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1、.简单的线性规划问题简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念名称约束条件线性约束条件目标函数线性目标函数可行解可行域最优解线性规划问题变量x，y满足的一组条件由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式目标函数是关于x，y的二元一次解析式满足线性约束条件的解(x，y)所有可行解组成的集合使目标函数取得最大值或最小值的可行解在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题意义【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值【例 1】x2y2，设变量x，y满足约束条件2xy4，4xy1，则目标函数z3xy的取值 X 围是()3 3A.，6B.，1
2、2 2C1,63D6，2-优选.解析x2y2，约束条件2xy4，4xy1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y3xz斜率为3.1由图象知当直线y3xz经过A(2,0)时，z取最大值 6，当直线y3xz经过B，3时，2z取最小值，323z3xy的取值 X 围为，6，故选 A.2答案A【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点【对点训练】x4y3，1设z2xy，变量x、y满足条件3x5y25，x1，求z的最大值和最小值解作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示把z2xy变
3、形为y2xz，则得到斜率为2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线由图可以看出，当-优选.直线z2xy经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小x4y30，解方程组得A点坐标为(5,2)，3x5y250，x1，解方程组得B点坐标为(1,1)，x4y30，z最大值25212，z最小值2113.题型二、求非线性目标函数的最值【例 2】xy50，设x，y满足条件xy0，x3.22(1)求uxy的最大值与最小值；(2)求vyx5的最大值与最小值解画出满足条件的可行域如图所示，(1)xyu表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点xy的值都相等，由图2222可知：当(x，y)
4、在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小 又C(3,8)，所以u最大值73，u最小值0.-优选.(2)vyx5表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，3)，338所以v最大值，v最小值4.35235【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果(2)常见代数式的几何意义主要有：xy表示点(x，y)与原点(0,0)的距离
5、；22xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)的距离yyb 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代xxa数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键【对点训练】2已知变量x，yxy20，满足约束条件x1，xy70.则 的最大值是_，最小值是yx_解析由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z 表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率由图可知，点C与O连线斜率最大；B59与O连线斜率最小，又B点坐标为(，)，C点坐标为(1,6)，所以kOB22yx-优选.9，kOC6.5y9故 的最大值为 6，最小值为.x5答案695题型三
6、、已知目标函数的最值求参数【例 3】x20，若实数x，y满足不等式组y10，x2ya0，目标函数tx2y的最大值为 2，则实数a的值是_解析如右图，x2，由x2ya0.x2，得a2y2，答案2【类题通法】代入x2y2 中，解得a2.求约束条件或目标函数中的参数的取值X 围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解同时要搞清目标函数的几何意义【对点训练】-优选.xy50，3已知x，y满足x3，xyk0.A2C310且z2x4y的最小值为6，则常数k()B9D0解析选 D由题意知，当直线z2x4y经过直线x3 与xyk0 的交点(3，3k)
7、时，z最小，所以6234(3k)，解得k0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例 4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3 万元和 0.2 万元 问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得500 x200y90 000，x0，y0.xy300，目标函数为z3 00
8、0 x2 000y.5x2y900，二元一次不等式组等价于x0，y0.xy300，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图-优选.作直线l：3 000 x2 000y0，即 3x2y0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值xy300，联立解得x100，y200.5x2y900，点M的坐标为(100,200)z最大值3 000 x2 000y700 000(元)因此，该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析
9、数据)；列出约束条件，确立目标函数；作出可行域；利用图解法求出最优解；得出结论【对点训练】4铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ABa50%70%b(万吨)10.5c(百万元)36-优选.某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁，若要求 CO2的排放量不超过 2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元)解析：可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，y0，则根据题意得到约束条件为：0.5x0.7y1.9，x0.5y2，6215.答案：15x0，目标函数为z3x6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z最小值31【练习反馈】2
10、xy10，1zxy在x2y10，xy1A(0,1)C(1,0)的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()B(1，1)11D，22解析：选 C可以验证这四个点均是可行解，当x0，y1 时，z1；当x1，y111 时，z0；当x1，y0 时，z1；当x，y 时，z0.排除选项 A，B，D，故选 C.22xy1，2已知变量x，y满足约束条件xy1，x10，A3B1则zx2y的最小值为()-优选.C5D6解析：选 C由约束条件作出可行域如图：1z z由zx2y得yx，的几何意义为直线在y轴上的截距，22 21z当直线yx 过直线x1 和xy1 的交点A(1，2)时，z22最小，最小值为5，故选 C.y
11、2x，3.已知实数x、y满足y2x，x3，值是_则目标函数zx2y的最小解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示 目标函1111数可化为yxz，作直线yx及其平行线，知当此直线经过点A时，z的值最大，即z2222的值最小又A点坐标为(3,6)，所以z的最小值为 3269.答案：9xy4，4已知点P(x，y)的坐标满足条件yx，x1，_，最大值等于_点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于解析：点P(x，y)满足的可行域为ABC区域，A(1,1)，C(1,3)由图可得，|PO|最小值|AO|2；|PO|最大值|CO|10.-优选.答案：210 xy35已知x，y满足约束条件，求zx2y的最小值2x3y3解：作出不等式组xy32x3y3的可行域，如图所示画出直线l0：x2y0，平移直线l0到直线l的位置，使l过可行域内某点，且可行域内其他点都在l的不包含直线l0的另外一侧，该点到直线l0的距离最小，则这一点使zx2y取最小值显然，点A满足上述条件，解xy32x3y3得点A1235，5，z12523518最小值5.-优选