《2022年《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题82 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题82 .pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、选修 45不等式选讲最新考纲： 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： (1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)? f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)? af(x)b0时等号成立 ()(2)对|ab|a|b|
2、当且仅当 ab0 时等号成立 ()(3)|axb|c(c0)的解等价于 caxbc.()(4)不等式 |x1|x2|1，xy2，则 x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2不等式 |2x1|x1 的解集是 ()A x|0 x2 B x|1x2C x|0 x1 D x|1x3解析解法一： x1 时，满足不等关系，排除C、D、B，故选 A.解法二：令 f(x)Error! 则 f(x)1 的解集为 x|0 x2 答案A3设|a|1，|b|2 B|ab|ab|2C|ab|ab|2 D不能比较大小解析|ab|ab|2a|2.答案B4若 a，b，c(0， )，且 abc1，则的最大值为 ()
3、abcA1 B2C.D23解析()2(111)2 (121212)(abc)abcabc3.当且仅当 abc 时，等号成立13()23.abc故的最大值为.故应选 C.abc3答案C5若存在实数 x 使|xa|x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_解析利用数轴及不等式的几何意义可得x 到 a 与到 1 的距离和小于 3，所以 a 的取值范围为 2a4.答案2a4考点一含绝对值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等
4、式，解这些不等式，求出它们的解集(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(1)(2015 山东卷 )不等式 |x1|x5|2 的解集是 ()A(， 4) B(，1)C(1,4) D(1,5)(2)(2014 湖南卷 )若关于 x的不等式 |ax2|3的解集为 Error! ，则a_.解题指导 切入点： “脱掉”绝对值
5、符号； 关键点： 利用绝对值的性质进行分类讨论解析(1)当 x1 时，不等式可化为 (x1)(x5)2，即42，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当 1x5 时，不等式可化为x1(x5)2，即 2x62，解得 x5 时，不等式可化为 (x1)(x5)2，即 42，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为 (，4)故选 A.(2)|ax2|3， 1ax0 时， x ，与已知条件不符；1a5a当 a0 时，xR，与已知条件不符；当 a0 时， x ，又不等式的解集为 Error! ，故 a3.5a1a答案(1)A(2)3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点； (2)划区
6、间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 对点训练已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含 1,2，求 a 的取值范围解(1)当 a3 时，f(x)Error!当 x2 时，由 f(x)3 得2x53，解得 x1；当 2x
7、c 或|xa|xb|k 的解集为 R，则实数 k的取值范围是_解题指导 切入点： 绝对值的几何意义； 关键点： 把恒成立问题转化为最值问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2 a23，解得a.121 1741 174即实数 a 的取值范围是.1 174，1 174(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，1,2 在数轴上对应的点分别为 P，A，B
8、，则原不等式等价于PAPBk 恒成立 AB3，即|x1|x2|3.故当 kk 恒成立，从图象中可以看出，只要k3 即可故k3 满足题意答案(1)(2)(，3)1 174，1 174解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a 恒成立? acd，则；abcd(2)是|ab|cd 得()2()2.abcd因此.abcd(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.abcd若，则()2()2，即abcdabcdab2cd2.abcd因为 abcd，所以 abcd.于是(ab
9、)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件abcd分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆对点训练(2014 新课标全国卷 )设 a、b、c均为正数，且 abc1.
10、证明：(1)abbcac ；13(2)1.a2bb2cc2a证明(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca 得a2b2c2abbcca.由题设得 (abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca .13(2)因为b2a，c2b，a2c，a2bb2cc2a故(abc)2(abc)，a2bb2cc2a即abc.a2bb2cc2a所以1.a2bb2cc2a 方法规律总结 方法技巧 1绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号2绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件3在证明不等式时，应根据命题提
11、供的信息选择合适的方法与技巧如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数易错点睛 1对含有参数的不等式求解时，分类要完整2应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 课时跟踪训练 (七十)一、填空题1不等式 |2x1|3的解集为 _解析|2x1|3? 32x13? 1x2.答案(1,2)2若不等式 |kx4|2 的解集为 x|1x3，则实数 k_.解析|kx4
12、|2， 2kx42，2kx6.不等式的解集为 x|1x3，k2.答案23不等式 |2x1|x1|2 的解集为 _解析当 x 时，原不等式等价为 (2x1)(x1)2，即123x ，此时x .当 x1 时，原不等式等价为 (2x1)23231212(x1)2，即 x0，此时x0.当 x1 时，原不等式等价为 (2x1)(x1)122，即 3x2，x ，此时不等式无解，综上，原不等式的解为x0，即原不2323等式的解集为.(23， 0)答案(23， 0)4已知关于 x 的不等式 |x1|x|k 无解，则实数 k的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当 k1时，不等式 |x1|x|k 无解，故
13、k1.答案(，1)5(2015 西安统考 )若关于实数 x 的不等式 |x5|x3|a 无解，则实数 a的取值范围是 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故 a8.答案(，86(2015 重庆卷 )若函数 f(x)|x1|2|xa|的最小值为 5，则实数a_.解析当 a1 时，f(x)3|x1|0，不满足题意；当a1 时，f(x)Error! f(x)mi
14、nf(a)a12a5，解得 a4.答案6 或 47若关于 x 的不等式 |a|x1|x2|存在实数解，则实数a 的取值范围是_ 解析f(x)|x1|x2|Error!f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即 a3 或 a3.答案(，33，)8已知关于 x 的不等式 |xa|1x0的解集为 R，则实数 a 的取值范围是_ 解析若 x1(x1)2对任意的x1，)恒成立，即 (a1)(a1)2x0 对任意的 x1，)恒成立，所以Error! (舍去)或Error! 对任意的 x1，恒成立，解得 a1.综上， a0 时，将不等式 5a 整理，得 a25a40，无解；4a4a当 a0 时，将
15、不等式 5a 整理，得 a25a40，则有 a4 或4a1a0.综上可知，实数 a 的取值范围是 (，41,0)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 答案(，41,0)二、解答题13已知不等式 2|x3|x4|2a.(1)若 a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围解(1)当 a1时，不等式即为2|x3|x4|2，若 x4，则 3x102，x4，舍去；若 3x4，则
16、 x22，3x4；若 x3，则 103x2， 1，a ，即 a 的取值范围为.12(12， )14(2015 新课标全国卷 )已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围解(1)当 a1时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当1x0，解得 x0，解得 1x1 的解集为 Error! .名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
17、- - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - (2)由题设可得， f(x)Error! 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC 的面积为(a1)2.(2a13， 0)23由题设得(a1)26，故 a2.23所以 a 的取值范围为 (2，)15设函数 f(x)|x1|xa|.(1)若 a1，解不等式 f(x)3；(2)如果? xR，f(x)2，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，f(x)Error!作出函数 f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不
18、等式f(x)3 的解集为Error! .(2)若 a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若 a1，f(x)Error!f(x)的最小值为 a1.对于 ? xR，f(x)2 的充要条件是 |a1|2，a 的取值范围是 (，13，)16(2015 福建卷 )已知 a0，b0，c0，函数 f(x)|xa|xb|c 的最小值为 4.(1)求 abc 的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - (2)求
19、a2 b2c2的最小值1419解(1)因为 f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当 axb 时，等号成立又 a0，b0，所以 |ab|ab，所以 f(x)的最小值为 abc.又已知 f(x)的最小值为 4，所以 abc4.(2)由(1)知 abc4，由柯西不等式得(491)(14a219b2c2)2(abc)216，(a2 2b3 3c 1)即a2 b2c2 .141987当且仅当 ，12a213b3c1即 a ，b，c 时等号成立8718727故a2 b2c2的最小值为.141987名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -