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1、导数及其应用知识点总结导数及其应用知识点总结导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义1.函数的平均变化率：函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为：f(x2)f(x1)。x2x12.导数的定义：设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0时，比值yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在xx0处可导，xx并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)。函数f(x)在xx0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；（2）求平均变化率：f(x0x)f(x0)f(
2、x0x)f(x0)；（3）取极限，当x无限趋近与0时，无限趋xx近与一个常数A，则f(x0)A.4.导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出yf(x)在x0处的导数，即为曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)。当点P(x0,y0)不在yf(x)上时，求经过点P的yf(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线yf(x)在点(x
3、0,f(x0)处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则VS(t)表示瞬时速度，av(t)表示瞬时加速度。二、导数的运算1.常见函数的导数：（1）(kxb)k(k,b为常数)；（3）(x)1；（2）C0(C为常数)；（4）(x2)2x；（6）(1)12；xx1（5）(x3)3x2；（7）(x)1；2x（8）(x)x1（为常数）；（10）(logax)1logae1(a0,a1)；xxlna（12）(lnx)1；x（14）(cosx)sinx。（9）(ax)axlna(a0,a1)；（11）(ex)
4、ex；（13）(sinx)cosx；2.函数的和、差、积、商的导数：（1）f(x)g(x)f(x)g(x)；（2）Cf(x)Cf(x)（C为常数）；（3）f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)。（4）g(x)g2(x)3.简单复合函数的导数：yuux，即yxyua。若yf(u),uaxb，则yx三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数；（2）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函
5、数；（3）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数yf(x)的定义域；求导数f(x)；解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；(2)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；(3)如果函数yf(x
6、)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。2.求函数的极值：设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的变化情况：xf(x)f(x)(,x1)x1(x1,x2)xn(xn,)正负单调性0正负单调性0正负单调性（4）检查f(x)的符号并由表格判断极
7、值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤：（1）求f(x)在区间(a,b)上的极值；（2）将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。f(x)(xA)的值域是a,b时，不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0；不等式f(x)0恒成立的充
8、要条件是f(x)min0，即a0。f(x)(xA)的值域是(a,b)时，不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0；不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。（2）证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。扩展阅读：导数及其应用知识点总结导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义1.函数的平均变化率：函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为：f(
9、x2)f(x1)。x2x12.导数的定义：设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0时，比值yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在xx0处可导，xx并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)。函数f(x)在xx0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；（2）求平均变化率：f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)；（3）取极限，当x无限趋近与0时，无限趋xx近与一个常数A，则f(x0)A.4.导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)
10、在点(x0,f(x0)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出yf(x)在x0处的导数，即为曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)。当点P(x0,y0)不在yf(x)上时，求经过点P的yf(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则VS(t
11、)表示瞬时速度，av(t)表示瞬时加速度。二、导数的运算1.常见函数的导数：（1）(kxb)k(k,b为常数)；（3）(x)1；（2）C0(C为常数)；（4）(x2)2x；（6）(1)12；xx1（5）(x3)3x2；（7）(x)1；2x（8）(x)x1（为常数）；（10）(logax)1logae1(a0,a1)；xxlna（12）(lnx)1；x（14）(cosx)sinx。（9）(ax)axlna(a0,a1)；（11）(ex)ex；（13）(sinx)cosx；2.函数的和、差、积、商的导数：（1）f(x)g(x)f(x)g(x)；（2）Cf(x)Cf(x)（C为常数）；（3）f(x)
12、g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)（4）(g(x)0)。g(x)g2(x)3.简单复合函数的导数：yuux，即yxyua。若yf(u),uaxb，则yx三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数；（2）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数；（3）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数yf(x)的定义域；求导数f(x)；解不等式f(x
13、)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；(2)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；(3)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。2.求函数的极值：设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)（或，则
14、称f(x0)是函数f(x)的极小值（或极大值）。f(x)f(x0)）可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的变化情况：xf(x)f(x)(,x1)x1(x1,x2)xn(xn,)正负单调性0正负单调性0正负单调性（4）检查f(x)的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义
15、域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤：（1）求f(x)在区间(a,b)上的极值；（2）将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。f(x)(xA)的值域是a,b时，不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0；不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0，即a0。f(x)(xA)的值域是(a,b)时，不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0；不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。（2）证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。第 7 页 共 7 页