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1、种群增长的 Gompertz 模型摘要摘要 本文根据题目要求，在渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz模型的情况下，建立捕捞情况下渔场产量模型。根据模型，对渔场鱼量的平衡点及其稳定性进行讨论，并且在稳定的前提下，使用图解法讨论如何控制捕捞使持续产量达到最大。最后，对模型的优缺点进行了讨论。关键词：Gompertz 模型 稳定性模型 图解法正文1 问题复述已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律 Gompertz 模 型：.Nxt rxln，其中r是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。并且单位时间x捕捞量为h Ex，其中比例常数E表示单位时间捕捞率，又称捕捞强度。现要求：（1）建立在
2、捕捞情况下渔场鱼量的数学模型，讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性；（2）在鱼量稳定的前提下，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和*渔场鱼量水平x0。2 模型假设（1）捕捞过程视为连续性过程；（2）忽略种群间的相互作用及环境突变对渔场鱼量变造成的影响。3 符号说明xt表示时刻t时渔场中的鱼量；xii 0,1表示渔场鱼量平衡点；*x0表示获得最大持续产量的渔场鱼量水平；r表示种群的固有增长率；N表示环境容许的最大鱼量；fx表示单位时间渔场鱼量的增长量；hx表示单位时间的捕捞量；hm表示单位时间的最大持续产量；Fx表示在捕捞情况下渔场的鱼量；Fx表示Fx的导数；E表示单位时间捕捞率，即捕捞强
3、度；Em表示获得最大持续产量时的捕捞强度；4 模型建立（1）在无捕捞条件下，xt的增长服从 Gompertz 规律，即xt fx rxln.Nx（2）单位时间的捕捞量（即产量）hx与渔场鱼量xt成正比，比例系数为E，于是单位时间的捕捞量为hx Ex（3）由式与式可以得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程.Nxt Fx rxlnExx5 模型求解渔场鱼量平衡点及其稳定性讨论根据上面得到的在捕捞情况下渔场的鱼量Fx所满足的方程式，令Fx rxln得到两个平衡点x0NeErNEx 0 x,x1 0由于Fx rlnNr E，因此有Fx0 r 0，故x0点稳定（与E，r的大x小无关）；同时，可证x1点不稳定。
4、渔场鱼量稳定前提下持续产量最大问题的讨论根据，式作曲线y fx和直线y hx Ex，如图 1 所示。由于稳定点x0与E，r的大小无关，因此应用图解法，由图1 可知，当y Ex与y fx在顶点P*相交时可获得最大持续产量，此时的稳定平衡点为*x0Ne1N且单位时间的最大持续产量为hmre1N由易算出获得最大产量的捕捞强度为rEmN图 1 最大持续产量的图解法根据式可知，将捕捞强度控制在固有增长率r与环境容许的最大鱼量N的比值时，能够获得最大持续产量。6 模型优缺点分析及改进方向根据上述模型所建立的捕捞情况下渔场产量模型，可以很好的解决如何控制捕捞使持续产量达到最大的问题。然而，建模过程中，简化了许多因素，因而与实际情况有偏差。要想建立更好的产量模型，必须综合多方面因素，根据实际情况建立模型。精心搜集整理，只为你的需要