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1、一道课本概率习题的推广浙江省象山中学 张宗余 315700 在新教材第第二册（下下A）第第1411页“排列、组组合和概概率”的小结结与复习习中有这这样一题题“将并排排的5个个房间安安排给55个工作作人员临临时休息息，假定定每人可可以进入入任一房房间，且且进入各各个房间间是等可可能的，求求每个房房间恰好好进入11人的概概率。”分析：由于每每个人可可以进入入任一房房间，进进入哪个个房间有有5种等等可能的的方法。根根据分步步计数原原理，55个人进进入5个个房间共共有 种种等可能能的方法法。每个个房间中中恰好各各进去11人，相相当于对对5个人人进行全全排列，其其排法的的种数是是5！，因因此，每每个房间
2、间恰好进进入1人人的概率率：。 纵向推推广1：将并排排的6个个房间安安排给55个工作作人员临临时休息息，假定定每人可可以进入入任一房房间，且且进入各各个房间间是等可可能的，求求指定的的5个房房间恰好好进住11人的概概率。分析：每人人有6个个房间可可供选择择，所以以5个人人住的方方式有种种，指定定的5个个房间各各有1人人住，其其可能总总数为55人的全全排列55！，于于是 。纵向推广22：将上题题中的“指定的的5个房房间恰好好进住11人”改为“恰有55个房间间各入住住1人”，情况况又如何何？ 分析：题中的的5个房房间可以以在6个个房间中中任意选选取，其其总数有有种，对对选定的的5个房房间，按按上述
3、的的分析可可知有55！种分分配方式式，所以以恰有55个房间间入住11人的概概率为。将纵向推广广1推广广到一般般情况 1 ：将并排排的N个房间间安排给给n个工作作人员临临时休息息（N n），假假定每人人可以进进入任一一房间，且且进入各各个房间间是等可可能的，求求指定的的n个房间间各恰好好进住11人的概概率。分析：每人人有n个个房间可可供选择择，所以以n个人人住的方方式有种种，指定定的n个个房间各各有1人人住，其其可能总总数为nn人的全全排列nn！，于于是 。将纵向推广广2推广广到一般般情况 2：将并排排的N个房间间安排给给n个工作作人员临临时休息息（N n），假假定每人人可以进进入任一一房间，且
4、且进入各各个房间间是等可可能的，求求恰好有有n个房房间，其其中各住住1人的的概率。分析：每人人有N个个房间可可供选择择，所以以n个人人住的方方式有种种，题中中的n个个房间可可以在NN个房间间中任意意选取，其其总数有有种，对对选定的的n个房房间，按按上述的的分析可可知有nn！种分分配方式式，所以以恰有nn个房间间入住11人的概概率为。注：这是一一个古典典概型中中的一个个很典型型的“分房问问题”，事实实上不少少实际问问题多可可以归结结为它的的模型。例例如，若若把人解解释为质质点，把把房间解解释为相相应空间间中的小小区域，这这个问题题就是统统计物理理学中的的Maxxwelll-BBolttzmaan
5、n质质点运动动问题。横向推广11：设有有m个不不同的质质点，每每个质点点以等可可能落与与M（MM mm）个空空间小区区域（每每个小区区域能容容纳的质质点数是是没有限限制的），求求某预先先指定的的m个空空间小区区域各含含一个质质点的概概率。 分析：由由推广到到一般情情况1 的结论论得：。横向推广22：设有rr个人，rr 3365，并并设每人人的生日日在一年年3655天中的的每一天天的可能能性是均均等的，问问此r个个人有不不同生日日的概率率是多少少？（武武汉理工工大学220011年硕士士研究生生入学考考试试题题）分析：若把把人解释释为每人人的生日日，把房房间解释释为一年年3655天中的的每一天天，
6、由推推广到一一般情况况2 的的结论得得： 进一步引申申：有r个个人，（rr 3655），问问至少有有两个人人的生日日在同一一天的概概率为多多大？分析：这个个例子是是概率论论历史上上有名的的“生日问问题”。如果果直接求求P（AA）比较较麻烦，我我们利用用对立事事件就转转化为横横向推广广2所得得的结论论：A=r个人人中至少少有两个个人的生生日相同同=r个人中中的生日日全不相相同P（A）=1P（）=1 应用：在新教教材第二二册（下下A）第第1200页习题题10.5（66）一年年按3665天计计算，两两名学生生的生日日相同的的概率是是多少？ 分析：令r=2，利利用引申申的结论论： P（AA）=11P（
7、）=1=1=。 注：当当然这道道例题本本身并不不需要这这么麻烦烦，而且且方法较较多。但但对于不不同的一一些r值值，计算算得相应应的P（AA）值如如下表：r102023304050P0.120.410.510.710.890.97上表所列的的答案是是足以引引起多数数读者惊惊奇的，因因为“一个班班级中至至少有两两人的生生日相同同”这件事事情发生生的概率率，并不不如大多多数人直直觉中想想象的那那么小，而而且相当当大。由由表可以以看出，当当班级中中的人数数为233时，就就有半数数以上的的班级会会发生这这件事情情，而当当班级的的人数达达到500时，竟竟有977%的班班级会发发生上述述的事情情。这个个例子告告诉我们们，“直觉”并不可可靠，这这就有力力的说明明了研究究随机现现象统计计规律的的重要性性。参考文献：魏宗舒 概率论论与数理理统计教教程 高高等教育育出版社社