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1、平面几何部分平面几何部分教学目标：教学目标：1 熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形知识点拨知识点拨一、等积模型一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；aS1S2b两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S1:S2 a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACDCABDSBCD；反之，如果SACD SBCD，则可知直线AB平行于CD等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面
2、积比等于它们的高之比二、鸟头定理二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则SABC:SADE(AB AC):(AD AE)DAADAS2S1OS3CDEES4B图图三、蝴蝶定理三、蝴蝶定理CBBCAS2aS1OS3S4DBbC任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S1:S2 S4:S3或者S1S3 S2S4AO:OC S1 S2:S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型，一方面
3、可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：S1:S3 a2:b2S1:S3:S2:S4 a2:b2:ab:ab；S的对应份数为a b四、相似模型四、相似模型(一)金字塔模型 (二)沙漏模型2AEAFDDBFGECBGCADAEDEAF；ABACBCAG22SADE：SABC AF:AG所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的
4、面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、燕尾定理五、燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么AEOBDCSABO:SACO BD:DCF上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角
5、形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题典型例题【例【例 1 1】如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为 6，AE，CF 2长方形长方形EFGH的面积为的面积为【巩固】如图所示，正方形【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为的边长为8厘米，长方形厘米，长方形EBGF的长的长BG为为10厘米，那么长厘米，那么长方形的宽为几厘米方形的宽为几厘米【例【例 2 2】长方形长方形ABCD的面积为的面积为 36cm2，E、F、G为各边中点，为各边中点，H为为AD边上任意一边上任意一点，问阴影部分面积是多少点，问阴影部分面积是多少AHDEGBFC【巩固】在边长为【巩固】在边长为 6 6 厘米
6、的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与一组对边三等分，分别与P点连接点连接,求阴影部分面积求阴影部分面积ADA(P)DADPP【例【例 3 3】如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70，AB 8，AD 15，四，四边形边形EFGO的面积为的面积为ADBCBCBCOEBFGC【巩固】如图，长方形【巩固】如图，长方形ABCD的面积是的面积是 36，E是是AD的三等分点，的三等分点，AE 2ED，则阴影部分，则阴影部分的面积为的面积为AOBED【例【例
7、4 4】已知已知ABC为等边三角形，面积为为等边三角形，面积为 400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积，求阴影五边形的面积(丙是三角形丙是三角形HBC)CA甲 乙IJMBNH丙EDF【例【例 5 5】如图，已知如图，已知CD 5，DE 7，EF 15，FG 6，线段，线段AB将图形分成两部分，将图形分成两部分，左边部分面积是左边部分面积是 38，右边部分面积是，右边部分面积是 65，那么三角形，那么三角形ADG的面积是的面积是CACDBEFG【例【例 6 6】如如 图图 在在ABC中中，D,E分分 别别 是
8、是AB,AC上上 的的 点点，且且AD:AB 2:5，AE:AC 4:7，SADE16平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积ADEBC【巩固】如图，三角形【巩固】如图，三角形ABC中，中，AB是是AD的的 5 倍，倍，AC是是AE的的 3 倍，如果三角形倍，如果三角形ADE的的面积等于面积等于 1，那么三角形，那么三角形ABC的面积是多少的面积是多少ADECB【巩固】【巩固】如图，如图，三角形三角形ABC被分成了甲被分成了甲(阴影部分阴影部分)、乙两部分，乙两部分，BD DC 4，BE 3，AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍乙部分面积是甲部分面积的几倍AEB甲D乙C【例【例 7 7】如
9、图在如图在ABC中，中，D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上，且上，且AB:AD 5:2，AE:EC 3:2，SADE12平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积DAEBC【例【例 8 8】如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD，BE AB，CF 2CB，GD3DC，HA 4AD，平，平行四边形行四边形ABCD的面积是的面积是2，求平行四边形求平行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面积比的面积比HAGDFBCE【例【例 9 9】如图所示的四边形的面积等于多少如图所示的四边形的面积等于多少C131213D131212【例【例 10 10】如如图所示，图所示，ABC中，中，AB
10、C 90，AB 3，BC 5，以以AC为一边向为一边向ABC外外作正方形作正方形ACDE，中心为，中心为O，求，求OBC的面积的面积EOA3B5CD【例【例 11 11】如如图，以正方形的边图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，已知已知AE、BE的长分别为的长分别为3cm、5cm，求三角形求三角形OBE的面积的面积AC、BD交于交于OCBOEDA【例【例 12 12】如如下图，六边形下图，六边形ABCDEF中，中，AB ED，AF CD，BC EF，且有，且有AB平行平行于于ED，AF平行于平行于CD，BC平行于平行于EF，对角线对角线
11、FD垂直于垂直于BD，已知已知FD 24厘厘米，米，BD 18厘米，请问六边形厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米的面积是多少平方厘米BACFED【例【例 13 13】如如图，图，三角形三角形ABC的面积是的面积是1，E是是AC的中点，的中点，点点D在在BC上，上，且且BD:DC 1:2，AD与与BE交于点交于点F则四边形则四边形DFEC的面积等于的面积等于AEBDFC【巩固】如图，长方形【巩固】如图，长方形ABCD的面积是的面积是2平方厘米，平方厘米，EC 2DE，F是是DG的中点阴影部的中点阴影部分的面积是多少平方厘米分的面积是多少平方厘米AFBGDECAxFBxG【例【例 1
12、4 14】四四边形边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O(如图所示如图所示)如果三角形如果三角形ABD的面积的面积1等于三角形等于三角形BCD的面积的的面积的，且，且AO 2，DO3，那么，那么CO的长度是的长度是DO的长的长3度的度的_倍倍AOBDC【巩固】如图，四边形被两条对角线分成【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形求：三角形BGC的面积；的面积；AG:GC A2B1G3DC【例【例 15 15】如如图，图，平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O点，点，CEF、OEF、
13、ODF、BOE的面积依次是的面积依次是 2、4、4 和和 6求：求求：求OCF的面积；求的面积；求GCE的面积的面积AOGBECDF【例【例 16 16】如如图，长方形图，长方形ABCD中，中，BE:EC 2:3，DF:FC 1:2，三角形，三角形DFG的面积为的面积为2平方厘米，求长方形平方厘米，求长方形ABCD的面积的面积AGDFCBE【例【例 17 17】如图，正方形如图，正方形ABCD面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点求图中阴影部分边上的中点求图中阴影部分的面积的面积BCGADM【巩固】【巩固】在下图的正方形在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点
14、，AE与与BD相交于相交于F点，点，三角形三角形BEF的面积为的面积为 1 平方厘米，那么正方形平方厘米，那么正方形ABCD面积是面积是平方厘米平方厘米ADFB【例【例 18 18】已已知知ABCD是平行四边形，是平行四边形，BC:CE3:2，三角形三角形ODE的面积为的面积为 6 平方厘米平方厘米 则则阴影部分的面积是阴影部分的面积是平方厘米平方厘米ECAODBCE【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平单位：平方厘米方厘米)，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是平方厘米平方厘米A9214BE
15、DC【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平单位：平方厘米方厘米)，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是平方厘米平方厘米A8162BEDC【例【例 19 19】如如图，长方形图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中3 块的面积分别为块的面积分别为 2、5、8平方厘米，那么余下的四边形平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为的面积为_平方厘米平方厘米AE25O8F?B【例【例 20 20】如如图，图，线段线段AB与与CD相交于相交于K点点 已已ABC是等腰直角三角形，
16、是等腰直角三角形，DEFG是正方形，是正方形，知正方形知正方形DEFG的面积的面积 48，AK:KB 1:3，则，则BKD的面积是多少的面积是多少DCDKBEAG【例【例 21 21】下下图中，图中，四边形四边形ABCD都是边长为都是边长为 1 的正方形，的正方形，E、F、G、H分别是分别是AB，BC，FCCD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数数m，那么，那么，(m n)的值等于的值等于nAHDAHDEGEGBFCBFC【例【例 22 22】如如图，图，ABC中，中，DE，FG，BC互相平行，互相平行
17、，AD DF FB，则则SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCBADFBEGC【巩固】如图，【巩固】如图，DE平行平行BC，且，且AD 2，AB 5，AE 4，求，求AC的长的长ADBEACFM【巩固】如图，【巩固】如图，ABC中，中，DE，FG，MN，PQ，BC互相互相平行，平行，AD DF FM MP PB，则，则PBDEGNQCSADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB【例【例 23 23】如如图，已知正方形图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，F是是BC边的中点，边的中点，E是是DC边上的点，边上的点，且且DE:EC 1:3，AF与与BE相
18、交于点相交于点G，求，求SABGABGFDEC【例【例 24 24】如如图所示，图所示，已知平行四边形已知平行四边形ABCD的面积是的面积是 1，E、F是是AB、AD的中点，的中点，BF交交EC于于M，求，求BMG的面积的面积AEBFHMGCD【例【例 25 25】如如图，图，ABCD为正方形，为正方形，AM NB DE FC 1cm且且MN 2 cm，请问四边形，请问四边形PQRS的面积为多少的面积为多少DERSPAMNBQFC【例【例 26 26】如如右图，三角形右图，三角形ABC中，中，BD:DC 4:9，CE:EA 4:3，求，求AF:FBAFBODEC【巩固】如右图，三角形【巩固】如
19、右图，三角形ABC中，中，BD:DC 3:4，AE:CE 5:6，求，求AF:FB.AFBODEC【巩固】如右图，三角形【巩固】如右图，三角形ABC中，中，BD:DC 2:3，EA:CE 5:4，求，求AF:FB.AFBODEC【例【例 27 27】如如右图，三角形右图，三角形ABC中，中，AF:FB BD:DC CE:AE 3:2，且三角形，且三角形ABC的的面积是面积是1，则三角形，则三角形ABE的面积为的面积为_，三角形，三角形AGE的面积为的面积为_，三，三角形角形GHI的面积为的面积为_AEFHBGIDC【巩固】【巩固】如右图，三角形如右图，三角形ABC中，中，AF:FB BD:DC
20、 CE:AE 3:2，且三角形，且三角形GHI的面的面积是积是1，求三角形，求三角形ABC的面积的面积AFIBHGDEC【巩固】如图，【巩固】如图，ABC中中BD 2DA，CE 2EB，AF 2FC，那么，那么ABC的面积是阴影三的面积是阴影三角形面积的角形面积的倍倍ADGFHBEIC【巩固】如图在【巩固】如图在ABC中，中，GHI的面积DCEAFB1的值的值,求求ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDC【例【例 28 28】如如图，三角形图，三角形ABC的面积是的面积是1，BD DE EC，CF FG GA，三角形，三角形ABC被被分成分成9部分，请写出这部分，请写出这9部分的面积各是多
21、少部分的面积各是多少AGFB【巩固】如图，【巩固】如图，ABC的面积为的面积为 1，点，点D、E是是BC边的三等分点，点边的三等分点，点F、G是是AC边的三边的三等分点，那么四边形等分点，那么四边形JKIH的面积是多少的面积是多少DECCFGKAIHBJDE【例【例 29 29】右右图，图，ABC中，中，G是是AC的中点，的中点，D、E、F是是BC边上的四等分点，边上的四等分点，AD与与BG交于交于M，AF与与BG交于交于N，已知，已知ABM的面积比四边形的面积比四边形FCGN的面积大的面积大7.2平方厘米，则平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米的面积是多少平方厘米AGNMBDEFC【例【例
22、 30 30】如如图，面积为图，面积为 l l 的三角形的三角形ABCABC中，中，D D、E E、F F、G G、H H、I I分别是分别是ABAB、BCBC、CACA的三等的三等分点分点,求阴影部分面积求阴影部分面积.ADEIHBFGC【例【例 31 31】如如图，面积为图，面积为 l l 的三角形的三角形ABCABC中，中，D D、E E、F F、G G、H H、I I分别是分别是ABAB、BCBC、CACA的三等的三等分点分点,求中心六边形面积求中心六边形面积.ADEIHBFGC课后练习：课后练习：练习练习1.1.已知已知DEF的面积为的面积为7平方厘米，平方厘米，BE CE,AD 2
23、BD,CF 3AF，求求ABC的面的面积积AFDBEC练习练习2.2.如图，四边形如图，四边形EFGH的面积是的面积是66平方米，平方米，EA AB，CB BF，DC CG，HD DA，求四边形，求四边形ABCD的面积的面积HDAECBGF练习练习3.3.正方形正方形ABCD的面积是的面积是 120 平方厘米，平方厘米，E是是AB的中点，的中点，F是是BC的中点，四边形的中点，四边形BGHF的面积是的面积是平方厘米平方厘米ADEGHFBC练习练习4.4.如图，已知如图，已知AB AE 4cm，BC DC，BAE BCD 90，AC 10cm，则，则SABCSACE SCDEcm2CBAED练习
24、练习5.5.如图，正方形如图，正方形ABCD的面积是的面积是120平方厘米，平方厘米，E是是AB的中点，的中点，F是是BC的中点，的中点，四边形四边形BGHF的面积是的面积是_平方厘米平方厘米ADEGHBFC练习练习6.6.如图，如图，ABC中，点中，点D是边是边AC的中点，点的中点，点E、F是边是边BC的三等分点，若的三等分点，若ABC的面积为的面积为 1 1，那么四边形，那么四边形CDMF的面积是的面积是_ADNBMEFC练习练习7.7.如右图，三角形如右图，三角形ABC中，中，AF:FB BD:DC CE:AE 4:3，且三角形，且三角形ABC的面的面积是积是74，求角形，求角形GHI的
25、面积的面积AFIBHGDEC备选备选【备选【备选1 1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形已按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形已知甲三角形两条直角边分别为知甲三角形两条直角边分别为2cm和和4cm，乙三角形两条直角边分别为，乙三角形两条直角边分别为3cm和和6cm，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积甲234乙6【备选【备选2 2】如图所示，如图所示，矩形矩形ABCD的面积为的面积为 36 平方厘米，平方厘米，四边形四边形PMON的面积是的面积是 3 平方平方厘米，则阴影部分的面积是厘米，则阴影部分的面积是平方厘米平方厘米DMOAP
26、NCB【备选【备选3 3】如图，已知如图，已知BD 3DC，EC 2AE，BE与与CD相交于点相交于点O,则则ABC被分成被分成的的4部分面积各占部分面积各占ABC面积的几分之几面积的几分之几AEOBDC【备选【备选4 4】如图，如图，在在ABC中，中，延长延长AB至至D，使使BD AB，延长延长BC至至E，使使CE 1BC，2F是是AC的中点，若的中点，若ABC的面积是的面积是2，则，则DEF的面积是多少的面积是多少AFBD【备选【备选5 5】如图，如图，BD:DC 2:3,AE:CE 5:3,则则AF:BF AECCEFBDG【备选【备选6 6】如图在如图在ABC中，中，GHI的面积DCEAFB1的值的值,求求ABC的面积DBECFA3AEHFIBGDC