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1、凉山州20142015 学年度上期期末检测高二数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（共 50分，每小题 5分，每个小题的选项中只有一个选项最符合题意）1、B2、D3、A4、A5、C6、A7、B8、B9、C10、D二、填空题（本题共 5小题，每题 5分，共 25分）411、y=-x+412、90013、7314、(x-1)2+(y+1)2=115、1,2)三、解答题：（本大题包含6个小题，共 75分）16（本题满分 12分）右图是一个样本数据的频率分布直方图，根据频率分布直方图，解答下列问题：频率/组距（）求图中x的值；（）根据直方图，估计数据的众数和平均数（写出估计值、主要估计依据和方法）
2、；（）已知分布在第一组中有10个数据，求第三组和第四组数据个数之和.解：（）由题意可得：x0.0250.0150.01102030405060(x+0.01+0.015+0.025+0.01)10=1解得：x=0.04.4分（）从直方图中最高矩形的中点可以估计总众数是：45.6分以直方图每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标的积的和，可估计平均数为：(150.0110+250.01510+350.02510+450.0410+550.0110)=37.5估计的平均数为 37.5.8分（）由直方图可知，落在第一组中的数据的频率为0.0110=0.1,而落在第一组的数据有10个，故该样本的容量为
3、100，又Q第三组和第四组的频率之和为(0.025+0.04)10=0.65，第三组和第四组数据个数之和为1000.65=65.12分17（本题满分 12分）已知直线l过点P(-1,3).（）若直线l与直线m：3x+y-1=0垂直，求直线l的一般式方程；（）写出（）中直线l的截距式方程，并求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.解：法 1：Q直线m：3x+y-1=0的斜率为=-3km，1由题意：直线l的斜率为k=l，又直线l过点P(-1,3)，根据点斜式，31直线l的方程为：(1)x+，3y-3=化简得直线l的一般式方程为：x-3y+10=0.6分法 2：由于直线l与直线垂m直，可设直线l的方程为
4、：x-3y+c=0，又直线l过点P(-1,3)，-1-33+c=0，从而，c=10.直线l的一般式方程为：x-3y+10=0.（）由（），x-3y+10=06分 x-3y=-10 直线l的截距式方程x+-=110y1039分所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为：1-10=50S=1023312分18（本题满分 12分）设集合A=1,2,3,4，在集合A的所有非空子集中任取一个集合B.（）记事件M为“集合B含有元素 2”，求事件M发生的概率；（）记事件N为“在集合B中任取一个元素a，都有5-a B”，求事件N发生的概率.解：记事件W为“从集合A的所有非空子集任取一个集合”，则事件W包含的基本事
5、件为：1、2、3、4、1,2、1,3、1,4、2,3、2,4、3,4、1,2,3、1,2,4、1,3,4、2,3,4、1,2,3,4，共 15个基本事件.（）事件M中包含的基本事件为：4分2、1,2、2,3、2,4、1,2,3、1,2,4、2,3,4、1,2,3,4，共 8个基本事件.所以8()15P M=.8分（）事件N中包含的基本事件为：1,4、2,3，共 2个基本事件.所以2()P N=15.12分19（本题满分 12分）已知：点A(2,2)、点B(4,4)、点C(4,2)是D上的三个点.（）求D的一般方程；（）直线l：x-y-4=0，点P在直线l上运动，过点P作D的两条切线，切点分别是
6、M、N,求四边形PMDN面积的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.解：（）设D的一般方程为：x2+y2+dx+ey+f=0，则：+2+2d+2e+f=0d=2-6，44d+4e+f=02+，-6分44d+2+=2e f解e2得20222f4=4=165分D的一般方程为：x2+y2-6x-6y+16=0.（）由（）知D的圆心D(3,3)，3-3-4圆心D到直线l的距离为h=2 2，6分1+12-()()()6+-D的半径r=26-4 16-22=2，27分h r，所以，直线l与D无公共点.根据对称性，SPMDN=2SD1=2PM MDPMD29分=rPDr2PD2-=22,2-当PD取得最小时，
7、S取得最小值.PMDN易 知，PD l时，即PD=h=2 2时，PD最 小，SPMDN的 最 小 值 为2(2 2)22 32-=由PD l，可设直线PD：x+y+m=0，解得m=-6，x+y-6=0所以，解得此时点P的坐标为(5,1)11分-y-4=0 xS综上，当P(5,1)时取得最小值2 3.PMDN12分20（本题满分 13分）已知直线l：2x-y-5=0，直线l：x+y-5=012（）求点P(3,0)到直线l的距离；1（）直线m过点P(3,0)，与直线l、直线l分别交于点M、N，且点P是线段MN的12中点，求直线m的一般式方程；（）已知Q是所有过（）中的点M、N的圆中周长最小的圆，求
8、Q的标准方程.解：（）点P(3,0)到直线23-0-521+-=l的距离是d=154分22()+-25（）由题意，可设直线m：y=kx-3k，由k-23k5k解得y=-k=yk-2，即M,5分-3ky=kx k-2 k-23k+5=+y-5=0 xk+13k+52k 再由x即N,6分kx-3k2ky=k+1解得+k1 k1y=kk0，解得：k=0,k=1+2k2x-503k-5x=1-2k+=根据中点坐标公式可得：29分经检验，当直线m的斜率不存在或者k=0时皆不满足题意，故k=1，所以所求直线方程为：y=x-3（）由（）可知，把k=1分别代入M、N中，可得M(2,-1)、N(4,1)在所有过
9、点M、N的圆中，以线段MN为直径的圆的周长最小，即径=1-2+-2=Q的半(24)(1 1)2r=MN，22111分圆心Q与点P(3,0)重合，故Q的标准方程：(3)2x-2+y=.213分21（本题满分 14分）已知M：x2+y2-4x-8y+16=0，直线l：(1+l)x+(1-l)y-6=0（lR）（）求证：对任意lR，都有直线l与M相交；（）求点M到直线l的距离d的取值范围；（）已知点N(3,1)，在M内（包括圆周）任取一点P，记事件K为“点P与点N(3,1)所确定的直线到点M的距离不大于 1”，求事件K发生的概率.解：（）证明：(1+l)x+(1-l)y-6=0(x+y-6)+l(x
10、-y)=0+=y-=03xx由，-y6解=3于得分2x=0y容易验证，对任意lR，都有直线l恒过定点P(3,3)M的标准方程是：(x2)(4)4，-y2+-2=PM(2=3)(43)-2+-2=2M的半径r=2 PM,点P在M内，故对任意lR，都有直线l与M相交.4分【注：可以用圆心到直线的距离小于圆的半径来判定；可以利用判别式法来判定】（）当过圆内定点P(3,3)的直线l过圆心时，圆心到直线的距离为0，5分与直线PM垂直时，距离d最大，就等于d=2=PM,6分但是无论l取何值，直线l都不能表示直线x-y=0（该直线过点P且与直线PM垂直），7分所以，0 d 2.8分（）易知，点N(3,1)在M外.如右示意图（没有作出坐标系）设过点N且与圆心的距离为1的两条直线NB和ND与M分别交于A、B和 C、D，由于MA=MB=MC=MD=2,故DMABDMCD，且BMD2p3p=4弓形ACNAMB=CMD=S弓形 AB=SCD,10分pp322sin12=4-2333 S曲多边形 ABDC=p4p 4p43=+2 312分2 33由题意，当点P落在曲多边形 ABDC内（包括边界）时满足题意，34p+63P K=32=12p()4p4p+6 3即事件K发生的概率为4p+()P K=14分12p