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1、创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日20212021 年上学期东城区高三数学文科综合测试卷年上学期东城区高三数学文科综合测试卷创创 作人：作人：埃半来埃半来日日 期：期：二二 OO 二二二二 年年 1 1 月月 1111 日日本套试卷分第本套试卷分第 I I 卷选择题和第卷选择题和第IIII 卷非选择题两局部。第卷非选择题两局部。第I I 卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第IIII 卷卷 3 3至至 9 9 页，一共页，一共 150150 分。考试时间是是分。考试时间是是 120120 分钟。分钟。第第 I I 卷选择题卷选择题一共一共 4040 分分参考公式：1假
2、如事件 A、B 互斥，那么P(A B)P(A)P(B)2假如事件 A、B 互相 HY，那么P(AB)P(A)P(B)3假如事件A 在一次试验中发生的概率是p，那么n 次 HY 重复试验中恰好发生 k 次的概率Pn(k)Cnpk(1 p)nk4球的外表积公式S 4R其中 R 表示球的半径5球的体积公式V 2k43R其中 R 表示球的半径3一.选择题：本大题一一共 8 个小题，每一小题 5 分，一共 40 分。在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。1.过点-1，3且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为A.2x y 1 0 B.2x y 5 0C.x 2y 5 0 D.x
3、2y 7 0 2.假设a、b都是单位向量，那么|a b|的取值范围是 A.1，2B.0，2C.1，2D.0，2 3.圆心在 y 轴上且通过点3，1的圆与 x 轴相切，那么该圆的方程是创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：22二 O 二二 年 1 月 11 日22A.x y 10y 0 B.x y 10y 0C.x y 10 x 0 D.x y 10 x 0 4.不等式|x|22222的解集为x 1A.x|x 2或x 1 B.x|1 x 2C.x|x 1或x 2 D.x|1 x 2 5.数列an一共有七项，其中五项为1，两项为2，那么满足上述条件的数列
4、an一共有 A.21 个B.25 个C.32 个D.42 个 6.如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为C1C的中点，那么异面直线D1A与 EO 所成角的余弦值为 A.12B.32C.63D.33 7.函数y f(x)的图象过原点且它的导函数y f(x)的图象是如下图的一条直线，那么y f(x)图象的顶点在 A.第 I 象限B.第 II 象限C.第 III 象限D.第 IV 象限创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日 8.平面/平面，直线l，点P l，平面、间的间隔 为 a
5、，那么在内到点 P 的间隔 为 c 且到直线l的间隔 为 ba b c的点的轨迹 A.是一个圆第第 IIII 卷卷非选择题一共 110 分二.填空题：本大题一一共6 小题，每一小题 5 分，一共 30 分。把答案填在题中横线上。9.某单位有业务人员 120 人，管理人员 24 人，后勤效劳人员 16 人，现用分层抽样的方法从本单位的所有职工中抽取一个容量为 n 的样本，从管理人员中抽取3 人，那么 n=_。B.是两条直线C.不存在D.是四个点x cos 10.曲线C：的 HY 方程为_；准线方程为_。y 2sin 11.函数f(x)a 2是 R 上的奇函数，那么 a=_；fx2 113 _。5
6、x 3 12.设 x、y 满足x y 6 0，那么该不等式组表示的平面区域的面积为_；x y 0z 2x y的最大值是_。1 13.x 的展开式中，前三项系数的绝对值依次组成一个等差数列，那么32 xn=_；展开式中第五项的二项式系数为_用数字答题。n创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日 14.函数f(x)sinx，(sinx cosx)cosx，(sinx cosx)，给出以下四个结论：1当且仅当x 2k(k Z)时，f(x)获得最小值；2f(x)是周期函数；3f(x)的值域是1，14当且仅当2k2 x 2k 2
7、(k Z)时，f(x)0。其中正确的结论序号是_把你认为正确的结论序号都写上。三.解答题：本大题一一共 6 个小题，一共 80 分。解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。15.本小题满分是 13 分sin2cos2101，tan。求252Isin 的值；IItan(2)的值。16.本小题满分是 13 分一台设备由三大部件构成，在设备运转中，一天之内各部件需要调整的概率分别为、。假设各部件的状态互相 HY。I求一天之内只有一个部件需要调整的概率；II求一天之内至少有两个部创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：件需要调整的概率；17.本小题满分是 1
8、4 分二 O 二二 年 1 月 11 日在四边形 ABCD 中，AD/BC，AD=AB=1，BCD 45，BAD 90，将ABD 沿对角线 BD 折起到如下图 PBD 的位置，使平面PBD平面BCD。I求证：CDPB；II求二面角P BC D的大小用反三角函数表示；III求点 D 到平面 PBC 的间隔。18.本小题满分是 13 分等差数列an的前 9 项和为 153。I数列an中是否存在确定的项，假设存在，恳求出该项，假设不存在，请说明理创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：由；二 O 二二 年 1 月 11 日II假设a2 8，bn 2n，求数列
9、bn前 n 项的积Tn；aIII假设从数列an中，依次取出第二项、第四项、第八项，第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列cn，求数列cn的前 n 项和Sn。19.本小题满分是 13 分函数f(x)x 2x x 4，g(x)ax x 8。I求函数f(x)的极值；II假设对任意的x 0，都有f(x)g(x)，务实数 a 的取值范围。20.本小题满分是 14 分322创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：2二 O 二二 年 1 月 11 日直线l过 M1，0与抛物线x 2y交于 A、B 两点，O 为坐标原点，点P 在 y 轴的右11侧且满足OP OAOB。
10、22I求 P 点的轨迹 C 的方程；II假设曲线C 的切线斜率为，满足MB MA，点A 到 y 轴的间隔 为 a，求a的取值范围。参考答案参考答案一.选择题 1.A2.D3.B4.C 5.A6.C7.A8.D二.填空题 9.20y24 3 1，y 10.x 432 11.1，2；12.36，15；13.8，70；14.2、4注：10、11、12、13 小题第一个空 3 分，第二个空 2 分。三.解答题创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日 15.解：I由sin2 cos221052得：sin cos225sin21
11、分223 2sincos2253sin5II 2sin2cos cos22255分3，sin25453tan 4cos 又tan(7分12)18分22tan14tan2 131 tan214tan 10分34 tan tan2743tan(2)1 tantan234241 43 16.解：用13 分Ai表示一天之内第 i 个部件需要调整 的事件，2 分(i 1、2、3)，那么P(A1)010.，P(A2)0.20，P(A3)0.30以表示一天之内需要调整的部件数，那么IP(分 1)P(A1A2A3)P(A2A1A3)P(A3A1A2)0.3987创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月
12、 11 日创 作人：埃半来日 期：IIP(分 17.解法一：IBAD二 O 二二 年 1 月 11 日 2)1 P(0)P(1)1 P(A1 A2 A3)P(1)0.09813 90，AD ABADB ABD 45 AD/BCBCD 45BDC 90BDDC又平面PBD平面BCD，CD CD平面PBD平面BCD PB 平面PBDCDPB5分II过 P 作PEBD于E，由平面PBD平面BCD得PE平面BCD，过E作EFBC于F，连接PF由三垂线定理可证PFBCPFE为二面角P BC D的平面角 PB PD 1121，EF BE 222在RtPEF中，PEF 90PEtanPFE 2EF PE B
13、E 二面角P BC D的大小为 arctan29 分创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日III设 D 到平面 PBC 的间隔 为 h，由PB 1可求出BD DC 2，BC=2，PC PBPD,PBCD,PDCD D PB平面PCD PC 平面PCD PBPCVCPBDVDPBC111132 PB PD DC 32 PB PC h PD DC PC hh PD DC6PC314分解法二：BAD 90，AD ABADB ABD 45 AD/BCBCD 45BDC 90BDDC如下图建立空间直角坐标系D xyz那么D(0
14、，0，0)，B2，0，0，C0，2，0，P2 2，0，22创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日3。3 分创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日22ICD 0，2，0，PB ，0，22CD PB 0CD PBCDPB5分有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此 HY 给分II取平面 BDC 的法向量n (0，0，1)设平面 PBC 的法向量为m (x，y，z)2222 PB ，0，2，PC 2 2 22x z 0m PB 0，即x 2y z 0m PC 0令x z 1，y 1 m (1，1，1)n m13cos n，m 313|n|m|BC D的大小为
15、arccos3311分二面角P III过 D 做DM平面PBC于点M创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：DC m3cos DC，m 3|DC|m|二 O 二二 年 1 月 11 日D到平面PBC的距离|DM|DC|cos DC，m 18.解：I数列6314 分an中存在确定的项。1 分9(a1 a9)92a5 9a5 15322a5 174分S9II设数列an的公差为 d，那么a2 a1 d 8a5 a1 4d 17a1 5d 37分an 3n 2Tn b1b2b3 bn 2 2 2583n2 2(3n7)n29 分IIISn a2a4a8 a2n
16、 3(248 2n)2n 32n113 分2n 6 19.解：I令ff(x)3x2 4x 1(x)0解得x1 1或x2 13当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下：创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：xf(x)f(x)当 x=-1 时，当x二 O 二二 年 1 月 11 日，1+增函数10极大值11，3减函数130极小值1，3+增函数f(x)获得极大值为4；。6 分 1112时，f(x)获得极小值为327II设F(x)F(x)f(x)g(x)x3(2 a)x2 48 分 0在0，恒成立 F(x)min 0，x 0，0，显然F(x)min
17、4 09 分假设2 a假设2 a令F(x)0，F(x)3x2(4 2a)x 0，解得x 0，x 2a 432a 4时，F(x)032a 4当x 时，F(x)03当0 x 当x2a 40，时，F(x)min F 03322a 42a 4即(a 2)4 033解不等式得a 5，2 a 5当x 0时，F(x)4满足题意。12 分综上所述 a 的取值范围为，513 分2 分 20.解：I直线l与x轴垂直时与抛物线交于一点，不满足题意。设直线l的方程为把xy k(x 1)y k(x 1)代入抛物线x2 2y得：22kx 2k 0创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日
18、 期：A(x1，y1)、B(x2，y2)二 O 二二 年 1 月 11 日设两交点为则x1 x2 2k，x1x2 2k 4k28k 0 k 2或k 04分设P(x，y)，则OP (x，y)，OA (x1，y1)，OB (x2，y2)11OP OAOB22x y111(x1 x2)k，y(y1 y2)k(x11)k(x21)k2 k2226 分 x2 x又 P点在y轴的右侧x 0又x k，k 2或k 07分x 2轨迹C的方程为y x2 x(x 2)II曲线C的方程为y x2 x(x 2)y 2x 1(x 2)39分 MB (x21，y2)，MA (x11，y1)MB MAx21(x11)y2y1又x2 2y2，x1 2y1x21(x11)22xx12x2x1122x2x1把1代入2得：x1222(1)(2)2x11 011分解得：x1241 121(3)12 分a x1 1创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日33，11，1a的取值范围为13314 分创 作人：埃半来日 期：二 O 二二 年 1 月 11 日