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1、大学微积分 l 知识点总结二 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.【第五部分】不定积分【第五部分】不定积分1.1.书本知识（包含一些补充知识）书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F（x）=f（x），xI，则称 F（x）是 f（x）的一个“原函数”。（2）若 F（x）是 f（x）在区间上的一个原函数，则 f（x）在区间上的全体函数为 F（x）+c（其中 c 为常数）（3）基本积分表1x dx x1c（1，为常数）1（4）零函数的所有原函数都是 c（5）C 代表所有的常数函数（6）运算法则a f(x)dx af(x)dxf
2、(x)g(x)dx f(x)dxg(x)dx数乘运算加减运算线性运算（7）复合函数的积分：f(x)(x)dx F(x)c一般地，（8f(axb)dx 11f(axb)d(axb)F(axb)caaf(xb)dx F(xb)c（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法凑微分法凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则变量代换法变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性分部积分法分部积分法：【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应：y=f(u)说明：（11）1x a22dx lnx2a2 x c（12）分段函数的积分
3、例题说明：max1,x2dx（13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一（16）隐函数求不定积分 例题说明：（17）三角有理函数积分的万能变换公式（18）某些无理函数的不定积分欧拉变换（19）其他形式的不定积分2.2.补充知识（课外补充）补充知识（课外补充）【例谈不定积分的计算方法】【例谈不定积分的计算方法】1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义：若函数若函数 f(x)f(x)在区间在区间 I I 上连续，则上连续，则 f(x)f(x)在区间在区间 I I 上存在原函数。其上存在原函数。其中
4、中(x)=F(x)+c(x)=F(x)+c0 0,(c,(c0 0为某个常数），则为某个常数），则(x)=F(x)+c(x)=F(x)+c0 0属于函数族属于函数族 F(x)+cF(x)+c（2）一般积分方法值得注意的问题：第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。不能用普通方法积出的积分：2、特殊类型不定积分求解方法汇总（1）多次分部积分的规律（3）简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。【
5、第六部分】定积分【第六部分】定积分1.1.书本知识（包含一些补充知识）书本知识（包含一些补充知识）（1）定义（12）几种简化定积分的计算方法关于原点对称区间上的函数的定积分1、若函数f(x)在区间a,a上连续，则：当 f(x)为奇0af(x)dx a2f(x)dx当 f(x)为偶0函数设 f(x)是周期为 T 的周期函数，且连续。则：asinnx,cosnx在0,上的积分2对于任意的自然数n(n 2)，有：（n 为偶数）（n 为奇1n1 n3.22 nn22 2nnsin xdx cos xdx 00n1n3.213 nn2分的值无关，依然可以正常去求。（14）极坐标与直角坐标的互化把直角坐标
6、系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，它的极坐标是(,0).则：x cosy siny2 x2 y2yxx 0tanx(15)定积分中容易混淆的 x 与 t 的关系的问题对于定积分，被积表达式中的无所谓对于定积分，被积表达式中的无所谓t t 还是还是 x x，最后都会被积分上下限所替，最后都会被积分上下限所替代。所以在变限函数积分的上下限中含代。所以在变限函数积分的上下限中含 x x 的时候，被积表达式用的时候，被积表达式用 t t 表示以示区表示以示区别。当然如果此时被积表达式中含别。当然如果此时被积表
7、达式中含 x x 和和 t t，在二者都有的情况下，则把，在二者都有的情况下，则把 x x 看成看成常数提到外面或者换元换走常数提到外面或者换元换走 x x。例证：定积分证明问题中关于 x 与 t 化简后的计算方法：2.2.补充知识（课外补充）补充知识（课外补充）【积分中值定理及其应用】【积分中值定理及其应用】积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质，有较高的理论价值以及广泛的应用。一、积分中值定理的内容一、积分中值定理的内容定理：积分第一中值定理定理：推广的积分第一中值定理二、积分中值定理的应用二、积分中值定理的应
8、用由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理在应用积分中值定理时应注意以下几点：在应用中应注意被积函数在区间a,b上这一连续条件，否则结论不一定会成立在定理中的 g(x)在a,b上面不能变号，这个条件也不能去掉。定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必须是a,b内的点下面就其应用进行讨论（1 1）估计定积分的值）估计定积分的值（2 2）求含有定积分的极限）求含有定积分的极限说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中
9、值不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中理时，要注意中值不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中 n n 的趋近方式。的趋近方式。（3 3）证明中值的存在性命题）证明中值的存在性命题说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定理。理。（4 4）证明积分不等式）证明积分不等式说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常
10、考虑使用积分中值定理，以便去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时，可考虑使用广义积分中值定便去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时，可考虑使用广义积分中值定理。理。（5 5）证明函数的单调性）证明函数的单调性三、积分中值定理的拓展三、积分中值定理的拓展（1 1）第二积分中值定理）第二积分中值定理如果函数 f(x)在闭区间a,b上可积，而 g(x)在区间(a,b)上单调，则在a,b上至少存在一点，使得：特别地，g(x)在a,b上单调递增，则：（2 2）特殊积分中值定理）特殊积分中值定理若函数 f(x)在区间a,b上连续，g(x)在a,b上可积且不变号，则在a,b上必存在一点，使得：（3 3）第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理”。）第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理”。