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1、.导数及其应用导数及其应用 知识点总结知识点总结一、导数的概念和几何意义1.函数的平均变化率：函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为：f(x2)f(x1)。x2 x12.导数的定义：设函数y f(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0 时，比值yf(x0 x)f(x0)无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在x x0处可xx导，并称该常数A为函数f(x)在x x0处的导数，记作f(x0)。函数f(x)在x x0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量y f(x0 x)f(x0)；（2）求平均变化率：f(x0 x)f(x0)f
2、(x0 x)f(x0)；（3）取极限，当x无限趋近与 0 时，无xx限趋近与一个常数A，则f(x0)A.4.导数的几何意义：函数f(x)在x x0处的导数就是曲线y f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出y f(x)在x0处的导数，即为曲线y f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y y0 f(x0)(x x0)。当点P(x0,y0)不在y f(x)上时，求经过点P的y f(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，
3、如果曲线y f(x)在点(x0,f(x0)处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x x0。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则V S(t)表示瞬时速度，a v(t)表示瞬时加速度。word 可编辑.二、导数的运算1.常见函数的导数：（1）(kxb)k(k,b为常数)；（2）C 0(C为常数)；（3）(x)1；（4）(x2)2x；（5）(x3)3x2；（6）(1x)1x2；（7）(x)12 x；（8）(x)x1（为常数）；（9）(ax)axlna(a 0,a 1)；（10(logax)1xlogae 1xlna(a 0,a 1)；（11）
4、(ex)ex；（12）(ln x)1x；（13）(sinx)cosx；（14）(cosx)sin x。2.函数的和、差、积、商的导数：（1）f(x)g(x)f(x)g(x)；（2）Cf(x)Cf(x)（C 为常数）；（3）f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；（4）f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)(g(x)0)。3.简单复合函数的导数：若y f(u),u ax b，则yx yu ux，即yx yu a。三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y f(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果恒f(x)0，则函数y f(x)在区间
5、(a,b)上为增函数；（2）如果恒f(x)0，则函数y f(x)在区间(a,b)上为减函数；word 可编辑）.（3）如果恒f(x)0，则函数y f(x)在区间(a,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数y f(x)的定义域；求导数f(x)；解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数y f(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果函数y f(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；(2)如
6、果函数y f(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；(3)如果函数y f(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。2.求函数的极值：设函数y f(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）求方程f(x)0的全部实根，x1 x2 xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的变化情况：xf(
7、x)f(x)(,x1)x1(x1,x2)xn(xn,)正负单调性0正负单调性0正负单调性（4）检查f(x)的符号并由表格判断极值。word 可编辑.3.求函数的最大值与最小值：如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤：（1）求f(x)在区间(a,b)上的极值；（2）将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对
8、不等式问题）可考虑值域。f(x)(x A)的值域是a,b时，不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max 0，即b 0；不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min 0，即a 0。f(x)(x A)的值域是(a,b)时，不等式f(x)0恒成立的充要条件是b 0；不等式f(x)0恒成立的充要条件是a 0。（2）证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max 0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。word 可编辑