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1、精品文档平面向量平面向量复习基本知识点及经典结论总结复习基本知识点及经典结论总结1 1、向量有关概念、向量有关概念：（1）向量的概念向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。ruuu r例：例：已知 A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a（1,3）平移后得到的向量是_。（2）零向量零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向零向量的方向；uuu r（3）单位向量单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是：)；（4）相等向量相等
2、向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有；（5）平行向量（也叫平行向量（也叫）：方向或的非零向量a、b叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行。提醒提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行平行ruuu r uuu rAC共线；向量无传递性向量无传递性！（因为有0)；三点A、B、C共线AB、（6）相反向量相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是。rrrr例：例：命题：（1）若a b，则a b。（2）两个向量
3、相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。uuu ruuu ruuu ruuu r（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB DC。（5）若rr rrrr rrrrrra b,b c，则a c。（6）若a/b,b/c，则a/c。其中正确的是_；2 2、向量的表示方法、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可rrr表示为a xi y j
4、 x,y，称x,y为向量a的坐标，a叫做向量a的坐标表示。如果向向量的起点在原点量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.3.平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果 e e1和 e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a a，有且只有一对实数1、2，使 a a=1e e12e e2。rrrr例；例；（1 1）若a (1,1),b (1,1),c (1,2)，则c _；（2 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是u ru u ru ru u ru ru u rA.e1(0,0),e2(1,2)B.e1(1,2),e2(5,7)C.e1(3,5),e
5、2(6,10)D.u ru u r13e1(2,3),e2(,)24r ruuu r uuu ruuu rr uuu rruuu r（3 3）已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且AD a,BE b,则BC可用向量a,b表示为_；（4 4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB，CD r AB s AC，则r s的值是_4 4、实数与向量的积、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：rr当0 时，a的方向与a的方向，rr当0 时，a 0，注意注意：a0。5 5、平面向量的数量积、平面向量的数量积：uuu rr uuu rr（1）两个向量
6、的夹角两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA a,OB b，AOB 0称.精品文档为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当直。时，a，b垂2（2）平面向量的数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：，即ab。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量注意数量积是一个实数，不再是一个向量。例：例：（1 1）ABC 中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_；rrr u rrrru1r1rr（2 2）已知a (1,),b (0,),c a kb,d a b，c与d
7、的夹角为，则k等于_；224rrr rrr（3 3）已知a 2,b 5,ag b 3，则a b等于_；rrrr rrrrr（4 4）已知a,b是两个非零向量，且a b ab，则a与a b的夹角为_r（3）b在在a上的投影上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如如已知|a|3，|b|5，且ab 12，则向量a在向量b上的投影为_ r（4）ab的几何意义的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积。（5）向量数量积的性质向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：ab则；r2rrr2rr2当a，b同向时，ab，特别地，a aa a,a a；当a与b反向时，a
8、b；当ab0 时，；当ab0，；rrrrab|a非零向量，夹角的计算公式：；b|a|b|。例：例：（1 1）已知a (,2)，b (3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_；rrrr围 是 _；（3 3）已 知a (cosx,sin x),b (cos y,sin y),a与b之 间 有 关 系 式r rr rrrrrrrka b 3 a kb,其中k 0，用k表示ab；求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的 13（2 2）已知OFQ的面积为S，且OF FQ 1，若 S，则OF,FQ夹角的取值范22 大小。6 6、向量的运算、向量的运算：（1）几何运算几何运算：向量加法：利用“平行四
9、边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如uuu ruuu rr uuu rrrr此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB a,BC b，那么向量AC叫做a与b的和，即rruuu ruuu ruuu rab AB BC AC；uuu rr uuu rrrruuu ruuu ruuu r向量的减法：用“三角形法则”：设AB a,AC b,那么a b AB AC CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r例：例：（1 1）化简：AB BC
10、CD _；AB AD DC _；(AB CD)(AC BD)_；uuu rr uuu rr uuu rrrrrAB a,BC b,AC c|a（2 2）若正方形ABCD的边长为 1，则bc|_；uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r（3 3）若 O 是VABC所在平面内一点，且满足OBOC OBOC 2OA，则VABC的形状为_；.uuu ruuu ruuu rr（4 4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足PA BPCP 0，uuu r|AP|r，则的值为_；设uuu|PD|精品文档rr（2）坐标运算坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：uuu
11、 ruuu ruuu rr（5 5）若点O是ABC的外心，且OAOB CO 0，则ABC的内角C为_；向量的加减法运算向量的加减法运算：a+b=。ab=。uuu ruuu ruuu r例：例：（1 1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP AB AC(R)，则当_时，点P 在第r1uuu 一、三象限的角平分线上；（2 2）已知A(2,3),B(1,4),且AB (sinx,cos y)，x,y(,)，则2 2uu r2uu ruu r（3 3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，则合力x y；u ruu ruu ruu rF F1
12、 F2 F3的终点坐标是。实数与向量的积实数与向量的积：a=。uuu r若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。ruuu ruuu r1uuu ruuu例：例：设A(2,3),B(1,5)，且AC AB，AD 3AB，则 C、D 的坐标分别是_；3平面向量数量积平面向量数量积：ab，。例：例：已知向量a（sinx，cosx）,b（sinx，sinx）,c（1，0）。（1）若 x求的值3 1，求向量a、c的夹角；（2）若 x,，函数f(x)ab的最大值为，3842r ru u rro例：例：已知a,b均为单位向量，它们的夹
13、角为60，那么|a3b|_；两点间的距离两点间的距离：若Ax1,y1,Bx2,y2，则AB=。向量的模向量的模：a=。例：例：如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy 60o，平面上任一点 P 关于uuu ru ru u ru r u u r斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP xe1 ye2，其中e1,e2分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量，则 P 点斜坐标为(x,y)。（1）若点 P 的斜坐标为（2，2），求 P 到 O 的距离PO；（2）求以O 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。；rrrrrrrrrr7 7、向量的运算律、向量的运算律：（1）交换律：ab ba，a a，a
14、b ba；(2)结合律：rrrrrr rrrrrrrrrrrrabc ab c,abc a bc，a b ab ab；（3）分 配 律：rrrrrrrrrrrrrra aa,ab ab，ab c acbc。例例：2下 列 命 题 中：a(b c)ab a c；a(b c)(ab)c；22 rrr rr r(ab)|a|2|a|b|b|；若ab 0，则a 0或b 0；若ab cb,则a c；r rrr r2r2r2rr2r2r rr2r2r2abbra a；r2；(ab)a b；(ab)a 2abb。其中正确的是_ aa提醒：提醒：（1 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等
15、式，可以移项，两边平.精品文档方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除切记两向量不能相除(相约相约)；（2 2）向量的“乘法”不满足结合律）向量的“乘法”不满足结合律，即r r2rr2rrrr8 8、向量平行、向量平行(共线共线)：a/b a b(ab)(|a|b|)x1y2 y1x20。a(bc)(ab)c，为什么？rrrr例例：(1)(1)若向量a (x,1),b (4,x)，当x_时a与b共线且方向相同；（2 2）已知rrrrrrrrrra (1,1),b (4,x)，u a 2b，v 2a b，且u/
16、v，则x_；（3 3）设uuu ruuu ruuu rPA (k,12),PB (4,5),PC (10,k)，则 k_时，A,B,C 共线；rrr rrrrr9 9、向向 量量 垂垂 直直：a b ab 0|a b|a b|x1x2 y1y2 0.特 别 地uuu ruuu rABAC(uuu r uuu r)(ABACuuu ruuu rABACuuu r uuu r)。ABACuuu ruuu ruuu ruuu r例：例：(1)(1)已知OA (1,2),OB (3,m)，若OA OB，则m；（2 2）以原点 O 和 A(4,2)为两rru rn (a,b),n m个顶点作等腰直角三角
17、形OAB，则点B的坐标是_（；3 3）已知向量，B 90，ru ru r且n m，则m的坐标是_；10.10.线段分点求法线段分点求法：1例：例：1 1）若 M（-3，-2），N（6，-1），且MP MN，则点 P 的坐标为_；3（2 2）已知A(a,0),B(3,2 a)，直线y uuuu ruuu r1且AM 2MB，则a等于_；ax与线段AB交于M，211.11.向量中一些常用的结论向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrr（2）|a|b|ab|a|b|，r rrrrrrrrrrb同向或有同向或有0|a b|a|b|a|b|a b|；特
18、别地，当a、r rrrrrrrrrrb反向或有反向或有0|a b|a|b|a|b|a b|；当a、r rrrrrrrb不共线不共线|a|b|a b|a|b|(这些和实数比较类似).当a、（3）在ABC中，若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则 其 重 心 的 坐 标 为 x x xy y2 y3G123,1。33例：例：若ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、_；（-1，-1），则ABC 的重心的坐标为uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rr1PG(PA PB PC)G为ABC的重心，特别地PA PB PC 0 P为ABC3的重心；uuu
19、r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu rPAPB PBPC PCPA P为ABC的垂心；uuu ruuu rACABuu r uuu r)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；向量(u|AB|AC|uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu rr|AB|PC|BC|PA|CA|PB 0 PABC的内心；uu u ruuu ruuu ruuu r uuu r uuu r（4）向量PA、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且、PB、PC中三终点A1.精品文档例例：平 面 直 角 坐 标 系 中，O为 坐 标 原 点，已 知 两 点 A(3,1),B(1,3),若 点C满 足OC 1OA2OB,其中1,2 R且121,则点C的轨迹是_.