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1、（1）直线对于如图 2-18a 所示的直线AB，若起点为 A（X1，Y1），终点为 B（X2，Y2），则该直线的方向矢量l ld及其在 X 轴、Y 轴上的投影分量分别为l ldXli iYlj j（2-5）XlX2 X1(X2 X1)(Y2Y1)22（2-6a）YlY2Y1(X2 X1)(Y2Y1)22（2-6b）（2）圆弧对于圆弧而言，其走向有顺逆之分，故圆弧的方向矢量也分顺圆和逆圆两种情况。如图2-18b 所示圆弧，圆心为（X0，Y0），圆弧上动点为P（X，Y），圆弧半径为R，方向矢量在 X 轴、Y 轴上的投影分量分别为顺圆弧（G02）XlY Y0（2-7a）R(X X0)（2-7b）R(
2、Y Y0)（2-8a）RX X0（2-8b）RYl逆圆弧（G03）XlYl若规定顺圆弧（G02）的 R0，逆圆弧（G03）的 R0，即|R|(顺圆弧)R（2-9）|R|(逆圆弧)则可将式（2-7）和式（2-8）合并，从而获得圆弧上任意一点的方向矢量以及投影分量为l ldXli iYlj j（2-10a）Y Y0（2-10b）R(X X0)（2-10c）YlRXl2刀具半径矢量刀具半径矢量是指加工过程中始终垂直于编程轨迹，且指向刀具中心、其大小等于刀具半径值的矢量，用r rd表示。根据刀具相对工件位置的不同，刀具半径矢量也有所不同，如图 2-19 所示。YBYllYdrdAOXdXlXAYdOX
3、dXlb)图 2-19刀具半径矢量与方向矢量a)左刀补b)右刀补XYlrdYlBa)设工件的直线轮廓相对X 轴的倾角为，其方向矢量为l ldXli iYlj j；刀具半径为r，刀具半径矢量为r rdXdi iYdj j。由刀具半径矢量与方向矢量关系图可推得sin Yl（2-11a）cos Xl（2-11b）r0，即若规定左刀补（G41）时的 r0，右刀补（G42）时的)（左刀补）|r|（2-12）r（右刀补）|r|则由式（2-11）和式（2-12）可以推导出刀具半径矢量投影分量与直线方向矢量投影分量之2-20转接类型判别示意图间的关系为XdrsinrYl（2-13a）YdrcosrXl（2-1
4、3b）（四）转接类型的判别转接类型与拐角的大小有直接关系，如果通过相邻两轮廓段在拐角处的方向矢量判断出 sin和 cos的正负，就可以确定拐角 所属象限，进而可判断出该处的转接类型。下面来推导各种转接类型的判别公式。如图 2-20 所示，设坐标系 XOY 平面内有直线零件轮廓AB、BC，其中这三个点的坐r标分别为 A（X0，Y0）、B（X1，Y1）、C（X2，Y2）。为了YC(X2,Y2)分析方便，将坐标系 XOY 通过平移和旋转变换为新的V坐标系 UBV，并定义坐标增量为UX1X1X0Y1Y1Y01X2X2X1B(X1,Y1)Y2Y2Y1A(X0,Y0)根据坐标系变换关系，坐标增量为XOX2
5、U cosVsin（2-14a）图 2-20转接类型判别示意图Y2UsinVcos（2-14b）由式（2-14）可推导出 XOY 与 UBV 两坐标系的转换关系为UY2sinX2cos（2-15a）VY2cosX2sin（2-15b）如图 2-20 所示编程轮廓的关系，根据拐角定义可知：对于左刀补有r，且拐角3601，在 UBV 坐标系中，有sinsin1V/d2（2-16a）coscos1U/d2（2-16b）式中dX222Y22对于右刀补r，拐角1，因此，有sinsin1V/d2coscos1 U/d2在 XOY 坐标系中，有sinY1/d1cosX1/d1式中d21X21Y1将式（2-1
6、8）、式（2-15）分别代入式（2-16）、式（2-17），并整理合并得sinsgn（r）（Y2X1X2Y1）/（d1d2）cos（Y2Y1X2X1）/（d1d2）式中 sgn（r）为符号函数，其定义为sgn(r)1(r 0)1(r 0)由于直线AB（l1）和BC（l2）的方向矢量投影分量分别为XX1 X0X1l1dd11Yl1Y1Y0Y1dd11XX2 X1X2l2d2d2YY2Y1l2dY22d2将式（2-21）、式（2-22）分别代入式（2-19），并整理得sinsgn（r）（Yl2Xl1Xl2Yl1）cos（Yl2Yl1Xl2Xl1）由此可获得零件轮廓转接类型的判别条件为1）缩短型当
7、180360时，有 sin，即sgn（r）（Yl2Xl1Xl2Yl1）2-17a）2-17b）（2-18a）（2-18b）（2-19a）（2-19b）（2-20）（2-21a）2-21b）（2-22a）（2-22b）2-23a）2-23b）（2-24）（2）伸长型当 90180时，有 sin且 cos，即sgn（r）（Yl2Xl1Xl2Yl1）且（Yl2Yl1Xl2Xl1）（2-25）3）插入型当 090时，有 sin且 cos，即sgn（r）（Yl2Xl1Xl2Yl1）且（Yl2Yl1Xl2Xl1）0（2-26）通过式（2-24）式（2-26）三个判式，可以判别出相邻两轮廓刀具半径补偿过程中
8、的转接类型。（五）刀具半径补偿计算所谓刀具半径补偿计算是指运用矢量法，求出刀具半径补偿过程中刀具中心轨迹在各个转接点处的坐标值。其计算公式不仅与相邻两轮廓的转接类型有关，而且还与刀具补偿所处的阶段有关。下面按直线接直线、直线接圆弧、圆弧接直线、圆弧接圆弧四种转接类型，分别推导刀具半径补偿的计算公式。1直线接直线设零件相邻两直线轮廓中，第一段为l1，起点为（X0，Y0），终点为（X1，Y1）；第二段为l2，起点为（X1，Y1），终点为（X2，Y2）。两直线对应的方向矢量投影分量为Xl1、Yl1、Xl2、Yl2，长度分别为d1、d2。两直线长度以及方向矢量投影分量的定义同前。（1）缩短型刀具半径补
9、偿处在不同的阶段，其转接点的坐标计算公式是不相同的。1）刀具半径补偿建立如图 2-21a 所示，直线与直线按缩短型建立刀具半径补偿，其转接点（XS1，YS1）相对轮廓拐点（X1，Y1）仅相差一个刀具半径矢量，由此可以推导出转接点的坐标计算公式为XS1=X1rYl2（2-27a）YS1=Y1rXl2（2-27b）Y(X0,Y0)Yl2(XS1,YS1)(X2,Y2)Yl1(X0,Y0)X(XS1,YS1)l1(X1,Y1)Ol2l1l2l2l1(X2,Y2)X(X1,Y1)Ob)a)图 2-21直线接直线缩短型刀具半径补偿建立与撤消示意图2）刀具半径补偿撤消如图 2-21b 所示，直线与直线转接
10、缩短型刀具半径补偿撤消的情况，与刀具半径补偿建立过程类似，转接点（XS1，YS1）相对轮廓拐点（X1，Y1）偏移一个刀具半径矢量，故有XS1=X1rYl1（2-28a）YS1=Y1rXl1（2-28b）3）刀具半径补偿进行如图 2-22 所示直线与直线缩短型刀具半径补偿进行的情况。设ld1和ld2分别为程编直线轮廓l1和l2的单位矢量l ld1Xl1i iYl1j j（2-29a）l ld2Xl2i iYl2j j（2-29b）Y(X0,Y0)l1l1(XS1,YS1)l2(X1,Y1)Oa)l2(X2,Y2)XOb)(X0,Y0)l1(X1,Y1)Yl1(XS1,YS1)l2l2(X2,Y2
11、)X图 2-22直线接直线缩短型刀具半径补偿进行示意图进一步l1和l2分别为的l1和l2的等距线，且刀具中心轨迹到零件轮廓的距离为 r，如果将 XOY 坐标系原点平移至（X1，Y1）后，可求得l1和l2的直线方程分别为Yl1XXl1Yr（2-30a）Yl2XXl2Yr（2-30b）联立式（2-30）方程组，求得刀具中心轨迹的交点在新坐标系中坐标值为X(Xl2 Xl1)r（2-31a）Xl1Yl2 Xl2Yl1(Yl2Yl1)r（2-31b）Xl1Yl2 Xl2Yl1Y 将刀具中心轨迹的交点在新坐标系中坐标值重新转换到XOY 坐标系下，则可得到原坐标系下刀具中心轨迹的交点（XS1，YS1）坐标值
12、如下：当 Xl1Yl2Xl2Yl1时，对应图 2-22a 而言是直线 l1与l2共线，因此，其转换角为 180，刀具中心轨迹的交点（XS1，YS1）坐标为XS1X1rYl1（2-32a）YS1Y1rXl1（2-32b）当 Xl1Yl2Xl2Yl1时，对应图 2-22b 而言是直线 l1与l2相交，因此，其转换角为180360，刀具中心轨迹的交点（XS1，YS1）坐标为XS1 X1(Xl2 Xl1)r（2-33a）Xl1Yl2 Xl2Yl1YS1Y1(Yl2Yl1)r（2-33b）Xl1Yl2 Xl2Yl1（1）伸长型在伸长型刀具半径补偿中，当补偿处在不同的阶段，其转接点的个数以及坐标计算公式也
13、不尽相同。1）刀具半径补偿建立如图 2-23a 所示，直线与直线按伸长型建立刀具半径补偿，其转接点有两个（XS1，YS1）、（XS2，YS2）。由于转接点（XS1，YS1）相对轮廓拐点（X1，Y1）相差一个刀具半径矢量，仿照前面的计算方法，可导出转接点的坐标计算公式为XS1X1rYl1（2-34a）YS1Y1rXl1（2-34b）Y(XS1,YS1)(XS2,YS2)l1Y(XS1,YS1)(XS2,YS2)l2l2(X2,Y2)Xa)l1Y(X,Y)S1S1l1l2(X1,Y1)l2(X2,Y2)Xc)l1(X1,Y1)l1l2(X1,Y1)l2(X2,Y2)Xl1(X0,Y0)O(X0,Y
14、0)Ob)(X0,Y0)O图 2-23直线接直线伸长型刀具半径补偿示意图由于点（XS2，YS2）为直线l1和l2的交点，因此，有XS2 X1(Xl2 Xl1)r（2-35a）Xl1Yl2 Xl2Yl1YS2Y1(Yl2Yl1)r（2-35b）Xl1Yl2 Xl2Yl12）刀具半径补偿撤消如图 2-23b 所示，直线与直线转接伸长型刀具半径补偿撤消的情况，与刀具半径补偿建立过程类似，转接点有两个（XS1，YS1）、（XS2，YS2）。其中（XS1，YS1）为直线l1和l2的交点，转接点（XS2，YS2）相对轮廓拐点（X1，Y1）偏移一个刀具半径矢量，故有XS1 X1(Xl2 Xl1)r（2-36a）Xl1Yl2 Xl2Yl1YS1Y1(Yl2Yl1)r（2-36b）Xl1Yl2 Xl2Yl1XS2X1rYl2（2-37a）YS2Y1rXl2（2-37b）3）刀具半径补偿进行如图 2-23c 所示，直线与直线转接伸长型刀具半径补偿进行情况，这时只有一个转接点（XS1，YS1）待求，其坐标计算公式与式（2-36）完全相同。