《按年龄分组的种群增长模型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《按年龄分组的种群增长模型.ppt（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、差分方程模型差分方程模型按年龄分组的种群增长模型按年龄分组的种群增长模型前面我们多次介绍到种群增长的阻滞型增长模型前面我们多次介绍到种群增长的阻滞型增长模型,微分方程模型为微分方程模型为差分方程模型为差分方程模型为这里我们对于种群中的个体之间的差异没有考虑这里我们对于种群中的个体之间的差异没有考虑,特特别是没有考虑不同的年龄组的种群对该种群数量的别是没有考虑不同的年龄组的种群对该种群数量的增长的影响有很大的不同这一特点增长的影响有很大的不同这一特点.本节我们介绍的模型是本节我们介绍的模型是Leslie在研究女性人口时建立的在研究女性人口时建立的.问题的分析与模型的假设问题的分析与模型的假设将种
2、群按年龄大小等间隔地分成将种群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组个年龄组,比如研比如研究人口时我们可以每究人口时我们可以每10岁或者岁或者5岁分成一个年龄组岁分成一个年龄组.与此相对应与此相对应,将时间离散化成时段将时间离散化成时段,其间隔保持与年其间隔保持与年龄组的间隔一致龄组的间隔一致.(没有比第没有比第n组中年龄最大值更大者组中年龄最大值更大者)种群是通过雌性个体的繁殖而增长的种群是通过雌性个体的繁殖而增长的,所以我们用所以我们用雌性个体数量为研究对象比较直接雌性个体数量为研究对象比较直接,方便方便.下面的种下面的种群数量就是指该种群的雌性数量群数量就是指该种群的雌性数量.记记 第第k个时
3、段个时段 第第i 年龄组年龄组 的种群数量为的种群数量为 xi(k),i=1,2,，n;k0,1,2,第第i 年龄组的繁殖率为年龄组的繁殖率为bi,即第即第i 年年龄组的每个雌性个体在一个时段内的平均繁殖数量龄组的每个雌性个体在一个时段内的平均繁殖数量.记第记第i 年龄组的死亡率为年龄组的死亡率为di,其意是第其意是第i年年龄组龄组1个时段内的死亡数与该组的总数之个时段内的死亡数与该组的总数之比比;因此因此si=1-di为存活率为存活率.dn=1,sn=0.注意注意:这两个这两个“率率”的意的意义不同义不同这里我们进一步假设这里我们进一步假设bi和和di不随时不随时段段k变化变化,只与其年龄的
4、分组只与其年龄的分组i有关有关.模型的建立模型的建立下面我们建立两个相邻的时段不同的年龄组的人下面我们建立两个相邻的时段不同的年龄组的人数之间的转移变化规律数之间的转移变化规律.这与林场经营这与林场经营问题以及渔场问题以及渔场经营问题不同经营问题不同将第将第k时段的各年龄组的人数写成向量时段的各年龄组的人数写成向量:则模型为则模型为其中矩阵其中矩阵L为为(如上如上)这是一阶齐次差分方程组这是一阶齐次差分方程组,其求解方法与一阶齐次差分其求解方法与一阶齐次差分方程类似方程类似.其解为其解为若若L和和x(0)已知已知,通过上式我们容易计算出各个时通过上式我们容易计算出各个时段的人数段的人数.(L中
5、的数据由统计资料得到中的数据由统计资料得到)差分方程组平衡点的稳定性差分方程组平衡点的稳定性解代数方程解代数方程即即结论结论:当当1不是矩阵不是矩阵A的特种根时的特种根时,(4)只有平衡点只有平衡点O;而当而当1是矩阵是矩阵A的特种根时的特种根时,(4)有非零平衡点有非零平衡点,其平衡其平衡点为矩阵点为矩阵A的特征向量的特征向量.由于由于A有特种根有特种根1,即使其他的特种根都在单位即使其他的特种根都在单位圆内圆内,我们也不能由此得到平衡点我们也不能由此得到平衡点x*是稳定的是稳定的(需要进一步考察需要进一步考察)稳定状况分析由定义由定义,矩阵矩阵L中的元素满足中的元素满足Leslie矩阵矩阵
6、关于关于Leslie矩阵矩阵(简称简称L矩阵矩阵),有下面的研究成果有下面的研究成果:定理定理1 L矩阵有唯一的正特征根矩阵有唯一的正特征根1,且是单重的且是单重的,其相其相应的正特征向量为应的正特征向量为L矩阵的其他矩阵的其他n-1个特征根满足个特征根满足注注:若某个若某个si=0,则第则第i+1组应该取消组应该取消.验验证证定理定理2 若若L矩阵的第一行有两项顺次的元素矩阵的第一行有两项顺次的元素bi,bi+1都都大于零大于零,则则且差分方程组且差分方程组(1)的解的解(3)满足满足其中常数其中常数c由由bi,si和和x(0)确定确定.定理定理1,2的条件对于种群增长来说通常满足的条件对于
7、种群增长来说通常满足.其中常数其中常数c由由bi,si和和x(0)确定确定.若若x(0)为为L相应于相应于2的特征向量的特征向量,则则若若x(0)为为L相应于相应于1的特征向量的特征向量,则则(7)中中c=1.此时此时(7)中中c=0;在定理在定理1,2的条件满足时的条件满足时,x(k)的稳定状态分析的稳定状态分析:1)由由(7)式式,k充分大时有充分大时有从从(8)知知,种群中各年龄组的数量正比于种群中各年龄组的数量正比于x*中的相应中的相应的分量的分量,故特征向量故特征向量x*反映了种群按年龄组的分布情反映了种群按年龄组的分布情况况,可称为可称为稳定分布稳定分布.2)由由(8)式式,我们看
8、到差分方程组我们看到差分方程组(1)式可近似为式可近似为由由(9)我们易知我们易知,好像差分方程组好像差分方程组(1)几乎由其唯一的几乎由其唯一的正特种根决定正特种根决定.当当1 1时时,种群的数量递增种群的数量递增;而而1 1时时,种群的数量递减种群的数量递减.1可称为固有增长率可称为固有增长率.3)1=1时时,种群的数量保持不变种群的数量保持不变,此时此时则则R表示平均一个雌性个体在整个存活期间繁殖的表示平均一个雌性个体在整个存活期间繁殖的平均数量平均数量,称为称为总和繁殖率总和繁殖率.因此因此,R=1时种群数量不时种群数量不变变.此时稳定分布为此时稳定分布为人口模型我们将前面的模型用到人
9、口研究上我们将前面的模型用到人口研究上.取取1年为年为1个时个时段段,设育龄区间为设育龄区间为i1,i2,记第记第k年年i岁女性生育率为岁女性生育率为bi(k),(k)是第是第k年年的每位的每位i1岁女性活到岁女性活到i2岁时的生岁时的生育数育数,称为生育胎次称为生育胎次.R表示平均一个雌性个体在表示平均一个雌性个体在整个存活期间繁殖的平均整个存活期间繁殖的平均数量数量由人口普查得到各年龄组的死亡率由人口普查得到各年龄组的死亡率,幸存率幸存率,给出合给出合理的生育模式理的生育模式,以各种生育胎次来进行模拟计算以各种生育胎次来进行模拟计算,可可以很方便地预测今后的人口数量以很方便地预测今后的人口数量.为我国计划生育政为我国计划生育政策的制订提供依据策的制订提供依据.L矩阵的特征方程