在z z 0 0处的泰勒展开式为处的泰勒展开式为6 6设设幂幂级级数数 c cn n 0 0 n nz z的的收收敛敛半半径径为为R R，那那么么幂幂级

49、级数数n n(2 2n n 0 0 n n 1 1)c cn nz zn n的的收收敛敛半半径径为为 1 1z zn nn n(1 1)(1 1)的收敛域为的收敛域为7 7双边幂级数双边幂级数(1 1)2 22 2(z z 2 2)n n 1 1n n 1 1n n 8 8函数函数e e e e在在0 0 z z 内洛朗展开式为内洛朗展开式为z z 1 1z z9 9设函数设函数cotcotz z在原点的去心邻域在原点的去心邻域0 0 z z R R内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为数收敛域的外半径数收敛域的外半径R R n n c cn nz zn n，那么该洛朗级，那么该洛朗级1010函数函

50、数1 1在在1 1 z z i i 内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为z z(z z i i)1 1n na a z z三、若函数三、若函数在在处的泰勒展开式为处的泰勒展开式为，则称，则称 a an n 为菲波那契为菲波那契(Fibonacci)(Fibonacci)z z 0 0 n n2 21 1 z z z zn n 0 0数列，试确定数列，试确定a an n满足的递推关系式，并明确给出满足的递推关系式，并明确给出a an n的表达式的表达式四、试证明四、试证明1 1e ez z 1 1 e e 1 1 z ze ez zz z(z z ););2 2(3 3 e e)z z e ez z