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1、【第五部分】不定积分 1.书本知识(包含一些补充知识)(1)原函数：F(x)=f(x),x I，则称F(x)是f(x)的一个“原函数”。(2)若F(x)是f(x)在区间上的一个原函数，贝U f(x)在区间上的全体函数 为F(x)+c(其中c为常数)(3)基本积分表 伙个 dx 伙少+c(aM 1,a为常数)c+1(4)零函数的所有原函数都是C(5)C代表所有的常数函数(6)运算法则 数乘运算 a f(x)dx=a f(x)dx r,-线性运算 f(x)士g(x)dx 二 f(x)dx：g(x)dx 加减运算(7)复合函数的积分:f(x)(x)dx=F：(x)1 c 1 1(8)一般地，f(ax
2、 b)dx f(ax b)d(ax b)F(ax b)c a、a f(x b)dx=F(x b)c(9)连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的 函数一定不连续。(10)不定积分的计算方法 凑微分法(第一换元法)，利用复合函数的求导法则 变量代换法(第二换元法)，利用一阶微分形式不变性 分部积分法：【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数 对应：y=f(u)说明:1.-x2-a2，dxr In w 卡+x+c fx2+a2(12)分段函数的积分 例题说明：max1,x2dx(13)在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是 将其中的一(16)隐函数求不
3、定积分 例题说明：(17)三角有理函数积分的万能变换公式(18)某些无理函数的不定积分 欧拉变换(19)其他形式的不定积分 2.补充知识(课外补充)【例谈不定积分的计算方法】1、不定积分的定义及一般积分方法 C 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法(1)定义：若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数。其 中(x)=F(x)+c o,(c o为某个常数)，则(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c (2)一般积分方法 值得注意的问题:(11)的全体函数为其中为常数基本积分表伙个伙少为常数零函数的所有原函数都是代表所有的常数函数运算法则数乘运
4、算士二加减运算线性运算复合函数的积分一般地连续函数一定有原函数但是有原函数的函数不一定连续没有原函数的阶微分形式不变性分部积分法解释一阶微分形式不变性释义函数对应说明卡分段函数的积分例题说明在做不定积分问题时若遇到求三角函数奇次方的积分最好的方法是将其中的一隐函数求不定积分例题说明三角有理函数积分的万能积分的定义及一般积分方法特殊类型不定积分求解方法汇总不定积分的定义及一般积分方法定义若函数在区间上连续则在区间上存在原函数其中为某个常数则属于函数族一般积分方法值得注意的问题第一一般积分方法并不一定是最第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方 法，简便计算；第二，初等函
5、数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能 够积出。不能用普通方法积出的积分：2、特殊类型不定积分求解方法汇总(1)多次分部积分的规律(3)简单无理函数的积分 被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分 小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。【第六部分】定积分 1.书本知识(包含一些补充知识)(1)定义(12)几种简化定积分的计算方法 关于原点对称区间上的函数的定积分 1、若函数f(x)在区间-a,a上连续，则:0 当f(x)为奇函数 a 2 f(x)dx 0 分的值无关，依然可以正常去求(14)极坐标与直角坐标的互化a f(x)dx=-a 当f(
6、x)为偶函数 设f(x)是周期为T的周期函数，且连续 则:sinn x,cosn x 在 0,上的积分 IL 2 对于任意的自然数 n(n _ 2)，有:n-1 n n T TE JT 2 2 Jsinnx dx=Jcosn x dx=*0 0 n-3 n-2 n-3 n-2 1 2 2 3(n为偶数)(n为奇数)的全体函数为其中为常数基本积分表伙个伙少为常数零函数的所有原函数都是代表所有的常数函数运算法则数乘运算士二加减运算线性运算复合函数的积分一般地连续函数一定有原函数但是有原函数的函数不一定连续没有原函数的阶微分形式不变性分部积分法解释一阶微分形式不变性释义函数对应说明卡分段函数的积分例
7、题说明在做不定积分问题时若遇到求三角函数奇次方的积分最好的方法是将其中的一隐函数求不定积分例题说明三角有理函数积分的万能积分的定义及一般积分方法特殊类型不定积分求解方法汇总不定积分的定义及一般积分方法定义若函数在区间上连续则在区间上存在原函数其中为某个常数则属于函数族一般积分方法值得注意的问题第一一般积分方法并不一定是最把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相 同的长度单位。设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，它的极坐标是(P,0).则:x=P cos日 y=P sin 日 乎=x2 y2 y tan日=Z（x 式0）x(15)定积分中容易混淆的x与t
8、的关系的问题 对于定积分，被积表达式中的无所谓t还是x，最后都会被积分上下限所替 代。所以在变限函数积分的上下限中含 x的时候，被积表达式用t表示以示区 别。当然如果此时被积表达式中含 x和t，在二者都有的情况下，则把x看成常 数提到外面或者换元换走x。例证：定积分证明问题中关于x与t化简后的计算方法:2.补充知识(课外补充)【积分中值定理及其应用】积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的 关系，从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质，有较高的理论价值 以及广泛的应用。一、积分中值定理的内容 定理：积分第一中值定理 定理：推广的积分第一中值定理 二、积分中值定
9、理的应用 由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分 和某个函数之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理 在应用积分中值定理时应注意以下几点：在应用中应注意被积函数在区间a,b 上这一连续条件，否则结论不一定 会成立 在定理中的g(x)在a,b 上面不能变号，这个条件也不能去掉。的全体函数为其中为常数基本积分表伙个伙少为常数零函数的所有原函数都是代表所有的常数函数运算法则数乘运算士二加减运算线性运算复合函数的积分一般地连续函数一定有原函数但是有原函数的函数不一定连续没有原函数的阶微分形式不变性分部积分法解释一阶微分形式不变性释义函数对应说明卡分段函数的积分例题说明
10、在做不定积分问题时若遇到求三角函数奇次方的积分最好的方法是将其中的一隐函数求不定积分例题说明三角有理函数积分的万能积分的定义及一般积分方法特殊类型不定积分求解方法汇总不定积分的定义及一般积分方法定义若函数在区间上连续则在区间上存在原函数其中为某个常数则属于函数族一般积分方法值得注意的问题第一一般积分方法并不一定是最 定理中所指出的E并不一定是唯一的，也不一定必须是a,b 内的点 下面就其应用进行讨论(1)估计定积分的值(2)求含有定积分的极限 说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理 时，要注意中值E不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中 n的趋近方式。(3)证明中值E
11、的存在性命题 说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中 值定理。(4)证明积分不等式 说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强 的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以便 去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时，可考虑使用广义积分中值定理。(5)证明函数的单调性 三、积分中值定理的拓展(1)第二积分中值定理 如果函数f(x)在闭区间a,b 上可积，而g(x)在区间(a,b)上单调，则在a,b 上至少存在一点E，使得：特别地，g(x)在a,b 上单调递增，贝U：(2)特殊积分中值定理 若函数f(x)在区间a,b 上连续
12、，g(x)在a,b 上可积且不变号，则在a,b 上必存在一点E，使得：(3)第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理”。的全体函数为其中为常数基本积分表伙个伙少为常数零函数的所有原函数都是代表所有的常数函数运算法则数乘运算士二加减运算线性运算复合函数的积分一般地连续函数一定有原函数但是有原函数的函数不一定连续没有原函数的阶微分形式不变性分部积分法解释一阶微分形式不变性释义函数对应说明卡分段函数的积分例题说明在做不定积分问题时若遇到求三角函数奇次方的积分最好的方法是将其中的一隐函数求不定积分例题说明三角有理函数积分的万能积分的定义及一般积分方法特殊类型不定积分求解方法汇总不定积分的定义及一般积分方法定义若函数在区间上连续则在区间上存在原函数其中为某个常数则属于函数族一般积分方法值得注意的问题第一一般积分方法并不一定是最