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1、绝绝对对值值及及其其几几何何意意义义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。如：|5|=5；|-5|=5；|0|=0绝对值的几何意义：可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到_的距离。如|表示数轴上表示数 a 的点到_的距离，推而广之：x-a的几何意义是数轴上表示数 x 的点到表示数_的点之间的距离，x-a+x-b的几何意义是数轴上表示数 x 的点到表示数_两点的距离之和。对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。例例 1 1：已知，x-4=3，求 x 的
2、值。解法一(代数法，分类讨论分类讨论)(“零点分段法”)：解法二(几何法)：由绝对值的几何意义 可知，x-4=3 表示数 x 的点到_的距离为_，结合数轴不难发现这样的点共有 _个，分别是_和_，故 x=_.例例 2 2：求x-1+x+2的最小值。解法一(代数法)(“零点分段法”)：解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知，分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。解：根据绝对值的几何意义可知，x-1表示数轴上点 x 到_的距离，x+2表示数轴上点 x 到_的距离。实际上此题是要在数轴上找一点 x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x 应在
3、数轴上_ 的点，且最短距离为_，即x-1+x+2的最小值为_。推广推广：x-a+x-b的最小值为_。x-a-x-b的几何意义是数轴上一点 x 到 a、b 两点之间距离之差的绝对值，它有一个最_(大或小)值_。例例 3 3：对于任意实数，若不等式x+1-x-2k 恒成立，则实数 k 的取值范围是什么？解：(提示：k 是式子x+1-x-2的最大值还是最小值？)例例 4 4：如果x-3+x+1=4，则 x 的取值范围是什么？解：绝对值的几何意义的运用是一个较好的技巧，这种简捷、巧妙的方法，应引起重视。绝对值的几何意义的运用是一个较好的技巧，这种简捷、巧妙的方法，应引起重视。绝对值的性质：绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|0，这是绝对值非常重要的性质；,0（2）|=0,=0（代数意义）,0（3）若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|a，且|a|-a；（5）若|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；（几何意义）（6）|?|=|?|（7）|=|(0)|（8）|2=|2|=2（9）|+|+|左边的等号当且仅当ab 0时取到，右边的等号当且仅当ab 0时取到（10）|+|左边的等号当且仅当ab 0时取到，右边的等号当且仅当ab 0时取到