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1、简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念名称意义约束条件变量 x，y 满足的一组条件线性约束条件由 x，y 的二元一次不等式(或方程 )组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y 的二元一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值【例 1】设变量 x，y 满足约束条件x2y2，2xy4，4xy 1，则目标函数z3x y 的取值范围是() A.32，6B.
2、32， 1C1,6D6，32解析 约束条件x2y2，2xy4，4xy1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y3xz 斜率为3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页由图象知当直线y3x z经过 A(2,0)时， z取最大值6，当直线y3xz 经过 B12，3 时，z 取最小值32， z3xy 的取值范围为32，6 ，故选 A. 答案 A 【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点【对点训练】1设
3、z2xy，变量 x、y 满足条件x4y 3，3x5y25，x1，求 z 的最大值和最小值解作出不等式组表示的平面区域，即可行域， 如下图 把 z2x y 变形为 y 2xz，则得到斜率为2，在 y 轴上的截距为z，且随 z变化的一组平行直线由图可以看出，当直线z2xy 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小解方程组x4y 30，3x5y250，得 A 点坐标为 (5,2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页解方程组x1，x4y 30，得 B 点坐标为 (1,1)， z最大值25212，z最小
4、值2113. 题型二、求非线性目标函数的最值【例 2】设 x，y 满足条件xy50，xy0，x3.(1)求 ux2y2的最大值与最小值；(2)求 vyx 5的最大值与最小值解画出满足条件的可行域如下图，(1)x2y2u 表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2y2的值都相等，由图可知：当 (x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O 过 C 点时， u 最大，过 (0,0)时， u 最小又C(3,8)，所以 u最大值73，u最小值0. (2)vyx5表示可行域内的点P(x，y)到定点 D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大， kCD最小，又 C(3,8)，B(3， 3)，所以 v最大
5、值33532， v最小值835 4. 【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方 )，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页(2)常见代数式的几何意义主要有：x2y2表示点 (x，y)与原点 (0,0)的距离；xa2 yb2表示点 (x，y)与点 (a，b)的距离yx表示点 (x， y)与原点 (0,0)连线的斜率；y bx a表示点 (x， y
6、)与点 (a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键【对点训练】2已知变量x，y 满足约束条件xy2 0，x1，xy7 0.则yx的最大值是_，最小值是_解析 由约束条件作出可行域(如下图 )，目标函数zyx表示坐标(x，y)与原点 (0,0)连线的斜率由图可知，点C 与 O 连线斜率最大；B与 O 连线斜率最小，又B 点坐标为 (52，92)，C 点坐标为 (1,6)，所以kOB95，kOC6. 故yx的最大值为6，最小值为95. 答案 695题型三、已知目标函数的最值求参数【例 3】假设实数 x，y 满足不等式组x20，y10，x2y a0，目标函数t
7、x2y 的最大值为2，则实数a 的值是 _解析 如右图，由x2，x2ya0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页得x2，ya22，代入 x2y 2 中，解得a2. 答案 2 【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解同时要搞清目标函数的几何意义【对点训练】3已知 x，y 满足xy50，x3，xyk0.且 z2x4y 的最小值为6，则常数k() A2 B9 C310 D0 解析 选 D由题意知，当直线z2x4y 经
8、过直线x 3 与 xyk0 的交点 (3， 3k)时， z 最小，所以62 34(3k)，解得 k0. 题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例 4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/分钟和 200 元 /分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3 万元和 0.2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟，总收益为z元，由题意得xy300，
9、500 x200y90 000，x0，y0.目标函数为z3 000 x2 000y. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页二元一次不等式组等价于xy300，5x 2y900，x0，y0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作直线 l：3 000 x 2 000y0，即 3x2y0. 平移直线l，从图中可知，当直线l 过 M 点时，目标函数取得最大值联立xy300，5x 2y900，解得 x100，y 200. 点M 的坐标为 (100,200) z最大值3 000 x2 000y700 000(元)因此
10、， 该公司在甲电视台做100 分钟广告， 在乙电视台做200 分钟广告， 公司的收益最大，最大收益是70 万元【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：设出未知数(当数据较多时， 可以列表格来分析数据)；列出约束条件，确立目标函数； 作出可行域； 利用图解法求出最优解；得出结论【对点训练】4铁矿石A 和 B 的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b 及每万吨铁矿石的价精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页格 c 如下表：a b(万吨 )c(百万元 ) A 50%13 B 70%0.56 某冶炼厂至少要生产1.9
11、(万吨 )铁，假设要求CO2的排放量不超过2(万吨 )，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元 )解析： 可设需购买A 矿石 x 万吨， B 矿石 y 万吨，则根据题意得到约束条件为：x0，y0，0.5x0.7y1.9，x0.5y2，目标函数为z3x6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z最小值31 6215. 答案： 15 【练习反馈】1zxy 在2xy1 0，x2y1 0，xy1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为() A(0,1)B(1， 1) C(1,0) D12，12解析： 选 C可以验证这四个点均是可行解，当x0，y1 时， z 1；当 x 1，y1 时， z
12、0；当 x1， y0 时， z1；当 x12，y12时， z 0.排除选项A，B，D，故选 C. 2已知变量x，y 满足约束条件xy1，xy1，x10，则 zx2y 的最小值为 () A3 B1 C 5 D 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页解析： 选 C由约束条件作出可行域如图：由 zx2y 得 y12xz2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线 y12xz2过直线 x 1 和 xy1 的交点 A(1， 2)时，z 最小，最小值为5，故选 C. 3.已知实数x、y 满足y2x，y 2x，x3，则目标函数
13、zx2y 的最小值是 _解析： 不等式组表示的平面区域如下列图中阴影部分所示目标函数可化为y12x12z，作直线y12x 及其平行线，知当此直线经过点 A 时，12z的值最大，即z的值最小又A 点坐标为 (3,6)，所以 z 的最小值为3 269. 答案： 9 4已知点P(x， y)的坐标满足条件xy4，yx，x1，点 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于 _解析： 点 P(x，y)满足的可行域为ABC 区域， A(1,1)，C(1,3)由图可得， |PO|最小值|AO|2；|PO|最大值|CO|10. 答案：210 5已知 x，y 满足约束条件xy32x3y3，求 z x2y 的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页解： 作出不等式组xy32x 3y3的可行域，如下图画出直线l0：x 2y0，平移直线l0到直线 l 的位置， 使 l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l0的另外一侧，该点到直线l0的距离最小，则这一点使zx2y取最小值显然，点A 满足上述条件，解xy 32x3y3得点 A125，35， z最小值125 235185. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页