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1、选修选修 4 45 5不等式选讲不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|ab|a|b|(a，bR R)(2)|ab|ac|cb|(a，bR R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有绝对值的不等式的解法Word资料(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)b0 时等号成
2、立()(2)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立()(3)|axb|c(c0)的解等价于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，则 x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x1 的解集是()Ax|0 x2Bx|1x2Cx|0 x1Dx|1x3解析解法一：x1 时，满足不等关系，排除 C、D、B，故选 A.x1，x12，解法二：令 f(x)13x，x12，则 f(x)1 的解集为x|0 x2答案A3设|a|1，|b|2B|ab|ab|2C|ab|ab|2D不能比较大小解析|ab|ab|2a|2.Word资料)答案B4 若 a，b，c(0，)，且
3、 abc1，则 a b c的最大值为()A1C.3B 2D2解析(a b c)2(1 a1 b1 c)2(121212)(abc)3.1当且仅当 abc3时，等号成立(a b c)23.故 a b c的最大值为 3.故应选 C.答案C5若存在实数 x 使|xa|x1|3 成立，则实数 a 的取值围是_解析利用数轴及不等式的几何意义可得 x 到 a 与到 1 的距离和小于 3，所以 a 的取值围为2a4.答案2a4考点一含绝对值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间
4、Word资料(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(1)(2015卷)不等式|x1|x5|2 的解集是()A(，4)C(1,4)B(，1)D(1,5)51的解集为x3x3(2)(2014卷)若关于 x 的不等式|ax2|3_.，则a解题指导切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进Word资料行分类讨论解析(1)当 x1 时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当 1x5 时，不等式可化为 x1(x5)2，即2
5、x62，解得x5 时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为(，4)故选 A.(2)|ax2|3，1ax0 时，axa，与已知条件不符；当 a0 时，xR，与已知条件不符；5151，故 a3.x当 a0 时，axa，又不等式的解集为 x33答案(1)A(2)3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值Word资料对点训练已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x
6、4|的解集包含1,2，求 a 的取值围解2x5，x2，(1)当 a3 时，f(x)1，2x3，2x5，x3.当 x2 时，由 f(x)3 得2x53，解得 x1；当 2xc 或|xa|xb|k 的解集为 R，则实数 k 的取值围是_解题指导切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，1 171 171a22a23，解得a.44Word资料1 171 17.即实数 a 的取值围是，44(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，1,2 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 PAPBk 恒成立AB3，即|x1|x2|3
7、.故当 k3 时，原不等式恒成立解法二：令 y|x1|x2|，3，x1，则 y2x1，1xk 恒成立，从图象中可以看出，只要 k3 即可故 k1 171 17(2)(，3)答案(1)，44Word资料解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的 x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即 f(x)f(x)max，f(x)a 恒成立acd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd 得(a b)2(c d)2.因此 a b c d.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得 a b c d.若 a b c d，则(a b)2(c
8、d)2，即ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|c d是|ab|cd|的充要条件分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆Word资料对点训练(2014新课标全国卷)设 a、b、c 均为正数，且 abc1.证明：1(1)abbcac3；a2b2c2(2)bca1.证明(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca 得 a2b2c2abbcca.
9、由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.1所以 3(abbcca)1，即 abbcca3.a2b2c2(2)因为bb2a，cc2b，aa2c，a2b2c2故bca(abc)2(abc)，a2b2c2即bcaabc.a2b2c2所以bca1.方法规律总结方法技巧1绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号2绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件Word资料3在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数易错点睛1对含有参数的不等式求解时，分类要完整2应用基本不等式和柯西不等式证明时要
10、注意等号成立的条件课时跟踪训练课时跟踪训练(七十七十)一、填空题1不等式|2x1|3 的解集为_解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2 的解集为x|1x3，则实数 k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|2 的解集为_1解析当 x2时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即3x22113，此时3x2.当2x1 时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即 x0，12此时2x0.当 x1 时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即 3x2，x3，此22时不等式无解，综上，原不等式的解为3x0，即原不
11、等式的解集为3，0.2答案3，04 已知关于 x 的不等式|x1|x|k 无解，则实数 k 的取值围是_解析|x1|x|x1x|1，当 k1 时，不等式|x1|x|k 无解，故 k1.答案(，1)5(2015统考)若关于实数 x 的不等式|x5|x3|a 无解，则实数 a 的取Word资料值围是_解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故 a8.答案(，86(2015卷)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.解析当 a1 时，f(x)3|x1|0，不满足题意；当 a1 时，f(x)3x12a，xa，x12a，a1，f(x)minf(a)3a12a5，解得 a6；当 a3x1
12、2a，x1，1 时，f(x)x12a，1a，4.答案6 或 4f(x)minf(a)a12a5，解得 a7若关于 x 的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数 a 的取值围是_解析f(x)|x1|x2|2x1x1，31x0 的解集为 R R，则实数 a 的取值围是_解析若 x1(x1)2对任意的 x1，)恒成立，即(a1)(a1)2x0 对任意的 x1，)恒成立，所以a10，a10，(舍去)或对任意的 x1，恒成立，解得 a2x，a12x，Word资料a0 时，将不等式5aa整理，得 a25a40，无解；当 a0 时，4将不等式5aa整理，得 a25a40，则有 a4 或1a0.综上可知，
13、实数 a 的取值围是(，41,0)答案(，41,0)二、解答题13已知不等式 2|x3|x4|2a.(1)若 a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求 a 的取值围解(1)当 a1 时，不等式即为 2|x3|x4|2，若 x4，则 3x102，x4，舍去；若 3x4，则 x22，3x4；8若 x3，则 103x2，3x3.8综上，不等式的解集为x3x4.(2)设 f(x)2|x3|x4|，则Word资料3x10，x4，f(x)x2，3x1，a2，即 a 的取值围为2，.14(2015新课标全国卷)已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x
14、)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值围解(1)当 a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；2当1x0，解得3x0，解得 1x12的解集为x3x2.x12a，xa.所以函数 f(x)的图象与 x2a1轴围成的三角形的三个顶点分别为 AB(2a1,0)，C(a，a1)，ABC，0，32的面积为3(a1)2.2由题设得3(a1)26，故 a2.所以 a 的取值围为(2，)15设函数 f(x)|x1|xa|.(1)若 a1，解不等式 f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求 a 的取值围解(1)当
15、a1 时，f(x)|x1|x1|，Word资料2x，x1.作出函数 f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式 f(x)3 的解集为33xx 或x22.(2)若 a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；2xa1，xa，若 a1，f(x)1a，ax1，f(x)a1，1x0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c 的最小值为4.Word资料(1)求 abc 的值；11(2)求4a29b2c2的最小值解(1)因为 f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb 时，等号成立又 a0，b0，所以|ab|ab，所以 f(x)的最小值为 abc.又已知 f(x)的最小值为 4，所以 abc4.(2)由(1)知 abc4，由柯西不等式得121224a 9b c(491)ba2233c12(abc)216，118即4a29b2c27.11a23bc当且仅当231，8182即 a7，b7，c7时等号成立118故4a29b2c2的最小值为7.Word资料