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1、一道课本概率习题的推广一道课本概率习题的推广浙江省象山中学张宗余 315700在新教材第二册（下 A）第 141 页“排列、组合和概率”的小结与复习中有这样一题“将并排的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息，假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求每个房间恰好进入 1 人的概率。”分析：由于每个人可以进入任一房间，进入哪个房间有 5 种等可能的方法。根据分步计数原理，5 个人进入 5个房间共有55种等可能的方法。每个房间中恰好各进去 1 人，相当于对 5 个人进行全排列，其排法的种数是 5！，因此，每个房间恰好进入 1 人的概率：P 5!2455625。纵向推广纵向推广 1
2、 1：将并排的 6 个房间安排给5 个工作人员临时休息，假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求指定的 5 个房间恰好进住1 人的概率。分析：每人有 6 个房间可供选择，所以5 个人住的方式有65种，指定的 5 个房间各有 1 人住，其可能总数为5 人的全排列 5！，于是P 5!65。纵向推广纵向推广 2 2：将上题中的“指定的 5 个房间恰好进住 1 人”改为“恰有 5 个房间各入住 1 人”，情况又如何？分析：题中的 5 个房间可以在 6 个房间中任意选取，其总数有C56种，对选定的 5个房间，按上述的分析可知有 5！种分配方式，所以恰有 5 个房间入住 1 人的概率为P C
3、565!65。将纵向推广将纵向推广 1 1 推广到一般情况推广到一般情况 1 1：将并排的N个房间安排给n个工作人员临时休息（N n），假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求指定的n 个房间各恰好进住 1 人的概率。分析：每人有 n 个房间可供选择，所以n个人住的方式有Nn种，指定的 n 个房间各有 1 人住，其可能总数为n 人的全排列 n！，于是P n!Nn。将纵向推广将纵向推广 2 2 推广到一般情况推广到一般情况 2 2：将并排的N个房间安排给n个工作人员临时休息（N n），假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求恰好有 n 个房间，其中各住 1 人的概率。
4、分析：每人有 N 个房间可供选择，所以n个人住的方式有Nn种，题中的 n 个房间可以在 N 个房间中任意选取，其总数有CnN种，对选定的 n 个房间，按上述的分析可知有 n！种分配方式，所以恰有 n 个房间入住 1 人的概率为P CnNn!N!NnNnN n!。注：这是一个古典概型中的一个很典型的“分房问题分房问题”，事实上不少实际问题多可以归结为它的模型。例如，若把人解释为质点，把房间解释为相应空间中的小区域，这个问题就是统计物理学中的 Maxwell-Boltzmann质点运动问题。横向推广横向推广 1 1：设有 m 个不同的质点，每个质点以等可能落与 M（M m）个空间小区域（每个小区域
5、能容纳的质点数是没有限制的），求某预先指定的 m 个空间小区域各含一个质点的概率。分析：由推广到一般情况 1 的结论得：P m!Mm。同”这件事情发生的概率，并不如大多数人并设每人的生日在一年365天中的每一天的直觉中想象的那么小，而且相当大。由表可可能性是均等的，问此 r 个人有不同生日的以看出，当班级中的人数为23 时，就有半概率是多少？（武汉理工大学 2001 年硕士数以上的班级会发生这件事情，而当班级的研究生入学考试试题）人数达到 50 时，竟有 97%的班级会发生上述分析：若把人解释为每人的生日，把房间的事情。这个例子告诉我们，“直觉”并不解释为一年 365 天中的每一天，由推广到一
6、可靠，这就有力的说明了研究随机现象统计般情况2的结论得：规律的重要性。横向推广横向推广 2 2：设有 r 个人，r 365，P Cr365r!365365r!365r365 r!365364 365 r 1365r11 36512 365r 11365进一步引申进一步引申：有 r 个人，（r 365），问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？分析：这个例子是概率论历史上有名的“生日问题生日问题”。如果直接求 P（A）比较麻烦，我们利用对立事件就转化为横向推广横向推广 2 2 所得的结论：A=r 个人中至少有两个人的生日相同A=r 个人中的生日全不相同P（A）=1P（A）=1365!365r365 r!应用应用：在新教材第二册（下 A）第120 页习题 10.5（6）一年按 365 天计算，两名学生的生日相同的概率是多少？分析：令 r=2，利用引申的结论：P（A）=1P（A）=1365!3652365 2!=13653643652=1365。注：当然这道例题本身并不需要这么麻烦，而且方法较多。但对于不同的一些 r 值，计算得相应的 P（A）值如下表：r102023304050P0.120.410.510.710.890.97上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的，因为“一个班级中至少有两人的生日相参考文献：魏宗舒概率论与数理统计教程教育出版社高等