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1、第第 1 1 讲数轴中的数形结合思想讲数轴中的数形结合思想【链接方法】【链接方法】数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想数形结合思想.华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：1.运用数轴直观地表示有理数(rationalnumber)；2.运用数轴形象地解释相反数(oppositenumber)；3.运用数轴准确地比较有理数的大
2、小；4.运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题.【挑战例题】【挑战例题】【例【例 1 1】(1)(第 17 届江苏省竞赛题)数轴上有 A、B 两点,如果点 A对应的数是-2,且 A、B 两点的距离为 3,那么点 B 对应的数是_.(2)(第 15 届江苏省竞赛题)在数轴上,点 A、B 分别表示-和,则线段 AB 的中点所表示的数是_.【例【例 2 2】(第 12 届“希望杯”邀请赛试题)如图,在数轴上有六个点,且 AB=BC=CD=DE=EF,则与点 C所表示的数最接近的整数是().1315【例【例 3 3】比较 a 与的大小.【例【例 4 4】(1)工作流水线上顺次排列 5 个工作台 A、B
3、、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短(2)如果工作台由 5 个改为 6 个,那么工具箱应如何放置能使 6 个操作机器的人取工具所走的路程之和最短(3)当流水线上有 n 个工作台时,怎样放置工具箱最适宜【提升能力】【提升能力】1.(2003 年河南省竞赛题)如图,A、B、C、D、E 为数轴上的五个点,且 AB=BC=CD=DE,则图中与 P 点表示的数比较接近的一个数是().（2013 年山东省菏泽市中考题）如图，数轴上的A、B、C 三点所表示的数分别是 a、b、c，其中AB=BC，如果|a|b|c|，那么该数轴的原点 O 的位置应该在（）A点 A
4、 的左边B点 A 与点 B 之间C点 B 与点 C 之间D点 B 与点 C 之间或点 C 的右边3.(第 15 届江苏省竞赛题)如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距 1 个单位,点 A、B、C、D 对应的数分别是整数 a,b,c,d,且 d-2a=10,那么数轴的原点应是().点点点点4.(第 18 届江苏省竞赛题)数 a、b、c、d 所对应的点 A、B、C、D 在数轴上的位置如图所示,那么 a+c 与 b+d 的大小关系是().1a+cb+dD.不确定的（第 3 题）（第 4 题）5（2007 年江苏省镇江市中考题）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进 3 步后退 2 步的程
5、序运动，设该机器人每秒钟前进或后退 1 步，并且每步的距离为 1 个单位长，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：x3 3；x51；x108 x104；x2007 x2008其中，正确的结论的序号是（）A、B、C、D、6.在数轴上表示数 a 的点到原点的距离为 3,则 a-3=_.、b、c 在数轴上的位置如图所示，则是_.（第 7 题）（第 8 题）8.如图,工作流程线上 A、B、C、D 处各有 1 名工人,且 AB=BC=CD=1,现在工作流程线上安放一个工具箱,使 4 个人到工具箱的距离之和为最短,则工具箱的安放位置是_.9.已知a、b为有理数，且a0，b 0，ab
6、 0，将四个数a，b，a，b按由小到大的顺序排列是_111、中最大的abcbac10.(山东省竞赛题)已知数轴上表示负有理数m 的点是点 M,那么在数轴上与点 M 相距m个单位的点中,与原点距离较远的点对应的数是_.11（2005 年江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为 3 个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字 0、1、2）上：先让原点与圆周上的数字 0 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上 1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上 1、2、0、1、所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系（1）圆周上的
7、数字a与数轴上的数 5 对应，则a=_；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n(n为正整数）圈后，并落在圆周上数字 1 所对应的位置，这个整数是_（用含n的代数式表示）12.(北京市“迎春杯”竞赛题)已知数轴上有 A、B 两点，A、B之间的距离为 1,点 A与原点 O 的距离为 3,求所有满足条件的点 B 与原点 O 的距离的和.13.已知两数 a、b,如果 a 比 b 大,试判断a与b的大小.14.电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳1个单位到K1,第二步由 K1向右跳2 个单位到 K2,第三步由 K2向左跳 3 个单位到 K3,第四步由 K3向右跳 4个单位到 K4,按以上规律
8、跳了 100 步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是,试求电子跳蚤的初始位置 K0点所表示的数.15.动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动，3 秒后，两点相距15 个单位长度已知动点 A、B 的速度比是 1：4（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B 两点从原点出发运动 3 秒时的位置；（2）若A、B 两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B 两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点 C 同时从 B 点位置出发向 A 运动，当遇到A 后，立即返回向B 点运动，遇到B 点后立即返回向 A 点运动，如此往返，直到 B 追上 A 时，C 立即停止运动若点C 一直以 20 单位长度/秒的速度匀速运动，那么点 C 从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度