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1、；多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：一正四面体与球如图所示，设正四面体的棱长为a，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。则高 SE=高SD=3423Sa,斜FOADECBa，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,则在直角 OEB 中，OE2EB2BD2(SEOE)2r=66a。R=SO=OB=a124特征分析：1由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一
2、个。2R=3r.r=6a12R=6a。此结论可以记忆。4例题一。1、一个四面体的所有棱长都为面上，则此球的表面积为（）分析：借助结论，R=.2，四个顶点在同一球66a=442=3,所以2S=4R2=3。；2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（）分析：借助 R=3r，答案为 9：1。二、特殊三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥。SA 面ABC,ABC为直角三角形，BC AB因为 SAAC，SBBC，球心落在 SC的中点处。所以SCR=2SSOOC。CAA三正方体与球。1正方体的外接球BB即正方体的 8 个定点都在球面上。BAO关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角
3、面。设正方体的边长为a，则 AB=R=322a，BD=2R，AD=a，a。CCDD2正方体的内切球。（1）与正方体的各面相切。如图：ABCD 为正方体的平行侧面的正方形。AB.DC；R=（2）与正方体的各棱相切。ABa2如图：大圆是正方形ABCD 的外接圆。AB=CD=a，R=22a。DC3在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。例题：1。正方体的全面积是 24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则 R=32 3，S=122。2一个球与棱长为 1 的正方
4、体的 12 条棱都相切，则球的体积解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R=V=23221=223将棱长为 1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R=，V=。4P、A、B、C、是球 O 面上的四个点，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=1，则球的体积是解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正.1243；方体的外接球，所以 R=33，V=22。四、正棱柱与球1正三棱柱外接球。如图所示：过 A 点作 AD 垂直 BC,D为三角形 ABC 的中心，D1同样得OA1C1D1B1到。则球心O必落
5、在DD1的中点上。利用三角形 OAD 为直角三角形，OA=R,可求出 R.2.正四棱柱外接球。道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。例题：1。已知一个半径为21的球中有一个各条棱长都相等的内ACDB接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是解析：如上图，OA=可求 a6，V=543.A21,OD=3a，AD=a，32B2.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都O在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为解析：截面如图：ABCD 为正四棱柱的体对角面 OD=R，设 AD=a，底面正方形的边长为 b，则 有 DC=.DC2b，则 R2=（a/2）2+（2b/2）2，；S=4ba2 a2 2b2=4 2R2。五、长方体与球1长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。2在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是 3，4，5，则它的外接球的表面积是解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，所以 R=DABOC5 22，S=50。.